福島事故原発の取り壊し方法を考えるスレδ

週刊□福島廃炉
α=1486207162
β=1584849320
γ=1655045111

初等幾何を少し。円の接線と接点を通る直径とは直角である。
円の直径を1辺とし円周上にもう1点を持つ三角形は直角三角形である。
三角形の外角は他の2つの角の内角の和である。

円周角の定理。以前もしたがここの文脈でもう一度。方ベキも。
底辺BCの△ABCで外接円を描きその中心をOとする。AOの延長に適当に点Dを取る。
△BAOは円半径が2つの二等辺三角形。∠BODはその外角。ゆえに∠BODは∠BAOの2倍。
BをCで置き換えた物を作り足すと∠BOCは∠BACの2倍を得る。
外接円が変わらない範囲でAを振ってもこれは変わらず円周角の不変性を表わしている。
　
　
次の問題。底辺BCの△ABCで外接円を描きその中心をOとする。
Aから接線AEをCの側の方向に引きEは適当に取る。AODを直径とする。
このとき∠CBA = ∠CAE。
証明)。円周角の定理から∠CBA = ∠CDA。
△CDAにおいてCは直角。より∠CAD + ∠CDA = 直角。
また∠CAD + ∠CAE = 直角。よって証明された。

次の問題。円の外の点Eから円に接線EAと、交わる1直線ECBを引く。
このときEA^2 = EB･EC。
証明)。数行上のから∠CBA = ∠EAC。
すると△EBAと△EACは、E自体を共有しそれとで、相似。
EB:EA = EA:EC から比形式を積形式へ変形すると得る。後述方ベキの極限形でも可。

上はプリンキピア問題2中で使われている式である。
このように三角形の相似を見つけ、辺の比の等式から積形式に変える方法は
よく使われる。また上のは1つ角を共有し逆に組んだ三角形の相似があった。
そういう見つけられ方は円の中を見るときによくある。

円は円錐の横断面。立体投影で他のを出すのでそういう展開を探究して行くこと。
次リプに方ベキ。三平方。メネラウス。アポロニウス2等分線。アポロニウス円。
ついでにする。チェバはメネラウスの線⇔点双対で合わせて射影幾何定理。

方ベキ。円の外の点Eから1直線2つを貫通させABEとCDEと置く。このときEA･EB = EC･ED。
証明)。弧BDに対する円周角で∠BAD = ∠BCD。
Eは共有しているから△EADと△ECBは2角の相似。(裏返しの関係でもある)
ゆえにEA:ED = EC:EB から証明された。

三平方。△OAEで定理を見る。∠Aが直角。
Oが中心でAを通りAEに接する円を描く。直線EOと円との交点をB,Cとする。
前リプの定理から EA^2 = EB･EC。
右辺 = (EO + r) (EO - r) = EO^2 - r^2。半径r = OA だから証明された。
　
　
メネラウス。△ABCと直線lがあり△の各辺か延長と交わらせる。
BCとlの交点D、CAとlの交点E、ABとlの交点Fとする。
長さの関係式として (BD/DC)･(CE/EA)･(AF/FB) = 1。
証明)。Bを通るlに平行な補助直線を引いてACとの交点をGとする。
簡単作図で直ちに (BD/DC)=(GE/EC)、(AF/FB)=(AE/EG)
を読み取れて証明される。線分に向きを付けると右辺-1とするのがいい。

アポロニウス2等分線。△ABCでBA:AC=m:n。
このとき角Aの2等分線とBCとの交点をDとするとBD:DC=m:n。
証明)。DAに平行な補助直線CEを引いてBAの延長との交点をE。
∠CEB = ∠DAB = ∠DAC = ∠ECA。それぞれ平行線の等位角、問題の前提、平行線の逆位角。
△ECAが二等辺三角形とわかり AC = AE。
平行線で比を写して BA:AE = BD:DC だから証明された。

アポロニウス円。アポロニウス2等分線で外角の付言もあるが略して使用する。
m>nとし、BC内にD、C側延長にEを、BD:DC = BE:EC = m:n なるよう取る。
このときBA:AC = m:nなる点Aの軌跡を求めると、DEを直径とする円周である。
証明)。そのようなAについて∠DAB = ∠DACである。なぜなら数行前の命題の逆だが
線分の分点を取る行為は一意な結果をもたらすから、それ以外の状況を同時には
成立させず逆が成立。同じく∠EAC = ∠EAB'(B'はBAのA側延長適当な点)。
これは∠DAEが直角と言っていて、AはDE直径の円周上にある。

逆2乗中心力で極座標(r,θ)ものが多い。そこにて放物線を扱ったり。
基本的な式を見る。理系大1程度の解析力学前提。'は時間微分。

速度はrを増やす方向と、rが一定でθが増える方向が直角だから
速度ベクトルは方向性は度外視して直角座標的に(r',rθ')。
中心力ポテンシャルU(r)を使い
Lagrange関数 L = m/2 (r'^2 + r^2 θ'^2) - U(r)。

運動方程式は∂L/∂r'などの組合せで得る。
0 = d(∂L/∂r') - ∂L/∂r = m r'' - m r θ'^2 + ∂U(r)/∂r
0 = d(∂L/∂θ') - ∂L/∂θ = (m r^2 θ')' = m r θ'' + 2 m r θ'
　
　
即ちUがrのみの関数のとき (m r^2 θ')' = 0だが、括弧の中は
速度としてはr'を捨てたθ'だけを読んでいる。
m r θ'は運動量の角度方向成分。それとrの積は角運動量。だから第2式は角運動量保存則。

