福島事故原発の取り壊し方法を考えるスレδ

週刊□福島廃炉
α=1486207162
β=1584849320
γ=1655045111

初等幾何を少し。円の接線と接点を通る直径とは直角である。
円の直径を1辺とし円周上にもう1点を持つ三角形は直角三角形である。
三角形の外角は他の2つの角の内角の和である。

円周角の定理。以前もしたがここの文脈でもう一度。方ベキも。
底辺BCの△ABCで外接円を描きその中心をOとする。AOの延長に適当に点Dを取る。
△BAOは円半径が2つの二等辺三角形。∠BODはその外角。ゆえに∠BODは∠BAOの2倍。
BをCで置き換えた物を作り足すと∠BOCは∠BACの2倍を得る。
外接円が変わらない範囲でAを振ってもこれは変わらず円周角の不変性を表わしている。
　
　
次の問題。底辺BCの△ABCで外接円を描きその中心をOとする。
Aから接線AEをCの側の方向に引きEは適当に取る。AODを直径とする。
このとき∠CBA = ∠CAE。
証明)。円周角の定理から∠CBA = ∠CDA。
△CDAにおいてCは直角。より∠CAD + ∠CDA = 直角。
また∠CAD + ∠CAE = 直角。よって証明された。

次の問題。円の外の点Eから円に接線EAと、交わる1直線ECBを引く。
このときEA^2 = EB･EC。
証明)。数行上のから∠CBA = ∠EAC。
すると△EBAと△EACは、E自体を共有しそれとで、相似。
EB:EA = EA:EC から比形式を積形式へ変形すると得る。後述方ベキの極限形でも可。

上はプリンキピア問題2中で使われている式である。
このように三角形の相似を見つけ、辺の比の等式から積形式に変える方法は
よく使われる。また上のは1つ角を共有し逆に組んだ三角形の相似があった。
そういう見つけられ方は円の中を見るときによくある。

円は円錐の横断面。立体投影で他のを出すのでそういう展開を探究して行くこと。
次リプに方ベキ。三平方。メネラウス。アポロニウス2等分線。アポロニウス円。
ついでにする。チェバはメネラウスの線⇔点双対で合わせて射影幾何定理。

方ベキ。円の外の点Eから1直線2つを貫通させABEとCDEと置く。このときEA･EB = EC･ED。
証明)。弧BDに対する円周角で∠BAD = ∠BCD。
Eは共有しているから△EADと△ECBは2角の相似。(裏返しの関係でもある)
ゆえにEA:ED = EC:EB から証明された。

三平方。△OAEで定理を見る。∠Aが直角。
Oが中心でAを通りAEに接する円を描く。直線EOと円との交点をB,Cとする。
前リプの定理から EA^2 = EB･EC。
右辺 = (EO + r) (EO - r) = EO^2 - r^2。半径r = OA だから証明された。
　
　
メネラウス。△ABCと直線lがあり△の各辺か延長と交わらせる。
BCとlの交点D、CAとlの交点E、ABとlの交点Fとする。
長さの関係式として (BD/DC)･(CE/EA)･(AF/FB) = 1。
証明)。Bを通るlに平行な補助直線を引いてACとの交点をGとする。
簡単作図で直ちに (BD/DC)=(GE/EC)、(AF/FB)=(AE/EG)
を読み取れて証明される。線分に向きを付けると右辺-1とするのがいい。

アポロニウス2等分線。△ABCでBA:AC=m:n。
このとき角Aの2等分線とBCとの交点をDとするとBD:DC=m:n。
証明)。DAに平行な補助直線CEを引いてBAの延長との交点をE。
∠CEB = ∠DAB = ∠DAC = ∠ECA。それぞれ平行線の等位角、問題の前提、平行線の逆位角。
△ECAが二等辺三角形とわかり AC = AE。
平行線で比を写して BA:AE = BD:DC だから証明された。

アポロニウス円。アポロニウス2等分線で外角の付言もあるが略して使用する。
m>nとし、BC内にD、C側延長にEを、BD:DC = BE:EC = m:n なるよう取る。
このときBA:AC = m:nなる点Aの軌跡を求めると、DEを直径とする円周である。
証明)。そのようなAについて∠DAB = ∠DACである。なぜなら数行前の命題の逆だが
線分の分点を取る行為は一意な結果をもたらすから、それ以外の状況を同時には
成立させず逆が成立。同じく∠EAC = ∠EAB'(B'はBAのA側延長適当な点)。
これは∠DAEが直角と言っていて、AはDE直径の円周上にある。

逆2乗中心力で極座標(r,θ)ものが多い。そこにて放物線を扱ったり。
基本的な式を見る。理系大1程度の解析力学前提。'は時間微分。

速度はrを増やす方向と、rが一定でθが増える方向が直角だから
速度ベクトルは方向性は度外視して直角座標的に(r',rθ')。
中心力ポテンシャルU(r)を使い
Lagrange関数 L = m/2 (r'^2 + r^2 θ'^2) - U(r)。

運動方程式は∂L/∂r'などの組合せで得る。
0 = d(∂L/∂r') - ∂L/∂r = m r'' - m r θ'^2 + ∂U(r)/∂r
0 = d(∂L/∂θ') - ∂L/∂θ = (m r^2 θ')' = m r θ'' + 2 m r θ'
　
　
即ちUがrのみの関数のとき (m r^2 θ')' = 0だが、括弧の中は
速度としてはr'を捨てたθ'だけを読んでいる。
m r θ'は運動量の角度方向成分。それとrの積は角運動量。だから第2式は角運動量保存則。

速度の角度成分=r θ'とrとの積は運動中に軌道が掃いていく面積。
mを除いた式 (r^2 θ')' = 0はニュートン=ケプラーの面積保存則。
　
　
角運動量保存則を m r^2 θ' = h と置いて、
m r'' - m r (h /(m r^2))^2 = - ∂U(r)/∂r。 左辺第2項=- h^2 /(m r^3)。

エネルギー保存則 m/2 (r'^2 + r^2 θ'^2) + U(r) = Eに入れる。
左辺第2項= h^2 /(2 m r^2)。この項を遠心力ポテンシャルと言い、この導出で
完全に正規に使用していいことがわかった。

Uを外すと m r'' - h^2 /(m r^3) = 0。 mやhは定数を考慮に入れると
逆3乗力を調べるよう示唆する数式が見つかった。

逆2乗中心力で極座標(r,θ)ものが多い。そこにて放物線を扱ったり。
基本的な式を見る。理系大1程度の解析力学前提。'は時間微分。

速度はrを増やす方向と、rが一定でθが増える方向が直角だから
速度ベクトルは方向性は度外視して直角座標的に(r',rθ')。
中心力ポテンシャルU(r)を使い
Lagrange関数 L = m/2 (r'^2 + r^2 θ'^2) - U(r)。

運動方程式は∂L/∂r'などの組合せで得る。
0 = d(∂L/∂r') - ∂L/∂r = m r'' - m r θ'^2 + ∂U(r)/∂r
0 = d(∂L/∂θ') - ∂L/∂θ = (m r^2 θ')' = m r θ'' + 2 m r θ'
　
　
即ちUがrのみの関数のとき (m r^2 θ')' = 0だが、括弧の中は
速度としてはr'を捨てたθ'だけを読んでいる。
m r θ'は運動量の角度方向成分。それとrの積は角運動量。だから第2式は角運動量保存則。

速度の角度成分=r θ'とrとの積は運動中に軌道が掃いていく面積。
mを除いた式 (r^2 θ')' = 0はニュートン=ケプラーの面積保存則。
　
　
角運動量保存則を m r^2 θ' = h と置いて、
m r'' - m r (h /(m r^2))^2 = - ∂U(r)/∂r。 左辺第2項=- h^2 /(m r^3)。

エネルギー保存則 m/2 (r'^2 + r^2 θ'^2) + U(r) = Eに入れる。
左辺第2項= h^2 /(2 m r^2)。この項を遠心力ポテンシャルと言い、この導出で
完全に正規に使用していいことがわかった。

Uを外すと m r'' - h^2 /(m r^3) = 0。 mやhは定数を考慮に入れると
逆3乗力を調べるよう示唆する数式が見つかった。

パズル。ma = -GMm/r^2、 mv^2/2 = GMm/r。
定数因子を略して。逆2乗求心力。x変数の1次元運動に。xの原点が求心力の点。
dv/dt = -1/x^2、 v^2/2 = 1/x。

左式値を積分すると右式値になるように思わないか？
値的にはそう見える。しかし右式式はvならいいがv^2/2だという。何か変だ。
この両式は偶然近くにあるだけで積分ではつながっていない無縁の関係なのだろうか？
なぜって右式はエネルギーとして要求されるので一端エネルギーを構成しないと。
論理的にはそこ遠いのかも。そう思えて来る。答はどうすればいい？

解説しよう。因子が入っていてその思惑に欠陥があった。
tで積分するのとxで積分するのを混同していてはいけないが論点である。
d(dx/dt)/dt = -a/x^2 から
d(dx/dt) = -a/x^2 dt = -a/x^2 (dt/dx) dx
　
　
定数因子は1個だけaとして代表して入れとく。
その方がその影響の展開が読みやすいため。
x(t)が一変数関数のとき分母分子の入れ替えは単なる逆数であり掛ける(右辺では払う)。
(dx/dt) d(dx/dt) = 1/2 d{(dx/dt)^2} = -a/x^2 dx

積分して (dx/dt)^2/2 = a/x + C
ふむぴたりと形になってる。
ここから直線の場合のケプラー第3法則（逆2乗中心力の時の
楕円軌道の周期は長軸長さの3/2乗に比例する）が直ちに出る。

無限遠で速度0のときは dx/dt = √(2a/x)。 dt = √(x/2a) dxを積分して、
t = 2/3 √(1/2a) x^3/2。 t∝x^3/2。
7行上のCを変えると粒子のエネルギーが変わり、
楕円よりは考えやすい1次元問題として様子を見れると思う。
ということでx積分とt積分の両者が出現する混同案件へもご注意のお題であった。

幾何学からフォイエルバッハ九点円定理の証明。
△は3つの頂点があり、辺の中点、垂線の足、垂心と各頂点の中点、
これらで都合9点がある。同一円周に乗るので9点円と名付けられる。

☆垂心が1点であること
△ABCの外接円は存在する。各頂点を通っているものである。
外心Oとすると、長さとしてOB=OCより、△OBCは二等辺三角形で、
OはBCの垂直二等分線上にある。(BCの中点Mを使うと△AMBと△AMCは三辺の合同で)

上を補題とみなし改めて△ABCにおいてAからBCに垂線を降ろす。
タイル的に△ABCを180度回転して各辺の向こうに貼り4枚構造にする。
するとAを通るBCの2倍長さの直線が出来ていて、初めの垂線はその垂直二等分線である。
これらは外側の大三角形の外心を定めるから、垂心は存在する。
　
　
☆9点円の存在
△ABCで、BCの中点をL、CAの中点をM、ABの中点をN。
AからBCに降ろした垂線の足をD（DはBC上の点）。同B→CAをE、C→ABをF。
垂心をH。HAの中点をP、HBの中点をQ、HCの中点をR。

PLを直径とする円を描く。
△HABにおいて、ABとPQは辺中点結びがPQだから平行。
△HBCにおいて、HCとQLは平行。
AB⊥HCより、∠PQL=直角。ゆえにQは円上にある。
∠PDL=直角より、DもPLを直径とする円上にある。

以上を整理し対称性で回せば仕上がっている。というのは
3点で円は定まるから、PQRで作る円上にLがあると呼び替えられて
同じ形でMとN、またEとFも同様。
結局PQR同士(PQ)、PQRとLMNから1点ずつ(PL・QL)の線分が直角三角形だった。

