調べた限りではメーラーの問題であって携帯そのものに関係ないような…
Googleアカウントロック解除 - IT活用と経営サポートの岸本ビジネスサポート
https://www.itc-biz.com/2017/11/22/google%E3%82%A2%E3%82%AB%E3%82%A6%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%AD%E3%83%83%E3%82%AF%E8%A7%A3%E9%99%A4/

パスワードとか、存在するアカウントかどうか等基本的な事から見直したら？

Google アカウントにログインできない - Google アカウント ヘルプ
https://support.google.com/accounts/troubleshooter/2402620?hl=ja