速度の角度成分=r θ'とrとの積は運動中に軌道が掃いていく面積。
mを除いた式 (r^2 θ')' = 0はニュートン=ケプラーの面積保存則。
　
　
角運動量保存則を m r^2 θ' = h と置いて、
m r'' - m r (h /(m r^2))^2 = - ∂U(r)/∂r。 左辺第2項=- h^2 /(m r^3)。

エネルギー保存則 m/2 (r'^2 + r^2 θ'^2) + U(r) = Eに入れる。
左辺第2項= h^2 /(2 m r^2)。この項を遠心力ポテンシャルと言い、この導出で
完全に正規に使用していいことがわかった。

Uを外すと m r'' - h^2 /(m r^3) = 0。 mやhは定数を考慮に入れると
逆3乗力を調べるよう示唆する数式が見つかった。

逆2乗中心力で極座標(r,θ)ものが多い。そこにて放物線を扱ったり。
基本的な式を見る。理系大1程度の解析力学前提。'は時間微分。

速度はrを増やす方向と、rが一定でθが増える方向が直角だから
速度ベクトルは方向性は度外視して直角座標的に(r',rθ')。
中心力ポテンシャルU(r)を使い
Lagrange関数 L = m/2 (r'^2 + r^2 θ'^2) - U(r)。

運動方程式は∂L/∂r'などの組合せで得る。
0 = d(∂L/∂r') - ∂L/∂r = m r'' - m r θ'^2 + ∂U(r)/∂r
0 = d(∂L/∂θ') - ∂L/∂θ = (m r^2 θ')' = m r θ'' + 2 m r θ'
　
　
即ちUがrのみの関数のとき (m r^2 θ')' = 0だが、括弧の中は
速度としてはr'を捨てたθ'だけを読んでいる。
m r θ'は運動量の角度方向成分。それとrの積は角運動量。だから第2式は角運動量保存則。

速度の角度成分=r θ'とrとの積は運動中に軌道が掃いていく面積。
mを除いた式 (r^2 θ')' = 0はニュートン=ケプラーの面積保存則。
　
　
角運動量保存則を m r^2 θ' = h と置いて、
m r'' - m r (h /(m r^2))^2 = - ∂U(r)/∂r。 左辺第2項=- h^2 /(m r^3)。

エネルギー保存則 m/2 (r'^2 + r^2 θ'^2) + U(r) = Eに入れる。
左辺第2項= h^2 /(2 m r^2)。この項を遠心力ポテンシャルと言い、この導出で
完全に正規に使用していいことがわかった。

Uを外すと m r'' - h^2 /(m r^3) = 0。 mやhは定数を考慮に入れると
逆3乗力を調べるよう示唆する数式が見つかった。

パズル。ma = -GMm/r^2、 mv^2/2 = GMm/r。
定数因子を略して。逆2乗求心力。x変数の1次元運動に。xの原点が求心力の点。
dv/dt = -1/x^2、 v^2/2 = 1/x。

左式値を積分すると右式値になるように思わないか？
値的にはそう見える。しかし右式式はvならいいがv^2/2だという。何か変だ。
この両式は偶然近くにあるだけで積分ではつながっていない無縁の関係なのだろうか？
なぜって右式はエネルギーとして要求されるので一端エネルギーを構成しないと。
論理的にはそこ遠いのかも。そう思えて来る。答はどうすればいい？

解説しよう。因子が入っていてその思惑に欠陥があった。
tで積分するのとxで積分するのを混同していてはいけないが論点である。
d(dx/dt)/dt = -a/x^2 から
d(dx/dt) = -a/x^2 dt = -a/x^2 (dt/dx) dx
　
　
定数因子は1個だけaとして代表して入れとく。
その方がその影響の展開が読みやすいため。
x(t)が一変数関数のとき分母分子の入れ替えは単なる逆数であり掛ける(右辺では払う)。
(dx/dt) d(dx/dt) = 1/2 d{(dx/dt)^2} = -a/x^2 dx

積分して (dx/dt)^2/2 = a/x + C
ふむぴたりと形になってる。
ここから直線の場合のケプラー第3法則（逆2乗中心力の時の
楕円軌道の周期は長軸長さの3/2乗に比例する）が直ちに出る。

無限遠で速度0のときは dx/dt = √(2a/x)。 dt = √(x/2a) dxを積分して、
t = 2/3 √(1/2a) x^3/2。 t∝x^3/2。
7行上のCを変えると粒子のエネルギーが変わり、
楕円よりは考えやすい1次元問題として様子を見れると思う。
ということでx積分とt積分の両者が出現する混同案件へもご注意のお題であった。

幾何学からフォイエルバッハ九点円定理の証明。
△は3つの頂点があり、辺の中点、垂線の足、垂心と各頂点の中点、
これらで都合9点がある。同一円周に乗るので9点円と名付けられる。

☆垂心が1点であること
△ABCの外接円は存在する。各頂点を通っているものである。
外心Oとすると、長さとしてOB=OCより、△OBCは二等辺三角形で、
OはBCの垂直二等分線上にある。(BCの中点Mを使うと△AMBと△AMCは三辺の合同で)

上を補題とみなし改めて△ABCにおいてAからBCに垂線を降ろす。
タイル的に△ABCを180度回転して各辺の向こうに貼り4枚構造にする。
するとAを通るBCの2倍長さの直線が出来ていて、初めの垂線はその垂直二等分線である。
これらは外側の大三角形の外心を定めるから、垂心は存在する。
　
　
☆9点円の存在
△ABCで、BCの中点をL、CAの中点をM、ABの中点をN。
AからBCに降ろした垂線の足をD（DはBC上の点）。同B→CAをE、C→ABをF。
垂心をH。HAの中点をP、HBの中点をQ、HCの中点をR。