☆△ABCの内心IについてIBは∠Bを二等分する
IからABとBCに垂線を降ろすと垂線長さは等しく足には直角がある。
斜辺と一辺の合同定理で。

☆円に内接する四辺形の対角
□ABCDが円に内接しているとき、円周角定理より
∠BAC=∠BDC、∠CAD=∠CBD
左辺の和は∠A、右辺和は△BCDの∠Cを除く和で∠Cの補角と言う。
BCをC側延長した方とCDのなす角を外対角と呼べば∠Aは∠Cの外対角と等しいとも言える。
　
　
☆交わる2円の共通弦をABとする。A,Bそれぞれから一直線を延ばし
円と交わるもう一つの交点をそれぞれPとQ、RとSとする。
このとき、PRとQSは平行。
∵) □APRB、□ABSQはそれぞれ円に内接している。
∠Pの外対角は∠ABS、その外対角は∠AQS'(QからSの反対側)。
∠Pと∠AQS'で平行線の逆位角が構成される。
配置が違うときは円周角の定理などで適当にこなすことが出来る。
　
　
☆直角三角形△ABCのCが直角のときABの中点MとCを結ぶと二等辺三角形が表れている
ABを直径とする円に内接しその中心はMのため。

☆長さが同じ円周に対する円周角は等しい
合同を保ったままスライドできるからである。

☆3点を定めて作った円周は一意になる
　
　
辺の中点、垂線の足、この2点を通る円。ということは
この2点の垂直二等分線上に9点円の中心はある。その考え方で作図できる。

フォイエルバッハ定理は「九点円が内接円と接している」という定理。
概念を解析幾何を使い書けば見易いはず。
昔の人は数十cmある大きさで図を作図して深く幾何を見ていた。
我々はプリンキピアの接線を接円と代えることで近似を上げることを
目指しこの辺を少し習熟する。

△ABCに対し、九点円(中心J)、内接円(中心I)、接点Tとすると
接点において接線と半径は垂直から、JITは一直線上にある。
九点円が辺中点を通る円なため、内接円より少し大サイズなことは明らか。

JとIからBCに垂線を降ろし各円との交点(下段落のXとU)を作り、その2点を直線で結ぶ。
円とのもう一つの交点は作れて重なった相似三角形も見える。そのイメージを追う。
始め性質は示されていないのでXUと九点円との交点としてT定義。
　
　
証明に入るのであるが最初に△IBCの九点円を構成する。
その内接四辺形の性質を使う意図がある。
Iからの足をU、JからのをX、XはBCを越え九点円周上とする。
ICの中点をSとすると、UとBC中点Lと、上定義のTが同一円にある。

∵)□BLMNは辺の中点を結んで作っている平行四辺形。より∠NML = ∠B。
△ADCは直角三角形で斜辺中点がM。より∠MDC = ∠C。
平行線の逆位角で ∠NMD = ∠MDC。下3番目の等号は九点円の円周角定理。

前リプ最後に触れたことで弧DXと弧XLは同一長さ。その円周角は等しい。
ゆえに 2∠UTL = 2∠XTL = ∠DTL = ∠DML = ∠NML - ∠NMD = ∠B - ∠C

△IUCは直角三角形で斜辺中点がS。より∠SUC = ∠SCU = ∠ICB。
△IBCの辺中点結んでいることからIBとSLは平行。また内心と頂点を結ぶと角二等分留意。
∠USL = ∠SLC - ∠SUC = ∠IBC - ∠ICB = 1/2 (∠B - ∠C)

円周角の等が言えてTULSが同一円周上。構成からこれは△IBC九点円。

△ABCの九点円をγ(中心はJ)、△IBCの九点円をδとする。
TLがγとδの共通弦である。Tを通る直線がγ,δと各X,Uで交わるがこれは使わない。
Lを通る直線BCがγ,δとD,Uで交わる。
直線TSとγの交点をKとする。Sはδ上だった。

前々リプ真ん中の定理よりDKとUSは平行。
前リプ後半を援用し∠MDL = ∠MDC = ∠C と
∠KDC = ∠SUC = ∠ICB = 1/2 ∠C。

すなわちDKは∠MDLの二等分線であり、γの弧MLの中点を通る。
Kの定義からKはγ上の点であり、これはKの性質を深めている。

ICの中点Sと、弧MLの中点Kを通る直線がTを通る、とわかった。

これは辺BCの側に偏っていない性質であるから、対称的な記述で
辺ACの側から、Iの足V、Jからの九点円上への足Y、を使いYVとγの交点T'を定めても、
SKはT'を通っているはずで、γ上交点の一意性からT=T'。

Tという点が、総合的に一意なwell-definedな点であることがわかった。

次に、内接円と九点円がTにおいて同じ接線を持つことを見る。
IUとJXはどちらも辺BCへの垂線で平行。
IVとJYもどちらも辺CAへの垂線で平行。

UVとXYが平行であることを言う。
CUとCVはどちらも内接円への接線であり同じ長さを持つと言える。
△CUVは二等辺三角形でありその性質だけでUVの角度が決まる。

次に、Xを通りBCに平行な直線を作るとこれはγの接線。
Yを通りCAに平行に同様。二直線の交点をC'とする。
円への2つの接線は同じ長さを持つ(直角三角形の斜辺と一辺の合同)から、△C'XYは二等辺三角形。
XYの角度も計算されて直感的にもUVとXYは平行。

すると T-IUV-JXY は相似の配置にある（一つの事を除いて）。
三角形は全部の辺が平行だし、XUT、YVTは一直線。
相似の配置の強制力から、JITも一直線である。

するとγの接線は半径JTと垂直だが、この線がITとも垂直である。
内接円もこれを接線としていることがわかり、証明が完了した。

2/15求心力の法則を求めよの意味と今の方法、2/22天体力学の安定点と摂動、
3/1幾何学公理系。3/8-29はバイオ。4月はまたニュートン(シミュレーション含む)。

要点を語ると先々週に解析力学を用いた内容から極座標では
m r'' = 遠心力 - F(r)という遠心力付きの力の方程式と
角運動量保存則 L(r,θ')=0 が出る。
変数を見ると第一式はr,tで第二式はr,θ,t(θ'の微分分母部分にtが登場)。

両式からt(厳密にはdt)を消去するとr,θ,F(r)による単一式を得る。
そこに軌道の形r(θ)を与えると、その式を変形してF(r)を左辺に持ってくると
力が決定されている。後でする。

今の力学の教科書はこういう記述あまりしないから
何を考えようとしているんだ？とかじって思った人も居るだろう。
　
　
ニュートン本は天体力学を幾何学公理系のように扱う。
我々も「現代の」天体力学をそうしよう。それが次の2週の内容。
フライバイの航行設計など宇宙開発を応援する。

また予備知識をつける必要もあるため。ケプラーの軌道要素という物がある。
時刻t0、円錐曲線の長径aと離心率e、これが置かれている場所をさらに3変数。
軌道面と基準水平xy面との角度(軌道傾斜角) I,i(inclination)
xy面の中で360ﾟどこ向きか(昇交点経度) Ω
軌道面は完全に決まったらその中で円錐曲線の置かれ方(近日点引数) ω

天体力学の基本的なことで、ついでに考察したいこともある。
多くの変数で球を表しているのがコマと類似だが、どういう関係性を設定できるか。
コマのコワレフスカヤ解と天体3体の正三角形や8の字解などを行き来させる。
原子核では回転軸と楕円体の向きと放射される角で球の同じぐらいの複雑さで、
対等ぐらいの格において記述設計できそう。
三角関数を追い出して初等幾何と四元数で運動方程式レベルから書き換える。

質量mも保存角運動量hも1にして省略。運動方程式は
(r方向)　(d^2)r/dt^2 = 1/r^3 - F(r)
(θ方向)　r^2 dθ/dt = 1
dt = r^2 dθ。 dθ/dt = 1/r^2。

2階微分の扱いは繊細で何かが出てくる可能性がある。
丁寧版と粗雑版の2方法して差から反省を入れる。
微分の分母分子を分けずに合成関数の微分法を旨として、2階微分は逐次手続きですることが丁寧版。
丁寧に左辺だけを見る（右辺は以下の計算途中には関与しない）。
抽象論も避けr = sinθという具体例をする。

dr/dt = cosθ dθ/dt = 1/r^2 cosθ

(d^2)r/dt^2 = d/dt (1/r^2 cosθ) = - 2/r^3 dr/dt cosθ - 1/r^2 sinθ dθ/dt

= - 2/r^5 (cosθ)^2 - 1/r^4 sinθ = - 2/r^5 (1 - r^2) - 1/r^4 r = - 2/r^5 + 1/r^3

上の方から何回もdθ/dtとdr/dtを持って来て書き直している。
本来の微分はtだからの特徴である。
結果式はr方向の運動方程式に入れると、F(r) = 2/r^5 という
逆5乗の求心力であることがわかる。
パラメータを復活させても変にhとh^2がかんだりとかせず同じ結果を出せるのは有志各自。
プリンキピア問題2系1がこれである。

粗雑版で行けるか見よう。
(d^2)r/(r^2 dθ)^2 これだけ書くと気づく。量子力学のLaplacianの変形であるように
1/r^2 d/dθ 1/r^2 d/dθ r という、作用素を順に作用させていく手続きを
1/r^4 (d/dθ)^2 r とは出来るはずはない。途中に入る1/r^2すらもθの関数なのだから。
2階微分の粗雑手法はダメである。やってしまうと上2行2つの作用素系列の差の分だけの
誤りが出る。よって最も簡単にやってその上の手続きになる。
ともあれ軌道の形をデータとしてF(r)を求める方法は理解されたろう。
(d^2)r/dt^2を丁寧版に微分計算して項を整理して軌道形状式からθを消去して遠心力項の分取り去るとF(r)。

金属の棒などでも砕けるような性質…燃料デブリ分析の最前線　福島（福島中央テレビ）
https://news.yahoo.co.jp/articles/e52d5f21f98ea06d50b3a881885d42391e73be84

114情報thx^^。
ラグランジュ点と自己相似解ｎ体問題と言うのをする。

太陽質量をM、地球質量をm、距離をr。
角速度はω=θ'。角運動量はm r^2 ω。遠心力はm r ω^2。

地球の受ける引力は、G M m/r^2
地球に働く遠心力は、m r ω^2
力が釣り合って円軌道のために、ω = √(G M/r^3)
ケプラーの3/2乗則である。

相対座標ですればω = √{G (M+m) /r^3}は知っているだろう。
今回その変形は扱わない。上は概算、こっち使い。
　
　
元々(遠心力を用いるような)回転座標系で考えている。
太陽と地球はx軸上に、第3物だけがy値を持つので一般性を失わない。
重心を原点とし、太陽は(-m,0)、地球は(M,0)の比例位置にあるのは小学生の天秤である。
単位はできるだけ G = M + m = r = ω = 1 に簡単化。r=1なので上でいい。

第3者を登場させる。事件に無関係とかの意味ではなく宇宙空間を動く軽い物。
これも回転座標系では静止していて質量μ。
位置エネルギーは U = - G M μ /r1 - G m μ /r2 - μ/2 r^2 ω^2。
r1 = √{(x + m)^2 + y^2}
r2 = √{(x - M)^2 + y^2}

右辺第3項は、回転座標系で回転方向の運動エネルギーだがそれを
静止しているだけで持つ位置エネルギーに、人為的に読み直す操作で
出てきている遠心力ポテンシャルである。
しかしLagrangian = T - U のTの正の1項をUに移すものなので負扱いになる。
運動エネルギーを引いた上で収まってると思っても。

Uの停留点となる(x,y)にμ物体は位置しているはずである。
∂U/∂x = ∂U/∂y = 0。
共通項μを外し(UをU/μに変えちゃう)G=ω=1。 U = - M /r1 - m /r2 - r^2/2。

1/rのxによる微分という難しい所だけ先に見よう。
∂[{(x + m)^2 + y^2}^-1/2]/∂x = -1/2 {}^-3/2 2 (x + m) = - (x + m) /{}^3/2

他の項の微分もみんな同じ形態。r^2はx^2+y^2だから簡単。
∂U/∂x = M (x + m) /r1^3 + m (x - M) /r2^3 - x
∂U/∂y = M y /r1^3 + m y /r2^3 - y

これらを0と置くのがラグランジュ点の何も省略していない方程式である。
その教える所を観察すべし。
　
　
第2式からy=0という解がある。方程式が示唆をしている。因数分解できてても解はある。
それを直線解と言う。yを因子から外し他の解を探す。

第1式を項を動かして整理する。
M m (1/r1^3 - 1/r2^3) + (M/r1^3 + m/r2^3 - 1) x

ところが右項は、第2式がy=0でない時0。
すると左項から明らかにr1 = r2。配置は2等辺3角形である。
r1=r2 をもう一度 M/r1^3+m/r2^3-1=0 に入れる。

