組み合わせ全部書けばいいのに
アカウント・通信路・アプリを送受信分書くだけじゃないの
送信側アプリからの送信時でエラーがないなら送信側アプリの問題の可能性はまず考えづらいので送信側アプリ理由で受信通知遅延を考えるより、経路と受信側アプリで考えるのが普通だし経路を怪しむより受信側アプリを一番に疑うのが普通

メールアカウントについて書いてないからまずはto キャリアメールアカウントとして読むと、ドコモは対応しているけど制限や警告を考えると選ぶ人少ないだろうしAquaでドコモメールをIMAPで使ってると思いづらいから、ドコモメールアプリを使うのが基本
そして受信側アプリの問題を切り分けるためにドコモメールアプリの通知でなくブラウザ版で到着を確認しないと意味がなく、到着していても受信通知がないならドコモメールアプリの問題でAqua関係ないよ
ここはAquaスレだから受信通知問題なら受信側アプリこそAquaだと思いたいけど、この人の書き込み読んでる限りとてもそうと思えないな
もしAquaだった場合はブラウザ版で到着を確認したりとto Gmailアカウントと大体同じ流れ
ではto Gmailアカウントならとなれば親のアプリは。。。書いてない
ここはAquaスレなのでAquaだと思うけどFCMの話が出てるので先にそれをすると、Gmailアプリで確認してるならGmailアカウントをGmailアプリだからFCM
GmailのFCMは通常メールのスリープ中リアルタイム通知してませんので、ディスプレイオン状態でアプリ画面で全裸待機して遅延するかどうか
Aquaで確認しているなら設定がIMAPなのかPOPなのか、IMAPならディスプレイオン状態でアプリ画面で待機してどうか
待機して遅延があるなら遅延中にto Gmailアカウントをweb版で監視して到着しているかどうか
到着していて通知遅延があるならコネクション切れでそれがネットワークなのか省電力設定かだけど、これを調べるのは難しいので省略
to 他のなにかはキリがないので省略