PLを直径とする円を描く。
△HABにおいて、ABとPQは辺中点結びがPQだから平行。
△HBCにおいて、HCとQLは平行。
AB⊥HCより、∠PQL=直角。ゆえにQは円上にある。
∠PDL=直角より、DもPLを直径とする円上にある。

以上を整理し対称性で回せば仕上がっている。というのは
3点で円は定まるから、PQRで作る円上にLがあると呼び替えられて
同じ形でMとN、またEとFも同様。
結局PQR同士(PQ)、PQRとLMNから1点ずつ(PL・QL)の線分が直角三角形だった。

☆△ABCの内心IについてIBは∠Bを二等分する
IからABとBCに垂線を降ろすと垂線長さは等しく足には直角がある。
斜辺と一辺の合同定理で。

☆円に内接する四辺形の対角
□ABCDが円に内接しているとき、円周角定理より
∠BAC=∠BDC、∠CAD=∠CBD
左辺の和は∠A、右辺和は△BCDの∠Cを除く和で∠Cの補角と言う。
BCをC側延長した方とCDのなす角を外対角と呼べば∠Aは∠Cの外対角と等しいとも言える。
　
　
☆交わる2円の共通弦をABとする。A,Bそれぞれから一直線を延ばし
円と交わるもう一つの交点をそれぞれPとQ、RとSとする。
このとき、PRとQSは平行。
∵) □APRB、□ABSQはそれぞれ円に内接している。
∠Pの外対角は∠ABS、その外対角は∠AQS'(QからSの反対側)。
∠Pと∠AQS'で平行線の逆位角が構成される。
配置が違うときは円周角の定理などで適当にこなすことが出来る。
　
　
☆直角三角形△ABCのCが直角のときABの中点MとCを結ぶと二等辺三角形が表れている
ABを直径とする円に内接しその中心はMのため。

☆長さが同じ円周に対する円周角は等しい
合同を保ったままスライドできるからである。

☆3点を定めて作った円周は一意になる
　
　
辺の中点、垂線の足、この2点を通る円。ということは
この2点の垂直二等分線上に9点円の中心はある。その考え方で作図できる。

フォイエルバッハ定理は「九点円が内接円と接している」という定理。
概念を解析幾何を使い書けば見易いはず。
昔の人は数十cmある大きさで図を作図して深く幾何を見ていた。
我々はプリンキピアの接線を接円と代えることで近似を上げることを
目指しこの辺を少し習熟する。

△ABCに対し、九点円(中心J)、内接円(中心I)、接点Tとすると
接点において接線と半径は垂直から、JITは一直線上にある。
九点円が辺中点を通る円なため、内接円より少し大サイズなことは明らか。

JとIからBCに垂線を降ろし各円との交点(下段落のXとU)を作り、その2点を直線で結ぶ。
円とのもう一つの交点は作れて重なった相似三角形も見える。そのイメージを追う。
始め性質は示されていないのでXUと九点円との交点としてT定義。
　
　
証明に入るのであるが最初に△IBCの九点円を構成する。
その内接四辺形の性質を使う意図がある。
Iからの足をU、JからのをX、XはBCを越え九点円周上とする。
ICの中点をSとすると、UとBC中点Lと、上定義のTが同一円にある。

∵)□BLMNは辺の中点を結んで作っている平行四辺形。より∠NML = ∠B。
△ADCは直角三角形で斜辺中点がM。より∠MDC = ∠C。
平行線の逆位角で ∠NMD = ∠MDC。下3番目の等号は九点円の円周角定理。

前リプ最後に触れたことで弧DXと弧XLは同一長さ。その円周角は等しい。
ゆえに 2∠UTL = 2∠XTL = ∠DTL = ∠DML = ∠NML - ∠NMD = ∠B - ∠C

△IUCは直角三角形で斜辺中点がS。より∠SUC = ∠SCU = ∠ICB。
△IBCの辺中点結んでいることからIBとSLは平行。また内心と頂点を結ぶと角二等分留意。
∠USL = ∠SLC - ∠SUC = ∠IBC - ∠ICB = 1/2 (∠B - ∠C)

円周角の等が言えてTULSが同一円周上。構成からこれは△IBC九点円。

△ABCの九点円をγ(中心はJ)、△IBCの九点円をδとする。
TLがγとδの共通弦である。Tを通る直線がγ,δと各X,Uで交わるがこれは使わない。
Lを通る直線BCがγ,δとD,Uで交わる。
直線TSとγの交点をKとする。Sはδ上だった。

前々リプ真ん中の定理よりDKとUSは平行。
前リプ後半を援用し∠MDL = ∠MDC = ∠C と
∠KDC = ∠SUC = ∠ICB = 1/2 ∠C。

すなわちDKは∠MDLの二等分線であり、γの弧MLの中点を通る。
Kの定義からKはγ上の点であり、これはKの性質を深めている。

ICの中点Sと、弧MLの中点Kを通る直線がTを通る、とわかった。

これは辺BCの側に偏っていない性質であるから、対称的な記述で
辺ACの側から、Iの足V、Jからの九点円上への足Y、を使いYVとγの交点T'を定めても、
SKはT'を通っているはずで、γ上交点の一意性からT=T'。