すると M + m = r1^3。単位系の仮定から左辺を1としている。
r1 = r = 1 から正3角形解が結論として得られた。

回転座標系で遠心力1項だけを置いて停留点という方法であった。
次リプで正3角形解、次々で直線解の形。

正3角形解。文字を変える。太陽1、地球2、宇宙機3。ijkで取得したりもする。
r1,r2,r3を共通重心からの位置ベクトルの記号とする。
次リプの直線解では1次元特有の事情でベクトルとスカラーが同じになる。
m1 + m2 + m3 = M と書き、rk - ri = rik (iからkに向かうベクトル) と書く。
ベクトルの長さの方を使う時は||記号に入れよう。|rik| = r。

重心の条件式 m1 r1 + m2 r2 + m3 r3 = 0 から変形して
(m1 + m2 + m3) r1 + m2 (r2 - r1) + m3 (r3 - r1) = M r1 + m2 r12 + m3 r13 = 0 を得る。
或いは M ri = mj rji + mk rki。

万有引力を大学以降は分子をベクトル分母を3乗にして記す。運動方程式は
mi ri'' = - G mi mj rji /r^3 - G mi mk rki /r^3 = - G mi (mj rji + mk rki) /r^3 = - G mi (M ri) /r^3
もしrが一定なら単振動の形。riは3成分ベクトルだから空間では(バネ型の)楕円運動すると思われる。
3つの単振動のベクトル合成は2次元で動く。
　
　
|ri|を定めるにまず2乗を内積として求める。r12とr13の角は60ﾟでcosは1/2。
M^2 r1^2 = (m2 r12 + m3 r13)^2 = (m2^2 + m3^2 + m2 m3) r^2 = μ23 r^2
部分式に名前を付けた。添字循環で |ri| M = r √μjk

ri'' = - G M ri /r^3 = - {G (μjk^3/2)/M^2} ri /|ri|^3
強度が変更された重心からの単体の実効万有引力の元でベクトルriは動く。
正3角形の要請から3つの物体の動きは相似。

直線解。正3角形解は辺の長さrという共通の物があるのだった。
直線はそんな物は無いから散らばっている間の長さその物を使う。
通常はriなどはベクトルとすべき所だが、直線1次元なのでベクトルをもスカラーと見なせる。
r12 = r2 - r1 = a、 r23 = r3 - r2 = bとおけば、r13 = c = a + b。
この3つの距離だけの同次式にして、z = b/a で1変数方程式化が方針。

物体iに働く遠心力は mi ri ω^2
物体iに働くj,kからの重力は G mi mj /(ri - rj)^2 + G mi mk /(ri - rk)^2
両者は等しいで式を立てる。すると回転座標の中でそこの位置で止まる動作がある。
mi ri ω^2 = G mi mj /(ri - rj)^2 + G mi mk /(ri - rk)^2
　
　
miで割りω^2/G = αと置いて α ri = mj/rji^2 + mk/rki^2
具体的に
α r1 = m2/r21^2 + m3/r31^2 = m2/a^2 + m3/c^2
α r2 = m1/r12^2 + m3/r32^2 = m1/a^2 + m3/b^2
α r3 = m1/r13^2 + m2/r23^2 = m1/c^2 + m2/b^2

差を取り
α a = m1/a^2 + m3/b^2 - m2/a^2 - m3/c^2
α b = m1/c^2 + m2/b^2 - m1/a^2 - m3/b^2

下を上で割る。分母分子にa^2 b^2 c^2を掛ける。分母分子をa^4で割る。
z = b/a = {m1/c^2 + m2/b^2 - m1/a^2 - m3/b^2} / {m1/a^2 + m3/b^2 - m2/a^2 - m3/c^2}

= {m1 a^2 b^2 + m2 a^2 c^2 - m1 b^2 c^2 - m3 a^2 c^2} / {m1 b^2 c^2 + m3 a^2 c^2 - m2 b^2 c^2 - m3 a^2 b^2}

= {m1 z^2 + m2 (1+z)^2 - m1 z^2 (1+z)^2 - m3 (1+z)^2} / {m1 z^2 (1+z)^2 + m3 (1+z)^2 - m2 z^2 (1+z)^2 - m3 z^2}

z = (zの4次式)/(zの4次式) の形をしていて、これはzの5次方程式となる。その解を用い
比例定数ρを用いて r12 =ρ、r23 = z ρ、r13 = (1+z) ρ と書けよう。代入して
十行ほど上の式から α(r2-r1) = zとρの式 = αρ。右側の等号でρの方程式として完全に定まり、riなども決まる。

プリンキピアは公理的方法で書かれていると言う。しっかり精密化すべきだと思う。
ユークリッド幾何学は体系を何人もの人が、それなりに自分自身の一仕事を終えたら
取り組むのような向かい方で、ヒルベルトにしろ何回も体系が提示されているのに、
我らの本題の力学公理系は一人が書いた後は、路線は継いでもらえず放置されている。

初めに解析幾何学を作ってしまったとの想定の下に、論証の分野を導出する。
圏論のようなもので、集合まで降りずに構造だけで推論がなされる。
ギリシャが別の世界線の存在で初等幾何が歴史に登場しなくて、その想定なら
必要とされああなるほどと言われ、大いに作られるべき推論技術の分野だったと思う。

三平方の定理一つを取っても解析幾何学で証明することは容易。
しかし本質のためには、それを使わない証明方法を可及的に列挙するのもさらに重要。
「平面上で3点を取り、1つの角を直角と想定してください。その時にフェルマー最終の
幾何学版n=2とも呼ばれるべきものが成立しているでしょう」。これが三平方。
言い方に含みを込めてるのはその変換対称制約など為すべきこと多しの余韻を香具わせてる。
　
　
本リプ後半は上記の証明をさっとする。文字も一般的で。高校2年レベル。
レベルが高校2年だから、あえて読み易さ化をしないで、目をチラチラさせるような記述。
こっち系にも慣れてもらう。ちゃんと読むこと。
(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)

(x2-x1)(x3-x1) + (y2-y1)(y3-y1) = 0 が移動ベクトルの内積の条件からの直角を表す数式。

(x3-x2)^2 + (y3-y2)^2 = x2^2 + x3^2 + y2^2 + y3^2 - 2 x2 x3 - 2 y2 y3

(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (x3-x1)^2 + (y3-y1)^2 =
x2^2 + x3^2 + y2^2 + y3^2 + 2 x1^2 + 2 y1^2 - 2 x1 x2 - 2 y1 y2 - 2 x1 x3 - 2 y1 y3

直角の条件式から、x1^2 + y1^2 - x1 x2 - y1 y2 - x1 x3 - y1 y3 = - x2 x3 - y2 y3
即ち三平方の定理はほぼ自明である（さすがに読めたよね？）。とこう来る。
こういう方法しか無かった所に論証幾何を建設する方法を、ニュートンを参考に物理に。

プリンキピアを動かしているものは、まだつかみきってはないが
ケプラーの面積則、求心力の概算、そしてケプラーの方程式なるものである。
面積である以上は底辺と高さの積と書け、それを線分長さを使っていつも具体的に書いてる。

求心力は m v^2/r というのである。このvがやはり辺の長さで書かれ、
1月の始めの方でやった、速度を初等幾何で表現したい時は、抽象的感覚を持ちながら
1/vに比例する距離だけ離しての軌道経路の2重化となる図を描いての幾何処理が出来る。
そこも線分の長さで表され、物理量全部が線分長さの積の分数として出て来る。

さらにr = l/(1 + e cosθ)のような形から、力学は三角関数がしょっちゅう出て来る物。
ここにケプラーの方程式なる扱いが為され、それは面積則とそんなに違うわけではないが
全く違う技術としてニュートン力学に2回目現れ、速度空間ホドグラフという方法を
ニュートンは生み出して、抽象パラメータθが描く面積として時間ｔが計算されるとしている。
ここを把握すれば力学ができている感を抱くだろう。大学の力学でもｔは積分値で計算結果
と言うこともそういうことに注意を持つ人なら気が付いていた。
　
　
ニュートン本で求心力は遠心力ポテンシャルではなく、m v^2/rの2段落上的な抽象2重化図形
として動かされる。速度を表現する物を1/vに比例して離して線分長さの積の分数と幾何。
総合的に幾何的論証に依拠し、分数の中の線分長さのベキの個数、それに円錐曲線の古来の定理で
逆2乗である必要があると論証する。これが比較的巻頭に近い所にある山である。

次に、各物体の運動はｔもｘやｙも共にホドグラフ上で抽象パラメータθの刷く(掃く)
面積であると定め、運動の問題は公式として局所的に解けたとする。
大域的に、つまり円錐曲線が逆2乗から、その公式を経由する意味でも成立すると言わねば
ならないが、そこも言っていると思うがもう少し見る。

それから動かせるパラメータを変えて、ニュートンは摂動は求心力を増強させる形で
とりあえず捉えられるとする。質量mなのにm+αの力が来るなど。
そして木星や彗星や月の運動をさらに正確化へ追い込む。また潮の満ち干の記述に取り組む。

具体的にはまた4月以降にすると思うがこの続きをする。
もう仕上がった姿を見たくなったよね？仕上げを目指してみよう。
このスレで取り組んでみよう。廃炉のための「待ち」の時間を使って研究しよう。

我々としては電磁気学や核内QCD流体の幾何化がしたいのだから
必ず電磁誘導や渦電流も3次元空間に次元は上がることはあっても幾何化が出来るはずだと
多少の道具的信念で臨み、初等幾何化定理の形に、可能条件の判定法にしよう。
　
参考にするのはユークリッド、アポロニウス、和算円理。
方法は証明から数式計算を撤去して、オブジェクト関係の論証にする。
保存則があるとそれを面積の保存として書いて周辺に幾何を作る。
この方向だと可積分系や正準力学が理論の対象で高級な所へまでつながる。
　
　
ところでそうそう多くは結果的なことも用意出来てないからもう雑談。
ユークリッド原論はプリンキピアから参照先にも指定されている。
率直な感想は、基礎付けと実になる工学型知識を分けて書いた方が良さそうと。　
先に何を示し今何を示し、同じものに等しいものは等しいから何命題により等しい
こんなだるいこと書かれると工学にならないから、江戸の人が入手しながら
消化しなかったの少しだけはわかる（事実関係としては江戸の人の態度の方が間違ってる）。
量は質につながるから長文を記す習慣の文化の方が質を上げて結果を出せる。

ユークリッド原論の中身はそれほど多くはなく、分からない所を飛ばせば
理系のちゃんと学力のある人なら２週間もあれば読めると思う。
最初の４分の１ぐらいが幾何で、それ以後は奇数引く奇数は偶数だ、なぜなら
のような話で、最後の５分の１が立体幾何だが、垂直ということにこだわった
内容ばかりであまり建設されているとは言えない。正二十面体を少ししてる。
言っている言葉を追っていくのが労の多い本だが、しばしば定理の簡単化証明を
ここでもしているようにAIなら冗長を除いた最短で学べる本に作り直せるのでは？

アポロニウスは双曲線屋とでも呼べるような人で3月の裏側でこの解析幾何を用意したい。
和算はギリシャと動向が似てて自然に算術と円理幾何になったというのがよく似てる。

率直に言ってプリンキピアは見えて来たから、今年いっぱいフルにするんだけど
少しゆとりを持とう。入手している人は、1編の3分の1くらいまで円錐曲線の
作図法を与えよの問題、その後に変なわけのわからない図がいくつか並んでいる
のを見ていると思う。文脈を押さえるとそうでもなくて、右側は2つの物理量の
普通のグラフで左側は解釈に使う同心円とその中の曲線。こんな風に読める。
解釈の方法はケプラー方程式からのホドグラフをニュートンは普通使っている。

だからわけのわからない物は無い。残っているところ（まだ８割ほどは残ってる？）
を攻略して解釈インフラとして社会に提出てか提供しようと思う。
第2編などではなぜこんな言いたいことが入ってこないような書き方をという
印象をみなさん持ち、同じである。そこの分析も少し批判視点も交えてしてみる。

読み方が伝わり、読みにくさの構造性がきれいに解きほぐされると、哲学書の
カントやヘーゲルのように、一般的に解説注釈書が出来ていくものになるだろう。

さらに、なぜこの結論を出せてる？という突っ込み方。
r = sinθの時に逆5乗則だと自信を持って書いている。我々は微分の記号を自由に
使えている時代だからそうだね、と共通推論の形式で人と人との同意に辿りつけるが、
この体系運用して自信が持てないことにはならなかったのかなあ、とか。
よくどんどん進めれるなあと。そういうことを解いて行ってみたいと思う。

