アプリが起動することとインストールできることは必ずしも連動しないが最近のFireでインストールしない場合は隠しコマンドを表示させます
Fire TV の「設定」から「マイ Fire TV」→「バージョン情報」をクリック、一番上の機種名（例：「Fire TV Stick 4K Max」）を連打します
開発者オプションはすでに表示されています」となるので一旦戻って「開発オプション」を有効にすれば野良アプリもインストールできます
しかし問題はそれからです面倒なら2000円ぐらいの制限のない安物BOXを買ってそれにMizukiや花園を入れるほうがかしこいかも。
ちなみにゴムゴムは起動しません、無理に起動させるとフリーズするので都度再起動が必要になります