Tという点が、総合的に一意なwell-definedな点であることがわかった。

次に、内接円と九点円がTにおいて同じ接線を持つことを見る。
IUとJXはどちらも辺BCへの垂線で平行。
IVとJYもどちらも辺CAへの垂線で平行。

UVとXYが平行であることを言う。
CUとCVはどちらも内接円への接線であり同じ長さを持つと言える。
△CUVは二等辺三角形でありその性質だけでUVの角度が決まる。

次に、Xを通りBCに平行な直線を作るとこれはγの接線。
Yを通りCAに平行に同様。二直線の交点をC'とする。
円への2つの接線は同じ長さを持つ(直角三角形の斜辺と一辺の合同)から、△C'XYは二等辺三角形。
XYの角度も計算されて直感的にもUVとXYは平行。

すると T-IUV-JXY は相似の配置にある（一つの事を除いて）。
三角形は全部の辺が平行だし、XUT、YVTは一直線。
相似の配置の強制力から、JITも一直線である。

するとγの接線は半径JTと垂直だが、この線がITとも垂直である。
内接円もこれを接線としていることがわかり、証明が完了した。

2/15求心力の法則を求めよの意味と今の方法、2/22天体力学の安定点と摂動、
3/1幾何学公理系。3/8-29はバイオ。4月はまたニュートン(シミュレーション含む)。

要点を語ると先々週に解析力学を用いた内容から極座標では
m r'' = 遠心力 - F(r)という遠心力付きの力の方程式と
角運動量保存則 L(r,θ')=0 が出る。
変数を見ると第一式はr,tで第二式はr,θ,t(θ'の微分分母部分にtが登場)。

両式からt(厳密にはdt)を消去するとr,θ,F(r)による単一式を得る。
そこに軌道の形r(θ)を与えると、その式を変形してF(r)を左辺に持ってくると
力が決定されている。後でする。

今の力学の教科書はこういう記述あまりしないから
何を考えようとしているんだ？とかじって思った人も居るだろう。
　
　
ニュートン本は天体力学を幾何学公理系のように扱う。
我々も「現代の」天体力学をそうしよう。それが次の2週の内容。
フライバイの航行設計など宇宙開発を応援する。

また予備知識をつける必要もあるため。ケプラーの軌道要素という物がある。
時刻t0、円錐曲線の長径aと離心率e、これが置かれている場所をさらに3変数。
軌道面と基準水平xy面との角度(軌道傾斜角) I,i(inclination)
xy面の中で360ﾟどこ向きか(昇交点経度) Ω
軌道面は完全に決まったらその中で円錐曲線の置かれ方(近日点引数) ω

天体力学の基本的なことで、ついでに考察したいこともある。
多くの変数で球を表しているのがコマと類似だが、どういう関係性を設定できるか。
コマのコワレフスカヤ解と天体3体の正三角形や8の字解などを行き来させる。
原子核では回転軸と楕円体の向きと放射される角で球の同じぐらいの複雑さで、
対等ぐらいの格において記述設計できそう。
三角関数を追い出して初等幾何と四元数で運動方程式レベルから書き換える。

質量mも保存角運動量hも1にして省略。運動方程式は
(r方向)　(d^2)r/dt^2 = 1/r^3 - F(r)
(θ方向)　r^2 dθ/dt = 1
dt = r^2 dθ。 dθ/dt = 1/r^2。

2階微分の扱いは繊細で何かが出てくる可能性がある。
丁寧版と粗雑版の2方法して差から反省を入れる。
微分の分母分子を分けずに合成関数の微分法を旨として、2階微分は逐次手続きですることが丁寧版。
丁寧に左辺だけを見る（右辺は以下の計算途中には関与しない）。
抽象論も避けr = sinθという具体例をする。

dr/dt = cosθ dθ/dt = 1/r^2 cosθ

(d^2)r/dt^2 = d/dt (1/r^2 cosθ) = - 2/r^3 dr/dt cosθ - 1/r^2 sinθ dθ/dt

= - 2/r^5 (cosθ)^2 - 1/r^4 sinθ = - 2/r^5 (1 - r^2) - 1/r^4 r = - 2/r^5 + 1/r^3

上の方から何回もdθ/dtとdr/dtを持って来て書き直している。
本来の微分はtだからの特徴である。
結果式はr方向の運動方程式に入れると、F(r) = 2/r^5 という
逆5乗の求心力であることがわかる。
パラメータを復活させても変にhとh^2がかんだりとかせず同じ結果を出せるのは有志各自。
プリンキピア問題2系1がこれである。

粗雑版で行けるか見よう。
(d^2)r/(r^2 dθ)^2 これだけ書くと気づく。量子力学のLaplacianの変形であるように
1/r^2 d/dθ 1/r^2 d/dθ r という、作用素を順に作用させていく手続きを
1/r^4 (d/dθ)^2 r とは出来るはずはない。途中に入る1/r^2すらもθの関数なのだから。
2階微分の粗雑手法はダメである。やってしまうと上2行2つの作用素系列の差の分だけの
誤りが出る。よって最も簡単にやってその上の手続きになる。
ともあれ軌道の形をデータとしてF(r)を求める方法は理解されたろう。
(d^2)r/dt^2を丁寧版に微分計算して項を整理して軌道形状式からθを消去して遠心力項の分取り去るとF(r)。

金属の棒などでも砕けるような性質…燃料デブリ分析の最前線　福島（福島中央テレビ）
https://news.yahoo.co.jp/articles/e52d5f21f98ea06d50b3a881885d42391e73be84