今日3月8日からしばらくはバイオをする。

その後でまた戻り系の隅々まで押さえたり、上級の構造化へ向かう。
まず円錐曲線の幾何と二重化法による物理運動の初等幾何、その論証化。
その後で少し話題を変え(PCや建築)、また戻り
円錐曲線を楕円曲線の次元落としとコホモロジーでそれらをつかむ（今狙って準備中）。
その後でまた行って戻りで
モデル理論と代数解析K理論でそれらをつかむ。
どこまで出来るか。最後の行の以外は現実プラン。

昨年最終の予告が臓器移植だった。これをする(2025-12)。
気分的にバイオをいっぱい時間取りたくて、今日のノーカンにしようかな。
もちろん被曝した危ない人を臓器移植で救出することはありうる。
そのためにスレのトピとなるが、しかし他人の本来の所有物を犠牲にしている。
移植はこの問題を離れることはずっと出来ない。

我が国では移植件数は国際的にかなり少なくて、逆に米国やスペインが多いそう。
いいのかなと言う問題もいつまでも付きまとうから、どっちの国も正しいのだろう。
技術の質の向上は目指すが、必ずしも施行症例を量として増やすとは
少なくとも私は思っていなくて、だから日本はダメなんだと言われれれば一面ではそうで。

また次第に技術が向上するから安全性も高まってくる。
そうすると需要が増え、多くの人の本来的所有権を犠牲にする危なさが近づく。
話題もほどほどでいいのだろう。
　
　
さて法律も定まり、心臓、肺、肝臓、腎臓、膵臓、小腸が保険にまで掛かる。
中でも腎臓が多く透析からの脱出意図で登録され10年も待つほどの状況だそう。
他のは2-3年とか。登録してからリスト上で点数評価され順位が上がって行く。
禁忌は大量飲酒癖などコンプライアンスの問題の人と全身病で適応から外れる人。

何らかでリスト上位者に声が掛かる時、ABO赤血球血液型とHLA(白血球血液型)が
重視される。公共の所からではなく知り合いでする時、ABOは乗り越えられ
HLAの抗体が反応し合うかが最も重視される。ここに問題がある時は脱感作療法と
いうアレルギーの時にする方法をして抗体を反応しないように学習させる。
アレルギーの究極はアナフィラキシーだからそこを抑え込んでするとは
かなりの医療技術になったのだとはわかるだろう。免疫抑制薬も用いる。
そうして大抵進む。拒絶反応も時々ある。
まだ初期段階技術だからなのか対症療法(有り合わせの手段で何とかするだけ)である。
だがABO異種の人へは現代では余裕でできる。

元々は外科では腫瘍の外科手術が大量にあり臓器技術が相当に向上している。
移植はその意味では一歩進むだけらしい。心臓以外は腫瘍手術がよくあり
そこのよくできる人が移植にまで進む。血管をクリップで止めて切って
必要な場所において縫合して、後は患者の不快な思いを最小にするように精一杯配慮するだけ。

不思議だよね。不思議だ。何が？どうしてそれが置かれてレシピエント(受け手)
の脳の指示を受けて動いているのか。或る程度疎遠な関係の生物種同士なら
縫合しようが全然関係ないと扱われるだろう。しかし実験して神経とかは
つなごうと特別にしなくても動くのである。人間の体のつくりがそうなっていた。
小児のレシピエントも多いが移植臓器もちょうどのサイズで成長を共にしてくれる。
　
　
我々はそういう手段が可能であるという既に一般化した実践技術からもっと
学ぶことが出来る。手段として持っておいて様々な危ない状態の人への適用を
時に検討するという本来のとは別に前線を広げていくことも。

胃はどうか。歯は。それぞれの骨は。眼球はあるけれど視力には関係がなく。
しかし聴力系はどうか。脳だって出来そうに思う。生殖器も。腕一本とか。
今回10冊以上文献を見たがどうして動くの？と言うことは書いていなかった。
なぜなんだろう。そこの仕組みは本質的だと思う。歯や骨ぐらい簡単そう。違う？
　
　
さて移植を受けた人は免疫抑制薬は一生続く。カルシニューリン阻害薬というのが多い。
カルシニューリンだけ検索して調べておいてくれればいいと思う。
血中濃度を見ながら投与量を調整して決定していく。すなわちずっとその薬が
体内にあるように管理されている。

拒絶反応の再発もある。アレルギーのように免疫の一つの形である。
リンパ球増殖の悪性腫瘍が多く、皮膚とその臓器に一般人よりも多く発生する。
その理由に免疫抑制薬もあるが因子として元が異物だからや赤白血液型の強行。
大抵は臓器の末期の人が適応と許可が出る。余命診断までされるような人である。
倫理問題があるから。肝臓も膵臓糖尿も。骨髄少々でいい白血病は標準治療。

原子炉直下に想定外「消えたコンクリート」　福島第一原発、今も残る謎　#知り続ける（朝日新聞） https://news.yahoo.co.jp/articles/6f6855ab79113f81c7be0229779b5eed0c60ce23

>>125
コンクリートだけが酸に侵されたんじゃないかな
鉄筋は残ってるわけだし

バーコードやQRコードがあり様々な情報を伝えるのに使われている。
この手法で問題の解法を適切に伝えれるか？
積極的開発をする話題。

思うに理数書も散文ばかりである。論理にしようとすると、
言う人は居るものの現実にはアセンブラ言語（の記述的手間さと書かれたもの
が意味を読み取れなくなる危惧）にも思われて中々進んで来ない。
この中間の形があってPC用にするの可能性。
　
　
さてAIが何でも知っているのではなく高校3年の標準ぐらいの学力としよう。
とすると大抵の問題は中々解けない。段階があるが小5で中2で高2で大1で、
昭和のコイン転がし落とし駄菓子屋ゲームのようにコースを外れて多数脱落する。
まあ受験勉強途中の偏差値55ぐらいの学生を想像すればいいだろう。

ここにバーコードやQRコード類似の限られた範囲のデジタルを渡す装置がある。
ヒューマン的な有限さに限定している情報渡し装置である。
（対立概念は理論的な有限さ。指数関数で上限を押さえれるとか言っても仕方なく）
　
　
そのコードマークを読み取ると或る問題が解けるようになる。
関連する近い問題には類推力が働き学力がその影響範囲で付く。
これが学生が学ぶ時にそっくりになり、関連する問題への応用がいかにも人間的で、
教育学習を模しているような状況。

(1)こういう状況をAI-PC体系の土台に於いて作ることは可能か？
(2)コードはどんな言語なら出来るのか？
(3)問題や話題への特異度を上げて行く（それだけが解けるようになる）

廃炉はこうだよとQRコード類似物1つ記号に収まるようになって仕上がるといいな。
幾何の証明なども論理に仕上がるのではなくQRコードになって伝え合い
AI同士はそれで概念発見等と通知し合い、ユークリッドもそう再構成される。

今日は雑談。
3/22は血管・血液・輸血を題材に分子主義でストーリー仕立て(2026-1)
3/29植物(2)、4/5女子化粧(3)、4/12-26理数
5/3本格派分子医学(4)、5/10生物統計(5)、5/17建築、5/24-31パソコン論

ゴールデンウィークを充当したくなる筈と予測して食いこませてる部分あり。
統計はこのスレで出て来ては消えるが次はする。
ファイナンスにマウントするという次の目標が出来ているためである。
実践介護、検査技術、高分子数値計算、テキスト処理型での健康談義集成
みたいなのをまた期間置いた後に。
どれも原子力のおまけで置いておいていいと思う。
　
　
トピは大きく2つ思いついて、輸血をすると抗体が出来る。
手術を受ける時に輸血をしたことがあるか聞かれると思う。
体の中に履歴が残るからである。さらではなく免疫的に違う状態になってる。
何かの時にそのことを勘案して対処を探るからという情報取り。

そのような事情のため今では輸血を積極的には用いない。
輸液や点滴というのは全く別である。が外科と産科でまたICU等でそれぞれある。

別方面のトピとは、血管や血液の周辺で間葉系細胞への細胞転換があるらしい。
再生医療で細胞を操作して変える技術があり、ストレスがそれを起こすという
話題すらもあったはず。低酸素がそれを起こすということになっていて
これは違う動作性を起こし、つまり言ってることは臓器の低酸素で直接腫瘍が発生
することはある。実験で言っている。DNAの傷とはまた別である。
エピジェネ指向の腫瘍で、既存のが悪性化する場面としても注目されている。
我々原子力でそういう機序で起きてる場面が無いかはまた見てみよう。

２０５１年の廃炉、極めて厳しく　デブリ本格回収、見通せず―東電福島第１原発―東日本大震災１５年：時事ドットコム
https://www.jiji.com/jc/article?k=2026031100779

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https://www.jiji.com/jc/article?k=2026031100779

今日はインプット偏重で何を書こう。
ほぐれて来たらそっちのが得る物多いからという算段でですね(インプットに比重を置いたの)。

分子生物学を物質分子のキャラを立たせてストーリーで、と予告したが
それが出来たらもう結構なものなわけで、学習用の漫画にしたら
素人が楽しみ食いついて読んで、数百個の知識が入って来るようなものになるのだが。
そのうち出来ると思うが、今日その内容は出来ない。とりあえず夜半までは粘る。
　
　
感想を言うとバイオの一般の教科書は平板な記述が多い。
何がどうと言うような内容が3行に2つぐらいあるような感じで延々と続く。
それぞれが報告と時間をかけた賛否によって決まって行った言述で
なんて大量にあるんだと思ってしまうことも。
どうこれを入り込んだ把握できるかという問題になる。

その問題を読者と一緒に解こうと思う。
思えば趣味の世界もそんな入り方をしていたはずで、ボードゲームの人とかは
すごい細かい分類でそこを理解しているが、外部から見ると、それが相当。

その問題の解決案は、結局は体系をつかむ方法で、或る程度は大量にして
単語や概念は詰めて、収穫曲線も意識して、収穫が減り始めることを
感じれるぐらいが大量の目安で、有機的つながりを自分の方から指摘できる
ように段々なるとホーム感。時間にあくせくはしないで、はまるほどさらに
時間が費やされて、なんとなくそこの人になる。
　
　
忙し過ぎてそんな一つの世界に入り込むような気構えや何やを構成し得ない
と言う人が普通で、だから最短コースで入り込める提供法を思っている。
そうすると、これを自分の研究にしようという人も出てその人の生産で豊かになるから、
戦略としては妥当である。
再生医療には発生学つまり分子生物学が必要で、そこを少し面白く見せられれば。

和算の体系を学んでみよう。

原子核のトピで和算て。
あれこれ調べる→書かないともったいなくなる→書く。
こんな感じで読者に知識が。
あとひそかにあの丸いのを陽子とかに見立てたいと思ってる。
　
　
(1)二円の共通接線に関し
大きさの違う重なりは無く離れる2つの円について、だがほぼ近い大きさでイメージしてもらえば
外側で平行に近く包むようなのと、間の領域でクロスするようなのと
全部で4つの共通接線が描かれることがわかる。

線対称性を考えればそれぞれ2つの共通外接線、2つの共通内接線(そういう名前を付けるとして)
はそれぞれ長さが同じ。さらに内接線と外接線の交点が4つ現れる。

接点と交点との距離、が双方の円について等しいというのが定理である。

証明。円をO1とO2、共通外接線をACとBDとする。AC=BD。
AとBはO1上、CとDはO2上、でそれぞれ接点で表している。
クロスして来て、Aの近くに交点を作る共通内接線がある。これを直線IEHLとする。
EはO1上、HはO2上、Iは交点でAC上、Lも交点でBD上。

円O1から見た線対称性でAI=IE。 同じくHL=LD。
円O2から見た線対称性でIC=IH=IE+EH。 同じくEH+HL=EL=BL。

AC = AI + IC = 2 IE + EH
BD = BL + LD = EH + 2 HL
これより IE = HL。

(2)余弦定理
△の頂点を上A、左下B、右下C、AからBCに下した垂線の足Hと名付ける。

AH^2 = AB^2 - BH^2 = AC^2 - CH^2 = AC^2 - (BC - BH)^2
すると AB^2 = AC^2 - BC^2 + 2 BC･BH
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 BC･BH

