Eメールを以下のように運用したいのですが使えそうなメールアプリをいくつか紹介してもらえるとうれしく・・・
受信　フリーメール→(転送)→キャリアのメールボックス→Androidスマホ
送信　Androidスマホ→フリーメール
つまり
１．キャリアのメール着信通知を受けてメールの受信を開始できる
２．キャリアのメールボックスからメールを読み出せる
３．任意のメール送信サーバー経由でメールを送信できる
４．相手のメールアドレスを認識できる(転送の仕様により格納場所が変わるはず)
みたいな機能が欲しいです

自分はAndroidでメールを利用したことがないのでOSの仕様上出来ること出来ないことなど詳しくありません

フリーメールは
・国内系
・転送可能
・標準的なプロトコルを使用できる
の条件からヤフーメールくらいしか思いつきませんが他に良さそうなサービスがあれば検討します

よろしくお願いします