114情報thx^^。
ラグランジュ点と自己相似解ｎ体問題と言うのをする。

太陽質量をM、地球質量をm、距離をr。
角速度はω=θ'。角運動量はm r^2 ω。遠心力はm r ω^2。

地球の受ける引力は、G M m/r^2
地球に働く遠心力は、m r ω^2
力が釣り合って円軌道のために、ω = √(G M/r^3)
ケプラーの3/2乗則である。

相対座標ですればω = √{G (M+m) /r^3}は知っているだろう。
今回その変形は扱わない。上は概算、こっち使い。
　
　
元々(遠心力を用いるような)回転座標系で考えている。
太陽と地球はx軸上に、第3物だけがy値を持つので一般性を失わない。
重心を原点とし、太陽は(-m,0)、地球は(M,0)の比例位置にあるのは小学生の天秤である。
単位はできるだけ G = M + m = r = ω = 1 に簡単化。r=1なので上でいい。

第3者を登場させる。事件に無関係とかの意味ではなく宇宙空間を動く軽い物。
これも回転座標系では静止していて質量μ。
位置エネルギーは U = - G M μ /r1 - G m μ /r2 - μ/2 r^2 ω^2。
r1 = √{(x + m)^2 + y^2}
r2 = √{(x - M)^2 + y^2}

右辺第3項は、回転座標系で回転方向の運動エネルギーだがそれを
静止しているだけで持つ位置エネルギーに、人為的に読み直す操作で
出てきている遠心力ポテンシャルである。
しかしLagrangian = T - U のTの正の1項をUに移すものなので負扱いになる。
運動エネルギーを引いた上で収まってると思っても。

Uの停留点となる(x,y)にμ物体は位置しているはずである。
∂U/∂x = ∂U/∂y = 0。
共通項μを外し(UをU/μに変えちゃう)G=ω=1。 U = - M /r1 - m /r2 - r^2/2。

1/rのxによる微分という難しい所だけ先に見よう。
∂[{(x + m)^2 + y^2}^-1/2]/∂x = -1/2 {}^-3/2 2 (x + m) = - (x + m) /{}^3/2

他の項の微分もみんな同じ形態。r^2はx^2+y^2だから簡単。
∂U/∂x = M (x + m) /r1^3 + m (x - M) /r2^3 - x
∂U/∂y = M y /r1^3 + m y /r2^3 - y

これらを0と置くのがラグランジュ点の何も省略していない方程式である。
その教える所を観察すべし。
　
　
第2式からy=0という解がある。方程式が示唆をしている。因数分解できてても解はある。
それを直線解と言う。yを因子から外し他の解を探す。

第1式を項を動かして整理する。
M m (1/r1^3 - 1/r2^3) + (M/r1^3 + m/r2^3 - 1) x

ところが右項は、第2式がy=0でない時0。
すると左項から明らかにr1 = r2。配置は2等辺3角形である。
r1=r2 をもう一度 M/r1^3+m/r2^3-1=0 に入れる。

すると M + m = r1^3。単位系の仮定から左辺を1としている。
r1 = r = 1 から正3角形解が結論として得られた。

回転座標系で遠心力1項だけを置いて停留点という方法であった。
次リプで正3角形解、次々で直線解の形。

正3角形解。文字を変える。太陽1、地球2、宇宙機3。ijkで取得したりもする。
r1,r2,r3を共通重心からの位置ベクトルの記号とする。
次リプの直線解では1次元特有の事情でベクトルとスカラーが同じになる。
m1 + m2 + m3 = M と書き、rk - ri = rik (iからkに向かうベクトル) と書く。
ベクトルの長さの方を使う時は||記号に入れよう。|rik| = r。

重心の条件式 m1 r1 + m2 r2 + m3 r3 = 0 から変形して
(m1 + m2 + m3) r1 + m2 (r2 - r1) + m3 (r3 - r1) = M r1 + m2 r12 + m3 r13 = 0 を得る。
或いは M ri = mj rji + mk rki。

万有引力を大学以降は分子をベクトル分母を3乗にして記す。運動方程式は
mi ri'' = - G mi mj rji /r^3 - G mi mk rki /r^3 = - G mi (mj rji + mk rki) /r^3 = - G mi (M ri) /r^3
もしrが一定なら単振動の形。riは3成分ベクトルだから空間では(バネ型の)楕円運動すると思われる。
3つの単振動のベクトル合成は2次元で動く。
　
　
|ri|を定めるにまず2乗を内積として求める。r12とr13の角は60ﾟでcosは1/2。
M^2 r1^2 = (m2 r12 + m3 r13)^2 = (m2^2 + m3^2 + m2 m3) r^2 = μ23 r^2
部分式に名前を付けた。添字循環で |ri| M = r √μjk

ri'' = - G M ri /r^3 = - {G (μjk^3/2)/M^2} ri /|ri|^3
強度が変更された重心からの単体の実効万有引力の元でベクトルriは動く。
正3角形の要請から3つの物体の動きは相似。

直線解。正3角形解は辺の長さrという共通の物があるのだった。
直線はそんな物は無いから散らばっている間の長さその物を使う。
通常はriなどはベクトルとすべき所だが、直線1次元なのでベクトルをもスカラーと見なせる。
r12 = r2 - r1 = a、 r23 = r3 - r2 = bとおけば、r13 = c = a + b。
この3つの距離だけの同次式にして、z = b/a で1変数方程式化が方針。