BH = AB cos∠B なのでこう書くと三角関数型の余弦定理である。
ともかく角Bを主人公な場所とした形の余弦定理を証明した。

垂線の足までの長さとの積をおまけ項に、という形で使われる。
プリンキピアにもこういう形で辺の長さの積が導入されてる所がある。
　
　
(3)ヘロンの公式（ギリシャ型証明）
(AH, BH, BC, CA, AB) = (h, d, a, b, c) と書き換える。
余弦定理の稿、するとの行は、c^2 = b^2 - a^2 + 2 a･d
変形して
d = (a^2 + c^2 - b^2)/(2a)
直下の第3等号ではcではなくd^2の方を消去したいがためにこういうくくり出しをしている。

面積の普通の式を書き換えて行く。
△の面積S = 1/2 a h = 1/2 a √(c^2 - d^2)
　= 1/2 a √{c^2 - (a^2 + c^2 - b^2)^2 / (2a)^2}
　= 1/2 √{a^2 c^2 - (a^2 + c^2 - b^2)^2/4}

16 S^2 = 4 a^2 c^2 - (a^2 + c^2 - b^2)^2
　= (2 a c + a^2 + c^2 - b^2) (2 a c - a^2 - c^2 + b^2)
　= {(a+c)^2 - b^2} {-(a-c)^2 + b^2}
　= (a+c+b)(a+c-b)(b+a-c)(b-a+c) = 16 s(s-b)(s-c)(s-a)

但し s = (a+b+c)/2。

内心と各頂点A,B,Cを結んだ線分で△を3つに分けることにより
△の内接円O1の半径をrとして、S = 1/2 r (a + b + c)が言える。
これと(3)の式でrも求められる。
一方、r(a+b+c)を別の方法を使ってa,b,cで表せれば、それが和算型のヘロンの公式とも言える。

(4)ヘロンの公式（和算型の証明）
辺の呼び方の名づけを変える。
Aから内接円接点までの長さをa(2つあるがどちらも長さ同じ)、
Bからのをb、Cからのをcとする。AB=a+b、BC=b+c、CA=c+a。

ABの左外側に△の傍接円(O2、半径はR)を描いてみる。
CB,CAは内接円と傍接円の共通外接線になっている。
ABは内接円と傍接円の共通内接線になっている。

O1からBCに下した垂線の足をD、O2からBCに下した垂線の足をEとする。
Dは△の内接円の接点、Eは△の傍接円の接点である。

(1)の定理よりEB=a、またBD=b、DC=c。

BからO1への2つの接線はBCとBAであり、
BからO2への2つの接線はBAとBEであり、それぞれ線対称性を持っていて
O1BO2は直角となる。

これより角の等しい直角三角形の相似で、R:a = b:r

また相似の関係からR:r = EC:DC = (a+b+c):c

R = a b / r = r (a+b+c) /c

ゆえに r^2 (a+b+c)^2 = (a+b+c) a b c
辺の名替えは一次式なので直してくれれば。

もっと多くしようと思ったんだが出来上がらなくて。これだけ。
楕円の幾何学的中心から近日点を向いて、長さが離心率eに比例するような
レンツベクトルLnという物を作ると、運動のこれまでの考察からは保存量のはずである。
原子の電子に使えるだろうし、もっと難しい系の場合の参考用にしよう。

Ln = G M m 離心率e
Ln = m v×(r×v) - G M m rhat
rhat = r/|r| でベクトルの方向だけを取得したもの
単位次元は kg m^3 /s^2である。
rやvは無言及ではベクトルで、ベクトルの外積と内積は×と･で明記する。|r|^2 = r^2

・実際に保存すること
・離心率とその関係であること
・その方向が中心→近日点であること
　
　
m r×vは角運動量だから既に保存する。
万有引力は dv/dt = - G M |r|^-3 r
d|r|/dt = (v･r)/|r|
右辺はvのr方向への射影という意味。

ベクトルについて a×(a×b) = (ay (ax by - ay bx) - az (az bx - ax bz), …)
　= (- (ax^2 + ay^2 + az^2) bx + (ax bx + ay by + az bz) ax, …) = - (a･a) b + (b･a) a

d(r/|r|)/dt = |r|^-1 dr/dt - |r|^-2 d|r|/dt r = |r|^-3 {r^2 v - (v･r) r} = - |r|^-3 r×(r×v)

d(Ln/(G M m))/dt = - |r|^-3 r×(r×v) + |r|^-3 r×(r×v) = 0

Lnとr×vの内積を求めると、定義右辺1項はr×vと垂直のベクトルのはずで
右辺2項はrの方向でこれもr×vとは垂直のベクトルで0を得る。
角運動量ベクトルと垂直なのでLnは軌道平面内にある。

rとLnの為す角θを真近点離角と言う。一番普通の軌道平面内での近日点方向から測った角なのだが、
代数的定義が実際にそう幾何的なものであることを見よう。

Ln/(G M m)とrの内積を作る。
rhatとrの内積は|r|。
(v×(r×v))・r = (r×v)・(r×v) はr,v,r×vの3つのベクトルについての平行六面体公式。

すると Ln/(G M m)・r = (r×v)^2/(G M) - |r|

|r| {1 + |Ln/(G M m)| cosθ} = (r×v)^2/(G M)
極座標での円錐曲線の方程式で、|Ln/(G M m)|を離心率eと解するのが良いことがわかった。
似た形式が出ただけでてんで違う物の可能性は？とか突っ込む人がいるが、
それがそうなら双対とかさらに豊かになるので話をまとめて指摘してもらいたい。

4行上の方程式で右辺はr×vが保存量。
左辺はθが0のとき{}が最大で|r|が最小となる。
rとLnが角度0のときrが近日点方向ということだから
ベクトルLnの方向が幾何学中心→焦点→近日点を表わしている。

天体摂動や宇宙航行でもこの動きを見るといい場合がある。
原子力のエネルギー問題絡みで宇宙輸送をする手筈なのだから関係する。

運動法則と万有引力ポテンシャル→しかる保存則対称性が示されたが
万有引力ポテンシャルと保存則対称性を人為に初めに自由に与えて運動法則を求める話。

求心力を求める例をもっとやってみる。2/15の内容で、
軌道式 f(r,θ)=0の微分を求めて、dθ/dt=r^-2 (角運動量保存式)と軌道式自体を使いながら、
θとdθ/dtを消去し続けて r^-3 - d(dr/dt)/dt が求心力 F(r)になることがわかっている。
数学的な形状だけ見て、定数倍などの係数はあまり扱わない。必要な人はそれぞれで。

円錐曲線 f(r,θ) = r (1 + e cosθ) - 1 = 0をやってみる。
1 + e cosθ = r^-1
df = dr (1 + e cosθ) + r (- e sinθ dθ) = 0
dr/dθ = r e sinθ/(1 + e cosθ) = r^2 e sinθ
dr/dt = dr/dθ dθ/dt = e sinθ
d(dr/dt)/dθ = e cosθ
d/(dr/dt)/dt = e cosθ r^-2 = r^-2 (r^-1 - 1)
F(r) = r^-3 - (r^-3 - r^-2) = r^-2

軌道が円錐曲線ならそれを求心力が起こしているのなら逆二乗の形と証明されたのだが、
e=0とする退化を辿ってもらいたい。dr/dθが消えてしまい以後が辿れなくなる。
即ちこの方法では円軌道についても楕円軌道のe=0極限と見ることで力の形状を得る流れとなる。
　
　
r = e^θの例をやってみる。
dr/dt = dr/dθ dθ/dt = e^θ r^-2 = r^-1
d(dr/dt)/dt = d(r^-1)/dr dr/dt = - r^-2 dr/dt = - r^-3
F(r) = r^-3 - (- r^-3) = 2/r^3

これは等角らせんである。∵)角θ測る用のθ原点を内的に変えると係数Aに入り r = A e^θ。
シフト角分だけ回転させて縮尺を掛ける。変化物は元の物にぴたり重なろう。
回転と等倍で角度は不変。どこを回転縮尺で注視点選びにしても同じ形状で重なりらせんは等角性を持つ。

角運動量の正指定で反時計回り。r=e^-θはr=e^θと同じ結果を出す。
というのはらせんを描く時縮もうが広がろうが引かれて中心に向いて曲がっている事情は同じ。
もし斥力なら外側へカーブするので内側にカーブするなら求心力。

回転円軌道上で宇宙機同士がランデブーする際のヒルの方程式を基礎から学ぶ。
遠心力・コリオリ力・加減速力・回転面の上下振動が見られる。
上下振動は本当は少し斜めなのだと思うと周期に同期して上下しているとも見れるが解釈。
地球の赤道上空を公転する例をする。zが北極星方向、xが半径外向き、yが進行方向。

さてdA/dt = δA/δt + ω×A。左辺は静止系。δ/δtは回転座標系で見る時間微分。ωは角速度。
Aが回転座標系での外向き方向ベクトルと決め打ちすると、回転に連動して静止でのy成分を獲得して向きが回って行く。
y方向ベクトルなら-x成分を獲得。少なくとも考察微小の時間範囲では右辺第2項の置き方形式で良さそうである。

d(dA/dt)/dt = δ(dA/dt)/δt + ω×dA/dt
　= δ{δA/δt + ω×A}/δt + ω×{δA/δt + ω×A}
　= δ(δA/δt)/δt + δω/δt×A + ω×δA/δt + ω×δA/δt + ω×(ω×A)

二階微分まで片付けたから以後A=rの場合だけを扱う。m掛ける左辺は力。mで割ったまま考察。
… = r'' + ω'×r + 2 ω×r' + ω×(ω×r)
運動系での動作が静止系での力をも受けてどうなっているかの読む方程式。
dω/dt = δω/δt も(Aにω入れ)わかる。
　
　
回転座標系でのr=(x,y,z)と書く。宇宙機をその原点に置いてる。遠い所に原点がある静止座標系ではない。
ちなみにその場合はδrとrが同一物になる。角速度ベクトルω=(0,0,n)としよう。

ベクトル外積計算で
ω×r' = (0,0,n)×(x',y',z') = (-n y', n x', 0)
ω×(ω×r) = (0,0,n)×(-n y, n x, 0) = (-n^2 x, -n^2 y, 0)
加減速はnの変化ではなくxyzで表示されnは定数とする。ω'×rの項は0。

ところでここまでの考察では座標を回転系にしただけで重力を思っていない。重力を入れる。
遠心力 m r n^2 = G M m / r^2 の平衡式からは n = √(G M /r^3) の関係式が付く。
重力は左辺の…部に入る。しかも潮汐力だけである。主要部は前行型で系作りに今使用された。

スラスタ等制御力加速度 + 重力潮汐型加速度 = (x''- 2n y' - n^2 x,　y''+ 2n x' - n^2 y,　z'')

重力ベクトルの位置による変化を探る。
そのために重力ベクトル g = - G M r /|r|^3 = - n^2 r を各方向に偏微分する。
その9成分量と位置変位ベクトルとの内積で、位置による変化がわかる。
n^2とはまだ置いてはいけない。円軌道に固定せずもっと自由な動作を見る段階なので|r|が固定していない。

∂(|r|^3)/∂x = ∂{(r^2)^3/2}/∂x = 3/2 (r^2)^1/2 2x = 3x |r|

∂{g_x/(- G M)}/∂x = ∂(x/|r|^3)/∂x = |r|^-6 {|r|^3 - x ∂(|r|^3)/∂x} = |r|^-5 (r^2 - 3x^2)
∂{g_y/(- G M)}/∂x = ∂(y/|r|^3)/∂x = |r|^-6 {- y ∂(|r|^3)/∂x} = |r|^-5 (-3x y)

結果9成分行列 ∂g/∂r = - G M |r|^-5 (r^2 I - 3 [r,r]) = - G M |r|^-3 (I - 3 [rhat,rhat])
[r,r]等はベクトル同士の全成分積のつもりだがその内容はあらわに書くとその上の物。
　
　
さて微分計算は終わったのでnを使っても良く、またr/|r| = (1,0,0)。
∂g/∂r = - n^2 (I - 3[但xx成分のみ])
これは対角行列である。だから3成分ベクトルに掛ける時も簡単。
重力それ自体は回転座標系の構成に含まれていて、位置による小さな変化が潮汐力的に力の方程式に入るのである。
それは ∂g/∂r・δr = - n^2 (x - 3x, y, z)

