LTE版の方でも書きましたが、
Rounded.comでバッテリー注文してみました。

https://rounded.com/sony-xperia-z3-compact-tablet-sgp611-sgp612-battery-lis1569erpc-4500mah-1286-0138.html

事前に日本へ発送可能なのをメールで確認。
4日ほどで無事到着。

膨張して液晶浮いてたのが4000円ちょっとで治りました！