物体iに働く遠心力は mi ri ω^2
物体iに働くj,kからの重力は G mi mj /(ri - rj)^2 + G mi mk /(ri - rk)^2
両者は等しいで式を立てる。すると回転座標の中でそこの位置で止まる動作がある。
mi ri ω^2 = G mi mj /(ri - rj)^2 + G mi mk /(ri - rk)^2
　
　
miで割りω^2/G = αと置いて α ri = mj/rji^2 + mk/rki^2
具体的に
α r1 = m2/r21^2 + m3/r31^2 = m2/a^2 + m3/c^2
α r2 = m1/r12^2 + m3/r32^2 = m1/a^2 + m3/b^2
α r3 = m1/r13^2 + m2/r23^2 = m1/c^2 + m2/b^2

差を取り
α a = m1/a^2 + m3/b^2 - m2/a^2 - m3/c^2
α b = m1/c^2 + m2/b^2 - m1/a^2 - m3/b^2

下を上で割る。分母分子にa^2 b^2 c^2を掛ける。分母分子をa^4で割る。
z = b/a = {m1/c^2 + m2/b^2 - m1/a^2 - m3/b^2} / {m1/a^2 + m3/b^2 - m2/a^2 - m3/c^2}

= {m1 a^2 b^2 + m2 a^2 c^2 - m1 b^2 c^2 - m3 a^2 c^2} / {m1 b^2 c^2 + m3 a^2 c^2 - m2 b^2 c^2 - m3 a^2 b^2}

= {m1 z^2 + m2 (1+z)^2 - m1 z^2 (1+z)^2 - m3 (1+z)^2} / {m1 z^2 (1+z)^2 + m3 (1+z)^2 - m2 z^2 (1+z)^2 - m3 z^2}

z = (zの4次式)/(zの4次式) の形をしていて、これはzの5次方程式となる。その解を用い
比例定数ρを用いて r12 =ρ、r23 = z ρ、r13 = (1+z) ρ と書けよう。代入して
十行ほど上の式から α(r2-r1) = zとρの式 = αρ。右側の等号でρの方程式として完全に定まり、riなども決まる。

プリンキピアは公理的方法で書かれていると言う。しっかり精密化すべきだと思う。
ユークリッド幾何学は体系を何人もの人が、それなりに自分自身の一仕事を終えたら
取り組むのような向かい方で、ヒルベルトにしろ何回も体系が提示されているのに、
我らの本題の力学公理系は一人が書いた後は、路線は継いでもらえず放置されている。

初めに解析幾何学を作ってしまったとの想定の下に、論証の分野を導出する。
圏論のようなもので、集合まで降りずに構造だけで推論がなされる。
ギリシャが別の世界線の存在で初等幾何が歴史に登場しなくて、その想定なら
必要とされああなるほどと言われ、大いに作られるべき推論技術の分野だったと思う。

三平方の定理一つを取っても解析幾何学で証明することは容易。
しかし本質のためには、それを使わない証明方法を可及的に列挙するのもさらに重要。
「平面上で3点を取り、1つの角を直角と想定してください。その時にフェルマー最終の
幾何学版n=2とも呼ばれるべきものが成立しているでしょう」。これが三平方。
言い方に含みを込めてるのはその変換対称制約など為すべきこと多しの余韻を香具わせてる。
　
　
本リプ後半は上記の証明をさっとする。文字も一般的で。高校2年レベル。
レベルが高校2年だから、あえて読み易さ化をしないで、目をチラチラさせるような記述。
こっち系にも慣れてもらう。ちゃんと読むこと。
(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)

(x2-x1)(x3-x1) + (y2-y1)(y3-y1) = 0 が移動ベクトルの内積の条件からの直角を表す数式。

(x3-x2)^2 + (y3-y2)^2 = x2^2 + x3^2 + y2^2 + y3^2 - 2 x2 x3 - 2 y2 y3

(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (x3-x1)^2 + (y3-y1)^2 =
x2^2 + x3^2 + y2^2 + y3^2 + 2 x1^2 + 2 y1^2 - 2 x1 x2 - 2 y1 y2 - 2 x1 x3 - 2 y1 y3

直角の条件式から、x1^2 + y1^2 - x1 x2 - y1 y2 - x1 x3 - y1 y3 = - x2 x3 - y2 y3
即ち三平方の定理はほぼ自明である（さすがに読めたよね？）。とこう来る。
こういう方法しか無かった所に論証幾何を建設する方法を、ニュートンを参考に物理に。

プリンキピアを動かしているものは、まだつかみきってはないが
ケプラーの面積則、求心力の概算、そしてケプラーの方程式なるものである。
面積である以上は底辺と高さの積と書け、それを線分長さを使っていつも具体的に書いてる。

求心力は m v^2/r というのである。このvがやはり辺の長さで書かれ、
1月の始めの方でやった、速度を初等幾何で表現したい時は、抽象的感覚を持ちながら
1/vに比例する距離だけ離しての軌道経路の2重化となる図を描いての幾何処理が出来る。
そこも線分の長さで表され、物理量全部が線分長さの積の分数として出て来る。

さらにr = l/(1 + e cosθ)のような形から、力学は三角関数がしょっちゅう出て来る物。
ここにケプラーの方程式なる扱いが為され、それは面積則とそんなに違うわけではないが
全く違う技術としてニュートン力学に2回目現れ、速度空間ホドグラフという方法を
ニュートンは生み出して、抽象パラメータθが描く面積として時間ｔが計算されるとしている。
ここを把握すれば力学ができている感を抱くだろう。大学の力学でもｔは積分値で計算結果
と言うこともそういうことに注意を持つ人なら気が付いていた。
　
　
ニュートン本で求心力は遠心力ポテンシャルではなく、m v^2/rの2段落上的な抽象2重化図形
として動かされる。速度を表現する物を1/vに比例して離して線分長さの積の分数と幾何。
総合的に幾何的論証に依拠し、分数の中の線分長さのベキの個数、それに円錐曲線の古来の定理で
逆2乗である必要があると論証する。これが比較的巻頭に近い所にある山である。