前リプ最後の式左辺第2項に入れよう。- n^2 x 的な物が良く打ち消し合い
(ax,ay,az) = (x'' - 2n y' - 3n^2 x,　y'' + 2n x',　z'' + n^2 z)

これがヒルの方程式である。
もちろん夜でも成り立つ。六本木夕方ズとか芸人にいそう。
-2n y'と2n x'はコリオリ力の項。
n^2 zは単振動に見せる項。但し周期が回転周期なので単に軌道が傾いてる。
またx'' = 3n^2 x + …、と書くと半径方向に広がって行く不安定さがある。(本当？)

1リプ半でケプラー方程式を導出する。準備1で次の半で本導出。
長半径a、短半径b、中心焦点距離c、離心率eの楕円を考える。
c = a e のこと。∵)
r = l/(1 + e cosθ) においてlの定数倍時にrは定数倍される。当面l=1で略。
この方程式が楕円であることはr cosθ = xと置いてr = l - e xを2乗すれば見える。
θ=0でr=1/(1+e)、θ=πでr=1/(1-e)、θ=π/2でr=1。

楕円の方程式はx^2/a^2 + y^2/b^2 = 1である。
θは中心ではなく焦点から測る角度であるため上の結果からb=1はない。
θ=π/2でのrは短軸とは並行する別の場所にある物であり半通径と呼ばれる。
しかし 2 a = 1/(1+e) + 1/(1-e) = 2/(1-e^2) であり
対して 2 c = 1/(1-e) - 1/(1+e) = 2e/(1-e^2)。
より所期の件については証明される。

極座標では焦点を、直交座標では中心を原点に置く流儀が普通。
bについては(c,0)と(0,b)の距離がaから決める。b = √(a^2-c^2) = a√(1-e^2) = 1/√(1-e^2)。
ところでl=(1-e^2)と置いてみればスケールがl倍され、x^2 + y^2/(1-e^2) = 1 で焦点は(±e,0)の半通径は1-e^2。
　
　
系の記述を中心から測る角度αで表したいのがケプラーの発想。
しかし例えば縦方向に2倍に延ばすだけで相当点への角度が変わってしまう。
これを標準化し一意感の物にするために単位円周への角度、それを横a倍、縦b倍。
このように2段階に分けて表して行くことにする。
すると楕円周のパラメータ表示は (a cosα, b sinα)。かえってきれいに。

今一般点(a cosα, b sinα)と焦点(c,0)の距離rを求める。
r^2 = (a cosα - a e)^2 + (b sinα)^2
　= a^2 {(cosα)^2 - 2 e cosα + e^2} + a^2 (1 - e^2) {1 - (cosα)^2}
　= a^2 {- 2 e cosα + 1 + e^2 (cosα)^2}
　= a^2 (1 - e cosα)^2
これr = a(1-e cosα)は次々ランベルトOP,OQでも出てる。

ケプラー方程式
少し丁寧に焦点(c,0)に太陽があって楕円軌道上を地球が周回している様子を思い浮かべる。
楕円のaとbはわかっていて、面積速度則(=角運動量保存則)がある。
近日点(x軸上正位置の点)から計測を開始し、今第2象限(左上方面)に来ているとしよう。

中心と焦点が楕円において違う点であることが問題になる。
これまでに掃いた面積を中心から測る角度αで書く式を求めよう。
ナイーブに短軸方向をa/b倍して円にしてわかりやすくする。

すると弧度法面積で1/2 α a^2。それより中心・現在点・焦点で作る三角形の面積を引いた物。
これがこれまでに掃いた面積。それは時間に比例してh tなどとも書ける。

中心焦点距離 = a e。三角形の高さ = a sinα。
これまでに掃いた面積 h t = 1/2 α a^2 - 1/2 a e ･ a sinα = a^2/2 (α - e sinα)
nを適当な定義としてケプラー方程式 n t = α - e sinαが得られた。
　
　
ケプラー方程式からランベルト定理が導ける。
ケプラー用の今のα(離心近点離角)角をAやB化。
三角関数の加法定理
sin(a±b) = sin(a)cos(b)±cos(a)sin(b)
cos(a±b) = cos(a)cos(b)-±sin(a)sin(b)
複号でcos同士は足しsin同士は引くことが多いとするとcos(a)が残る。

a=(B+A)/2=C、b=(B-A)/2=D を入れる。するとB=a+b、A=a-b。(Bのが未来なのでこんな書き方)
a,bを捨てて式の略記という思想でC,Dを使ってる。(以後は楕円の長半径短半径的な別の意味でab)
cosB + cosA = 2 cosC cosD
cosB - cosA = -2 sinC sinD
sinB - sinA = 2 cosC sinD
cosγ = e cosC と定義し、2倍角の公式(実際には使わない) 1 - cos(2A) = 2 sinA^2

軌道上のP→Q移動時間はPとQのケプラー角A,Bを用い n t = (B - e sinB) - (A - e sinA) と書けるが
直上のγとDを使い、n t = (γ+D - sin(γ+D)) - (γ-D - sin(γ-D)) とも書ける☆。という内容。
離心率eが1化して仮想的な抽象放物線上のケプラー運動で問題が表示されるという。

∵) 証明は3つの場面でe cosCをcosγで置換する方が向上することを発見したことから。

n t = (B - e sinB) - (A - e sinA) = (B - A) - 2 e cosC sinD = (B - A) - 2 cosγ sinD

求心力中心OからPへの距離をp、Qへはqとする。PQ間距離をsとする。
p = a (1 - e cosA)、 q = a (1 - e cosB) から
(p + q)/a = 2 - 2 e cosC cosD = 2 - 2 cosγ cosD

Pの座標は(a cosA, b sinA)、 Qの座標は(a cosB, b sinB)。また b^2 = a^2 (1 - e^2)
s^2 = (a cosB - a cosA)^2 + (b sinB - b sinA)^2
s^2/a^2 = (cosB - cosA)^2 + (1 - e^2) (sinB - sinA)^2
　= 4 sinC^2 sinD^2 + (1 - e^2) 4 cosC^2 sinD^2
　= 4 sinD^2 (1 - e^2 cosC^2) = 4 sinD^2 (1 - cosγ^2) = 4 sinD^2 sinγ^2
s/a = 2 sinγ sinD

直近2段落ではcosの加法定理が見えている。
(p+q+s)/(2a) = 1 - cos(γ+D)
(p+q-s)/(2a) = 1 - cos(γ-D)
これは連立方程式だからOP+OQとPQとaからγとDが求まる。

(γ+D - sin(γ+D)) - (γ-D - sin(γ-D)) = 2D - {sin(γ+D) - sin(γ-D)} = B-A - 2 cosγ sinD
この時点で15行上の形になっていて主張☆が証明された。

ベクトル外積についてトリビアを学ぼう。

・a×(a×c)は0ではない。2回目のとこ内積なら0だけど？外積は垂直同士はフルになる演算。
・外積に結合則は成り立たない。
・3つの外積は先に掛け合わせた方のベクトルの線形和。係数は残りの内積で真ん中ベクトルが正。

a×bはεijk aj bkと書ける。εは123かその偶置換で1、奇置換で-1、他では0の、
6パターンでだけ非0を出す記号。暗黙にΣj Σkが略されていて残ったi添え字が方向値。
例えばi=1なら定義からa2 b3 - a3 b2がこの値。

a×(b×c) = εijk aj (ε b c)k = εijk aj (εklm bl cm)

i=1の時、jkは23か32、jk=23ならε123=1、a2 (b1 c2 - b2 c1)
jk=32ならε132=-1、a3 (b3 c1 - b1 c3)

よって、第1成分は、a2 (b1 c2 - b2 c1) - a3 (b3 c1 - b1 c3)
= a1 b1 c1 + a2 b1 c2 + a3 b1 c3 - a1 b1 c1 - a2 b2 c1 - a3 b3 c1
= [(a･c) b - (a･b) c]1
対称性による変数回転でどの成分にも同じ。
a×(b×c) = (a･c) b - (a･b) c　☆

まず単純に置き換えて変形。
c×(a×b) = (c･b) a - (c･a) b
(a×b)×c = (c･a) b - (c･b) a

明らかに結合則は成り立ってない。主張の2と3は示された。
その具体的な例を、a=bとすると、
a×(a×c) = (a･c) a - (a･a) c
(a×a)×c = (c･a) a - (c･a) a

成分を見ないで幾何学的な意味を1つはつかもう。
☆のような一般は言いにくいが出来る人居たら頼む。

nを単位ベクトルとして、
n×(v×n) = (n･n) v - (n･v) n = v - (v,n) n
右辺第2項はvのn軸への射影。
ということは、左辺はn軸からvの先端へ垂線を表示しているベクトル。
一端それを理解して左辺をもう一度解釈すると
｢vn平面に垂直なベクトル｣とn に垂直なベクトルは、n軸からvの先端へ向かう垂線。

六面体公式
abc 3つのベクトルに対し、a×bはab平面に垂直で大きさが|a||b|sinθ
だからちょうどabで張られる平行四辺形の面積を大きさとして持っている。
cはそれと斜めの関係にあろうけれど内積を取るとそのab平面垂直への射影で
(実効高さだけがほしかったのが与えられて)結局平行六面体の体積を得る。
体積という具体な物に対応したので変数回転の公式は従属する。
成分では(εijk aj bk) ci これはさらに自明的に見えているはず。

以上が要点。4元数にこれを使い、8元数をこの体系の7重マルチとして見ようと思う。
8元数の7もこういうεに類似の。(x×x)×y = 0 と x×(x×y) = -y。
結合則の成り立たなさを幾何学的意味を外して抽象公理の当てはめ様子でつかむ。

空間座標で回転は縦ベクトルに回転行列を左から掛ける感じだった。
固有座標で回転は代表基底としてのベクトルらを混ぜる物だった。
実は後者は右から回転行列を掛けている。それを見よう。
だから[Z][Y][1] = [1][z][y]なのである。大文字と小文字は同じ行列でもある。

ベクトルの方を混ぜるような操作は行列になるのか？
|a1 b1 c1| |cθ　s' 0|　 |a1 cθ + b1 s　 a1 s' + b1 cθ　 c1|
|a2 b2 c2| | s　cθ 0| = |a2 cθ + b2 s　 a2 s' + b2 cθ　 c2|
|a3 b3 c3| | 0　 0　1|　 |a3 cθ + b3 s　 a3 s' + b3 cθ　 c3|

見るとaベクトルとbベクトルを混ぜているよね。
左に掛けるとベクトルの基底を変化させている(xをcx+syで置換等)。
右に掛けるとベクトルを係数付けて混ぜている。
回転操作表示行列を左から掛ける時、元のxの係数に、その左上･x+左中･y+･が掛かる状態になる。
右から掛ける時、その左上･第1列+左中･第2列+、が第1列になる結果になる。
前リプはベクトルを横にしているので転置にして本リプと合わせ。s符号まで同じ物。
常に物体固有の軸で回す方が素直である。3行下のθ'係数(前リプ下から2行目最左)でも。
　
　
角速度ベクトルωをオイラー角体系で表示すること。時間微分('で表す)が絡む内容へ進む。
計算方法は瞬間回転軸とφ'等の積和。
(ωX,ωY,ωZ) = (0,0,1)φ' + (-sφ,cφ,0)θ' + (sθcφ, sθsφ, cθ)ψ'
= (-sφθ'+ sθcφψ',　cφθ'+ sθsφψ', φ'+ cθψ')

これに(x,y,z)=Ｃ (X,Y,Z)を表示していた上の結果行列を掛けて(ωx,ωy,ωz)を得る。
そこ(下の3行)は高校1年生の計算過ぎるので自分で。

ωz = (sθcφ)(-sφθ'+ sθcφψ') + (sθsφ)(cφθ'+ sθsφψ') + (cθ)(φ'+ cθψ') = cθφ'+ ψ'
ωx = ( cθcφcψ-sφsψ)(-sφθ' + sθcφψ') + (cθsφcψ+cφsψ)(cφθ' + sθsφψ') + (-sθcψ)(φ' + cθψ') = sψθ' - sθcψφ'
ωy = (-cθcφsψ-sφcψ)(-sφθ' + sθcφψ') + (-cθsφsψ+cφcψ)(cφθ' + sθsφψ') + (sθsψ)(φ' + cθψ') = cψθ' + sθsψφ'
特に
ωx^2 +ωy^2 = θ'^2 + sθ^2 φ'^2

