GmailはGmailアプリなら比較的リアルタイムに受信してくれると俺は思う
Googleのプッシュ通知システムがあるので、プッシュで送ってきてくれるから

スリープ中にも受信するならGmailを「電池の最適化」の対象外にするのは必須

IMAPは仕組み的にどうしても不可能だね
こちらから定期的にメールサーバに確認しに行かないといけないので、○○分間隔で同期、とかしかできない