次に、各物体の運動はｔもｘやｙも共にホドグラフ上で抽象パラメータθの刷く(掃く)
面積であると定め、運動の問題は公式として局所的に解けたとする。
大域的に、つまり円錐曲線が逆2乗から、その公式を経由する意味でも成立すると言わねば
ならないが、そこも言っていると思うがもう少し見る。

それから動かせるパラメータを変えて、ニュートンは摂動は求心力を増強させる形で
とりあえず捉えられるとする。質量mなのにm+αの力が来るなど。
そして木星や彗星や月の運動をさらに正確化へ追い込む。また潮の満ち干の記述に取り組む。

具体的にはまた4月以降にすると思うがこの続きをする。
もう仕上がった姿を見たくなったよね？仕上げを目指してみよう。
このスレで取り組んでみよう。廃炉のための「待ち」の時間を使って研究しよう。

我々としては電磁気学や核内QCD流体の幾何化がしたいのだから
必ず電磁誘導や渦電流も3次元空間に次元は上がることはあっても幾何化が出来るはずだと
多少の道具的信念で臨み、初等幾何化定理の形に、可能条件の判定法にしよう。
　
参考にするのはユークリッド、アポロニウス、和算円理。
方法は証明から数式計算を撤去して、オブジェクト関係の論証にする。
保存則があるとそれを面積の保存として書いて周辺に幾何を作る。
この方向だと可積分系や正準力学が理論の対象で高級な所へまでつながる。
　
　
ところでそうそう多くは結果的なことも用意出来てないからもう雑談。
ユークリッド原論はプリンキピアから参照先にも指定されている。
率直な感想は、基礎付けと実になる工学型知識を分けて書いた方が良さそうと。　
先に何を示し今何を示し、同じものに等しいものは等しいから何命題により等しい
こんなだるいこと書かれると工学にならないから、江戸の人が入手しながら
消化しなかったの少しだけはわかる（事実関係としては江戸の人の態度の方が間違ってる）。
量は質につながるから長文を記す習慣の文化の方が質を上げて結果を出せる。

ユークリッド原論の中身はそれほど多くはなく、分からない所を飛ばせば
理系のちゃんと学力のある人なら２週間もあれば読めると思う。
最初の４分の１ぐらいが幾何で、それ以後は奇数引く奇数は偶数だ、なぜなら
のような話で、最後の５分の１が立体幾何だが、垂直ということにこだわった
内容ばかりであまり建設されているとは言えない。正二十面体を少ししてる。
言っている言葉を追っていくのが労の多い本だが、しばしば定理の簡単化証明を
ここでもしているようにAIなら冗長を除いた最短で学べる本に作り直せるのでは？

アポロニウスは双曲線屋とでも呼べるような人で3月の裏側でこの解析幾何を用意したい。
和算はギリシャと動向が似てて自然に算術と円理幾何になったというのがよく似てる。

率直に言ってプリンキピアは見えて来たから、今年いっぱいフルにするんだけど
少しゆとりを持とう。入手している人は、1編の3分の1くらいまで円錐曲線の
作図法を与えよの問題、その後に変なわけのわからない図がいくつか並んでいる
のを見ていると思う。文脈を押さえるとそうでもなくて、右側は2つの物理量の
普通のグラフで左側は解釈に使う同心円とその中の曲線。こんな風に読める。
解釈の方法はケプラー方程式からのホドグラフをニュートンは普通使っている。

だからわけのわからない物は無い。残っているところ（まだ８割ほどは残ってる？）
を攻略して解釈インフラとして社会に提出てか提供しようと思う。
第2編などではなぜこんな言いたいことが入ってこないような書き方をという
印象をみなさん持ち、同じである。そこの分析も少し批判視点も交えてしてみる。

読み方が伝わり、読みにくさの構造性がきれいに解きほぐされると、哲学書の
カントやヘーゲルのように、一般的に解説注釈書が出来ていくものになるだろう。

さらに、なぜこの結論を出せてる？という突っ込み方。
r = sinθの時に逆5乗則だと自信を持って書いている。我々は微分の記号を自由に
使えている時代だからそうだね、と共通推論の形式で人と人との同意に辿りつけるが、
この体系運用して自信が持てないことにはならなかったのかなあ、とか。
よくどんどん進めれるなあと。そういうことを解いて行ってみたいと思う。

今日3月8日からしばらくはバイオをする。

その後でまた戻り系の隅々まで押さえたり、上級の構造化へ向かう。
まず円錐曲線の幾何と二重化法による物理運動の初等幾何、その論証化。
その後で少し話題を変え(PCや建築)、また戻り
円錐曲線を楕円曲線の次元落としとコホモロジーでそれらをつかむ（今狙って準備中）。
その後でまた行って戻りで
モデル理論と代数解析K理論でそれらをつかむ。
どこまで出来るか。最後の行の以外は現実プラン。