コワレフスカヤのコマ。
最近やったレンツベクトルにしろ宇宙機ラグランジュ点にしろ組合せで新数理を見出して来た事情があった。
コワレフスカヤの模型はI1=I2 = 2 I3とし重心がずれている状況を作り同様に新性質に至る。
主慣性軸の方向にコマ座標を取って慣性モーメントをI1,I2,I3とする。x軸座標aに重心がある。重力は-Z方向に働く。

コマの運動エネルギー T = 1/2 (I1 ωx^2 + I2 ωy^2 + I3 ωz^3) = I3 (θ'^2 + sθ^2 φ'^2) + I3/2 (cθφ'+ ψ')^2
コマの位置エネルギー U = m g h = m g a (-sθcψ) = - m g a sθcψ
Lagrangean = T - U。 I3で割って m g a /I3 = kと置いておこう。
L = θ'^2 + sθ^2 φ'^2 + 1/2 (cθφ'+ ψ')^2 + k sθcψ　☆

力学変数はθφψであるが、d/dt(∂L/∂φ') = ∂L/∂φ が運動方程式であるから
Lがφを陽変数として含まないなら↑は右辺0につき保存量。
qで全変数を代表させてL(q,q')から L'= q' ∂L/∂q + q'' ∂L/∂q' = q' d/dt(∂L/∂q') + q'' ∂L/∂q' = d/dt (q' ∂L/∂q')
これよりq' ∂L/∂q' - L は保存量でエネルギーと名付けられる。
コマの解とはもう1つ方程式を求めて、力学は終わりで3方程式を数学的に解いてどうぞとすること。だからあと1つ。
　
　
では解くがまず運動方程式。保存則への志向があるから∂L/∂q'まででd/dtをしない流儀する。
ψ: {cθφ' +ψ'}' = - k sθsψ
φ: {2 sθ^2 φ' + cθ(cθφ'+ ψ')}' = 0
θ: {2 θ'}' = 2 sθcθ φ'^2 + (-sθφ')(cθφ'+ ψ') + k cθcψ　= (cθφ'- ψ') sθφ' + k cθcψ

φの左辺 = 2 sθ^2 φ'' + 4 sθcθθ'φ' - sθθ'(cθφ'+ ψ') + cθ(- k sθsψ)
ψの式を使って代入してる。sθで割る。
0 = 左辺/sθ = 2 sθφ'' + 3 cθθ'φ' - θ'ψ' - k cθsψ
= 2 {sθ φ'}' + (cθφ' - ψ')θ' - k cθsψ

θの式にi(虚数単位)を掛けsθφ'のに加える。
2 {sθ φ' + i θ'}'
= - (cθφ'- ψ')θ' + k cθsψ + i {(cθφ'- ψ') sθφ' + k cθcψ}
= i (cθφ'- ψ') (sθφ' + i θ') + i k cθ e^-iψ

この形になると常微分方程式でするような工夫をしたくなる。
適切な形を見つけるまでパラメータを置いたり係数を見たり紆余曲折あろうが下のFがかなめを与える。
A = cθφ'- ψ'、 B = sθφ' + i θ'、 C = k e^-iψ を定義。
c = cosθ、s = sinθ、C' = - i ψ' C。 s' = c θ'等。
2 B' = i (A B + c C)

F = B^2 + s C と置く。
F' = i A B^2 + i c C B + (c θ' + s (- i ψ')) C
= i A B^2 + {i c (s φ' + i θ') + (c θ' - i s ψ')} C
= i A B^2 + i s (c φ' - ψ') C　= i A B^2 + i s A C　= i A F

これより (logF)' = F'/F = i A。
Aは実だからFの複素共役をGと置くと微分操作自体は実性で (logG)' = - i A のはず。
即ち足して (log(|F|^2))' = 0。
log(|F|^2)=一定。|F|^2=一定。これがコワレフスカヤ積分で第3の方程式。
　
　
sθ φ'+ i θ' や B^2 + s C が以前の例題達に似てる感を感じさせると思う。
可積分系と言われ、他に戸田格子の例があり、
うまく見つけなくても演繹していけるようなシステムをまた作る。
この問題らの解存在の概念をもっと粒度を細かくしている理論があるのである。
それを工学や物理に様々な箇所から側面支援するのに使える。

コマに関しては方程式が定まるまでとその解釈とをしっかり段階分離。
Kovalevskayaの解釈も解釈中身はこれからだが定性的なことは色々あるのだろう。
眠りゴマをシームレスにコワレフスカヤに移した時に条件を見たり慣性楕円体使う等。

ラグランジアンから開始したが、オイラーの剛体運動方程式。
I3 ωz' = (I1 - I2) ωx ωy + Nz。 Nは外部入力トルクこと、重力や接地点静摩擦力或いは磁界。
は解析力学的な最小作用運動方程式でもある。式を立てて同じ結果に至るはず。

先週は {x,y,z} = Ｃ{X,Y,Z} (|x>=Ｃ|X>)と動軸ベクトルxなどを静成分で表わせて、
{ωx,ωy,ωz} = Ｃ{ωX,ωY,ωZ} ともしたのだった。
{ωx,ωy,ωz} の別の求め方を学ぶ。というのは瞬間回転軸とθ'等との積和
というのが四元数と一回回転表現などに行くと意味を取れなくなるから。
より一般の方法の結果をθ'等ごとの線型表現にしたら前の求め方になっているとまとまる。

ベクトルは波括弧{}、行列は角括弧[](略時有)。今週は縦ベクトル|>と横ベクトル<|も。
小文字の動座標系と大文字の静座標系。基本的には動座標系の量を静座標系で表す話。

回転系の考察。任意の空間ベクトルをLとする。Lは回転系の上にある量である。
(Lの時間微分の静系での成分表示) = (Lの時間微分の動系での成分表示) + ω×L　= () + [ω] L
は承認する。
ω=z=Z軸、L=x(動系では定数)とすると合ってはいる。()の部分は今興味ない。
外積の行列化 [ω] = {{0,-ω3,ω2},{ω3,0,-ω1},{-ω2,ω1,0}} を使ってる。
　
　
座標に関するよりセンシティブな方法を導入する。
5行上の式は d<X|[CT]|L>/dt = <x|dL/dt> + <x|[ω]|L>　☆と変わる。
説明しよう。

x座標基底で測定しているという意味を込めている。
右辺は動系が自己の動きを感知しない量で、dL/dtをxで測定することになる。
Lは(回転系の上にある量とはしているが)いささか抽象的な量で測定するまでその記述法も
定まらないような、基底を定めてから記述法が定まるような物。具体計算は3D内で
(<x|,<y|,<z|)があり、微分量である|dL/dt>と内積し座標数3つ組を与える、が右辺第1項。

左辺は、そもそもx系とX系は相当に方角がずれている。
それを回してから測定(実質は基底ベクトル並びと内積を取る形)をする。
そのために上のような式。Tは転置でもあり逆行列でもある(両者は同一)。

d<x|L>/dt = d<X|[CT]|L>/dt = <X'|[CT]|L> + <X|[CT]|L'> + <X|[CT]'|L> = 0 + <x|L'> + <x|[C][CT]'|L>

第1の等号は|x>=C|X> の転置で <x|=<X|CT。また|X>=CT|x> から最右では<X|=<x|C。
上の第1の等号の右は C^-1 |L>と座標を回して静系で見る量にしてからXと内積しようとしている。
Lを回してからX系基底と内積、Lをx系基底と内積、は同じ物。
時間性が無い範囲ではそれでいい。時間が入ると項が少し出る。Xは静止系だからX'=0。

そのLに付いて回す用の行列は<x|の変換から結合法則も適用にて供給されている。
これより前リプ下から10行目☆と比較し [ω] = [C][CT]'　がω求め方の結論。

ところでオイラー角行列Cについて転置が逆行列は3度の単純回転の合成であるということから或る意味自明。
Cの表記だけにした物から転置との積を計算もミスさえなければ単位行列に結果する筈だけれど。
先週の角速度ベクトルωがこちらの方法で再現されることは未確認だが略。
　
　
以上でコマでもトルクのある物でも四元数や一回回転表現でオイラー角不使用で
式を立て解を得ることまで出来るはずである。
論理を追ってやれば出来るはず。

まずはその角度表記法によるCまでを求め、Ｃからωを求め、
使われ方は、ラグランジアン・オイラー剛体方程式・キネマティック方程式の3通り。
ωまで分かっていればどれも書けるから。
宇宙工学と原子力解析(原子核の回転とMRIなど)用途、また地球の動きで地震解析にするから、
ここでなるべく具体を準備して来る。また来週ね。特殊関数バリバリの地震学を近日中。

さてオイラー角以外の候補は、一回回転表現と四元数がある。
なんだか四元数が定番ということになっていて、大勢敷居をまたげない状況になってるのは
どうなんだ。一回回転表現が合成は不便だが私はいいと思うが。
四元数はどこか隔絶感があってすぐ意味を見失って道に迷った感になってしまい易いのよね。

ところでここでまったり八元数トピをしよう。四元数なんか初等だと強がって学びやすくするために。
八元数の積は247, 375と覚える。他は自然収納。
実数同士、実数と虚数、同じ虚数同士の積は初等的。虚数の積は
ε(123)ijk + ε(145)ijk + ε(167)ijk + ε(247)ijk + ε(256)ijk + ε(346)ijk + ε(375)ijk

外部に出るべき添字のiかkかは巡回することで等しくなり同値。
7つの虚数。対角線を除き半分三角(7×7-7)/2で21個の積パターンがある。3巡回7つの合わせである。
145,167は123の並べ続きで、247と375を覚え他は昇順で正とすると全譜出せる。

結合法則の崩壊を見る。3つ組でない虚数を3つ取ると。
(1 4) 6 = 5 6 = 2
1 (4 6) = 1 3 = -2
この計算には1 6 = 7と7の関わる2つ以外の4つのεを使ってる。
　
　
戻ろう。キネマティック方程式と言うのがある。左辺がθ'等で右辺は時間微分を持たない項
で書かれる式。右辺はωx等は含む。
角運動量は保存し角速度ωは時間保存しないからωは時間変化する。
これはθφψから今しがたまでやっていた方法で再計算されて新しい時間ステップの値になる。

式の形を聞くだけでシミュレーション向けだもわかるね。
角運動量と角速度が本質的に一致していないは力学の有名な話。
特に宇宙機の異常回転や航空機のダッチロールなど、どんどん回っていくのを追いかけれる式。
オイラー角が変化して行くのを何秒後にθφψがどうなっているかわかる。
それを予測して噴射して立て直しの試み。

オイラー角についてはωx = f(θ',…)としたのを先週したから、その三元方程式をθ'等について
陽表示に解き直して得れる。
他の角表示法流儀の場合はまたコメントする。

四元数の基本的な関係式。四元数をp'=[p0,p]と書く。
[a0,a] [b0,b] = [a0 b0 - a･b, a0 b + b0 a + a×b]
a×bの所はi×j=kで全ての組合せがあってその線形和で得れるから。
　
　
四元数の基本的な計算。球関数相当特殊関数を四元数内に定めたいと思う。
([p0,p] [0,v]) [p0,-p]
= [- p･v, p0 v + p×v] [p0, -p]
= [(-p･v) p0 - (p0v+p×v)･(-p), (-p･v) (-p) + p0 (p0v+p×v) + p×(p0v+p×v)]
= [0, (p･v)p + p0^2 v + p0(p×v) + p0(p×v) + p×(p×v)]

p×(p×v) = (p･v)p - (p･p)v = (p･v)p + (p0^2-1) v を入れ
= [0, 2 (p･v) p + (2 p0^2 - 1) v + 2 p0 (p×v)]

回転用四元数が [p0, p] = [cosα, sinα n](α=χ/2) という式を入れる。
= [0, 2 sα^2 (n･v) n + (2 cα^2 - 1) v + 2 cα sα (n×v)]
= [0, (1 - cosχ) (n･v) n + cosχ v + sinχ (n×v)]
直交ではない。(n･v)n はvのn方向への射影。重要なのはここまで。
　
　
外積の時結合法則が成り立たなかった。四元数としては成立することを見る。
四元数の結合則を記号だけで迅速に言う、a'b'= d'= [d0,d] と置こう。

(a'b') c' = [d0c0-d･c, d0c+c0d+d×c]
= [(a0b0-a･b)c0 - (a0b+b0a+a×b)･c,　(a0b0-a･b)c + c0(a0b+b0a+a×b) + (a0b+b0a+a×b)×c]
= [a0b0c0-{a0b･c+b0c･a+c0a･b}-{abc}, {a0b0c+b0c0a+c0a0b}+{c0(a×b)+a0(b×c)+b0(a×c)} - (a･b)c + (a×b)×c]

上ではb0(a×c)以後が巡回対称ではないが、
そもそも巡回対称は不要でaとcについて左右対称なら演算の左右対称はあり結合則の成立である。
(地道にやっても同じ式が出るという意味)。
(a×b)×c=(a･c)b-(b･c)a、-+-と中央ベクトルを残すのだけ正。つまり-(a･b)cの付加で結合則は回復してる。

四元(数)解析って知っているだろうか。複素(数)解析のもじりである。
どうも四元数については-1の平方根が無限個あるという水準の話が多く
それ以上の構造は何？と思われている。ここでそれを述べよう。
これから話を作るようなことばかりで今日は本質的なこと。

三角関数という円を回るのに適した関数が既にあって複素解析で活躍した。
たまたま性質が一致していただけで本当に複素数の住人なのか？というのは
どうなんだろうと今も再検討されていいことである。
電気の振動だとか地震の地殻揺れとかは複素数の実存を表わしているのか否か。

ルジャンドル球面調和関数というのがある。四元数解析はまさにそのまま。
もう優秀な人ならこの一言から一つのゲージ理論クラスの理論作って来れるのでは。
　
　
球面調和関数は、学校で一番最初に触れるのは2s, 2p, 3dなどである。
これは確かに方向を峻別し虚数の間に違う役目を分配することが出来ている。
球面調和関数は最初に見える超幾何関数でもある。
それは3DのSphereSurfaceに制限されたラプラス作用素の固有関数系列。

四元数は4Dの超球面SuperSphereSurfaceに超幾何関数をはべらせて、
はべらせることが出来れば大学専門課程程度の数学にはすぐ成りそう。
超幾何関数の級数定義はΣ(k=0,∞) {(a+k)!(b+k)!x^k}/{(c+k)!k!}。
分子分母(2,1)型で、分子分母(m,n)型を一般超幾何関数という。

結局4次元で動く作用素を持って来てその固有関数を使って方向性解像度を上げる。
そこには特異点が動いて行ったり合流したり無限遠点やリー局所構造や
収束級数になりそうなのにニアミスを起こす漸近級数などが現れ、
力学のベッセル関数も、球面調和→超幾何→合流型→制限でベッセル
という形で抽象的に方向虚数に乗る。これらの現象を全部見ればできるわけ。
微分作用素は代数解析で代数幾何の特異点論もそこにつなぐ。

ニュートン力学→一般相対論→弦理論、と空間処理場の方法が進むと思う。
一般相対論を丁寧にやってみたい。するとあまり載っていない、量子的でない
古典力学型の弦理論が成立するのか、など判定が出来るようになりそう。

原子力は、相手はあまり動かない物であるし、こういうことをやって
いるうちに何とかなるだろう、と。
　
　
2つの項の和がうまく解を与える現象をここで最近よくやって来た。
そういう物はLとBという2つのx微分の微分演算子のラックス方程式
というのが式そのものを与えている。

一般相対論にはカー解以外にゲーデル、冨松佐藤などやはり特殊な解があり
系列を作っていることがある。これが可積分系なのだろうと、だが
そこまでは作れなかったのようなことが書いてある。
　
　
ニュートン力学と一般相対論でそれぞれの可積分系は対応するのだろうか。
KdV方程式を持ち上げた物は何だろうか。そもそもカー解をチェックしたことがない。

ということでこういうことをしばらくやって、一般相対論から落した物として
プリンキピアを見れるような視点を得よう。
おそらくこの方向は宇宙解も新しい物を出すと思う。
またラグランジュ点安定の逆で、共振とはまた別の不安定現象をプラズマに出すかもしれない。
　
　
それと、一般相対論で空間が曲がるけれど、どういう曲がり方をするかが導けると思う。
等価原理と大域的ニュートン性は、それを決めるだけの制約がある。
とするとその論理を明示に書き出すことはすべきこと。

ややこしいアインシュタイン方程式（隠ぺいされた変数でなくテンソル実体）は
複雑な解みたいな計算結果だ、とできれば話がまた進む。

制御工学で言うコントローラは、ビークル即ち、航空・電気鉄道・自動車また船の
振動の低減や破壊防ぎに数理的に直接証明されて有用である。橋や歩道橋(駅のコンコース
やビル間の連絡通路等)も乗り物のようなもの。
無造作に作った物は商品として質が低く、ビルの耐震や、イヤホンの音消しのような
リアルタイムで観測して、対抗制御を投入して、乗り心地を専用に提供物或いは
商品価値に仕上げる技術は現代で普通である。

外乱に有効な対抗制御を入れられる事実に、そうだなるほどと納得できる例示を
ここでしたいし、知識を持っていなかった者が学ぶと、直ぐに現物に応用して
自分の商品を向上させれるだろう。そういうまとめをしてみたい。

そこから建築機械やちょっとした人型ロボットがたわんでしなったりなど、幻滅して
しまうような機械っぽさを、たわんでしなったりがまるでないような、であって
使い易い形の動作物に換えることも出来る。

幻滅さの部分も、制御で対抗入力を入れる制御対象である。
建設機械は廃炉になるし。だからこだわって満足出来るまで作り込むことが有意味。
　
　
機械機器からエンジンに移ると、ロケットの現代化につながる内容があるだろう。
エンジン内には流体(反応性流体)が現れる。
流体にソリトンがあり、界面近くでは際立ち傾向になる。

当然、反応性流体でもソリトンを見て、有り得る形を見ておくことは必要で
そこの数理には可積分系がある。圧縮性・反応性・電磁・粉体・(フェルミ)の5流体シリーズ。
そこでのソリトン構成はとても思いつかないが、先に抽象形式を作ると自動で出る。

反応性流体をセンサと推定から管理する仕組みを作り、半世紀前のロケットから改善しよう。
ところで現時点の最適方法を仕上げ、流体性を落とせば建築のまた水力発電等の管理に。
逆に電磁気的なことを入れることで送電配電
というまた新たにするべきテーマ(流体場から電磁場へ)。

バイオもすべきなのだけれど(1月まで済で今は2-5月残)、
各分野の中級上級をつなぐことに今こだわっている。
数学の一級の研究結果もそういう手合いのことが多いから、上手く行けば何かは。

系統的な方法をつかむと新しい解セットが手に入って来る、というのは
このスレのここまで(に限らず一般の科学の文脈で)でも感じ取られていると思う。
ガウスの正17角形もそうだったね。
その系統的な方法を、可能な上限まで押さえに行きたいのである。

毎週新視点仕上がりなどとは到底行かないだろうが、現在進行形のことを
雑然書きにでもして他の同業研究者推進用にもしてみよう。
だから今日は以後は雑書き。感想や内心やあすなろパートが多くなろうの。
　
　
来週に航空カルマンフィルタをしてみようと予定している(早速あすなろ)。
理学系の人が工学系の文献の記述を読みこなせずついていけなくなることも多く、
そこのほぐしは重要と思っている。それを狙いつつするね。

教科書的にはリャプノフ・リッカチ・逆行列定理という制御工学の行列性質を使い
モデル(数理モデル)も不明な機械対象を、誤差とその共分散を想定して推定して
制御入力を決める。モデルの既知未知で様子が変わるのは統計学で知っていると思う。
分散と不偏分散があって、モデルが既知なら正規分布の分散で、未知ならt分布の不偏分散
というような話。制御の未知部の多い機械での話。

外乱や制御入力と観測と、何通りも誤差を入れ2次形式でとにかくこうコントロール
するんだとセンサ値に対する入力内容を決める式。
機械に数理モデルはわかりきらない。

カルマンという人は有名学者で航空本には必ずこの章があるような感じになっているが、
それを学習しプラント系に。読んで読み取れない本が多いが、難所解体して
どの本にもアプローチできるぜというような提供物になるといいな。

現代制御の可観測・可制御・可検出・可安定は基本性質である。
物理学の端の方で可観測・可制御・可検出・可安定はどうなっているか？
宇宙地平線の向こうや、アプローチに使うエネルギーが質量エネルギーを超えてしまう
クォーク以下の世界。ひもやブレーンではアプローチエネルギーが質量の何京倍。

見ることもアプローチも出来ないのに、存在していることは可能と
数理的なことが制御に似た感覚から言えるかもしれない。
しかし実は制御は線形代数に終始していて議論の水準が低い。物理の可観測を持ち込んで
可制御は双対操作と定義して、するとほしかった結論を得れるのかも。
物理の上限は不可観測で閉じているのかもしれない。温度上限なども。個人的には無関係派だが。
可観測の弱化である可検出は、制御から持ち出すと何だろう。
　
　
制御本ではブロック図や複素平面の軌跡など、どの本も大学の講義ノートの出版みたいで
重複していて興を惹く良トピックという点で少し弱いと思う。そこは構成を変えるべきで
抽象ではない具体的な機械構成の描写で、中における機構の現れ方を例示して学ぶ。

レギュレータで極を配置すると言う。共振周波数を変えて不安定入力だったものが安定入力
の一つでしか無いように安定体系に変えられる重要トピックなのに、
伝達関数の数理の話しかない。機械や建築でつまりこういうことだと数理の方を逆に隠す。

力学に戻りブーメランに付加機器を付けてマジックめいた動作をさせてみるという課題。
ドローンはやってる人が多いがこちらは居なくて面白いだろう。
人工衛星・人工惑星が希望軌道にあることを、制御問題と捉えて数理に当てはめる概念調整
をすることで、航行力学がもう一度揉まれよう。のんびり時間がかかるだけで制御である。
　
　
さて制御には行列の固有値から特異値、四元数、確率統計の中級理論援用、関数解析、流体
などの概念を直ぐに投入したくなる。そのまとめを押さえて定番扱い化に。

高階微分方程式を連立微分方程式に変えれる。力学のハミルトン形式が例。
するとやや難しい概念の連立微分方程式表現があるはず。文脈違うが2階微分方程式の確定特異点。

現場では残留物の取り出しが着々と(かどうか？さて)進んでいると言う。
こちらでは位相空間の方からやろう。手を替え品を替えで他のチームとも協力して
充実手法化狙い。こちらでも機械工学する。そのために位相から積み上げる。

大学1年のあの解析学が、向学者を弾くような複雑な論理は
抽象化すると位相になるとされる。我々の今年のテーマはニュートン力学であり
それは解析学の誕生をしらしめる分野でもあった。普通の発想として、すると
ニュートン力学や電磁気学を解析学を使って書き下すのではなく、
直結して位相空間扱いするというものがあろう。中間役を除くのである。

一応この思い付きに何か形があるかというのが動機。
物理で何々関数を使うのはあっても開集合によってという論理は少ないからと。
問題から回答付けれれば電磁気の記述が広がり電力になる。
唐突な投入は初等物理に位相の感性を入れてみたいからである。
　
　
そこから雑談で書いて膨らまして話を書いていける。
結構な書く内容がある。最近は中級数学の横のつながりを総合的につかんで
制御や統計や電気や分子生物にというのを目指していて、同ペースな進捗で
日曜はそこから思い付きを適当に文章化というスタイルで、最近やったり思ったことが
と、書けるので、かと言ってつながりのつかみが完成しているわけではなく
そのつかみには3-4か月かかりそうで、わりと適当に書き出す方向でしばし。

というのは、安定→ソリトンの問題→量子群←結び目、その裏側で
カオス→量子乱流のマクロ化で質量の案、
不安定は極が複素右半平面にある場合で、乱流を防止する制御の可能性。
制御では極を複数配置して動かすが、その物理版。
記述に出てくる関数の、位相から押さえる解析学表示。
ソリトンは多時間構成の数値計算アルゴリズムを表現する数学とつながる。

つながりが出来て形になる方が使い道はあるなというのは頷いてもらえると思う。