昨年最終の予告が臓器移植だった。これをする(2025-12)。
気分的にバイオをいっぱい時間取りたくて、今日のノーカンにしようかな。
もちろん被曝した危ない人を臓器移植で救出することはありうる。
そのためにスレのトピとなるが、しかし他人の本来の所有物を犠牲にしている。
移植はこの問題を離れることはずっと出来ない。

我が国では移植件数は国際的にかなり少なくて、逆に米国やスペインが多いそう。
いいのかなと言う問題もいつまでも付きまとうから、どっちの国も正しいのだろう。
技術の質の向上は目指すが、必ずしも施行症例を量として増やすとは
少なくとも私は思っていなくて、だから日本はダメなんだと言われれれば一面ではそうで。

また次第に技術が向上するから安全性も高まってくる。
そうすると需要が増え、多くの人の本来的所有権を犠牲にする危なさが近づく。
話題もほどほどでいいのだろう。
　
　
さて法律も定まり、心臓、肺、肝臓、腎臓、膵臓、小腸が保険にまで掛かる。
中でも腎臓が多く透析からの脱出意図で登録され10年も待つほどの状況だそう。
他のは2-3年とか。登録してからリスト上で点数評価され順位が上がって行く。
禁忌は大量飲酒癖などコンプライアンスの問題の人と全身病で適応から外れる人。

何らかでリスト上位者に声が掛かる時、ABO赤血球血液型とHLA(白血球血液型)が
重視される。公共の所からではなく知り合いでする時、ABOは乗り越えられ
HLAの抗体が反応し合うかが最も重視される。ここに問題がある時は脱感作療法と
いうアレルギーの時にする方法をして抗体を反応しないように学習させる。
アレルギーの究極はアナフィラキシーだからそこを抑え込んでするとは
かなりの医療技術になったのだとはわかるだろう。免疫抑制薬も用いる。
そうして大抵進む。拒絶反応も時々ある。
まだ初期段階技術だからなのか対症療法(有り合わせの手段で何とかするだけ)である。
だがABO異種の人へは現代では余裕でできる。

元々は外科では腫瘍の外科手術が大量にあり臓器技術が相当に向上している。
移植はその意味では一歩進むだけらしい。心臓以外は腫瘍手術がよくあり
そこのよくできる人が移植にまで進む。血管をクリップで止めて切って
必要な場所において縫合して、後は患者の不快な思いを最小にするように精一杯配慮するだけ。

不思議だよね。不思議だ。何が？どうしてそれが置かれてレシピエント(受け手)
の脳の指示を受けて動いているのか。或る程度疎遠な関係の生物種同士なら
縫合しようが全然関係ないと扱われるだろう。しかし実験して神経とかは
つなごうと特別にしなくても動くのである。人間の体のつくりがそうなっていた。
小児のレシピエントも多いが移植臓器もちょうどのサイズで成長を共にしてくれる。
　
　
我々はそういう手段が可能であるという既に一般化した実践技術からもっと
学ぶことが出来る。手段として持っておいて様々な危ない状態の人への適用を
時に検討するという本来のとは別に前線を広げていくことも。

胃はどうか。歯は。それぞれの骨は。眼球はあるけれど視力には関係がなく。
しかし聴力系はどうか。脳だって出来そうに思う。生殖器も。腕一本とか。
今回10冊以上文献を見たがどうして動くの？と言うことは書いていなかった。
なぜなんだろう。そこの仕組みは本質的だと思う。歯や骨ぐらい簡単そう。違う？
　
　
さて移植を受けた人は免疫抑制薬は一生続く。カルシニューリン阻害薬というのが多い。
カルシニューリンだけ検索して調べておいてくれればいいと思う。
血中濃度を見ながら投与量を調整して決定していく。すなわちずっとその薬が
体内にあるように管理されている。

拒絶反応の再発もある。アレルギーのように免疫の一つの形である。
リンパ球増殖の悪性腫瘍が多く、皮膚とその臓器に一般人よりも多く発生する。
その理由に免疫抑制薬もあるが因子として元が異物だからや赤白血液型の強行。
大抵は臓器の末期の人が適応と許可が出る。余命診断までされるような人である。
倫理問題があるから。肝臓も膵臓糖尿も。骨髄少々でいい白血病は標準治療。

原子炉直下に想定外「消えたコンクリート」　福島第一原発、今も残る謎　#知り続ける（朝日新聞） https://news.yahoo.co.jp/articles/6f6855ab79113f81c7be0229779b5eed0c60ce23

>>125
コンクリートだけが酸に侵されたんじゃないかな
鉄筋は残ってるわけだし

バーコードやQRコードがあり様々な情報を伝えるのに使われている。
この手法で問題の解法を適切に伝えれるか？
積極的開発をする話題。

思うに理数書も散文ばかりである。論理にしようとすると、
言う人は居るものの現実にはアセンブラ言語（の記述的手間さと書かれたもの
が意味を読み取れなくなる危惧）にも思われて中々進んで来ない。
この中間の形があってPC用にするの可能性。
　
　
さてAIが何でも知っているのではなく高校3年の標準ぐらいの学力としよう。
とすると大抵の問題は中々解けない。段階があるが小5で中2で高2で大1で、
昭和のコイン転がし落とし駄菓子屋ゲームのようにコースを外れて多数脱落する。
まあ受験勉強途中の偏差値55ぐらいの学生を想像すればいいだろう。

ここにバーコードやQRコード類似の限られた範囲のデジタルを渡す装置がある。
ヒューマン的な有限さに限定している情報渡し装置である。
（対立概念は理論的な有限さ。指数関数で上限を押さえれるとか言っても仕方なく）
　
　
そのコードマークを読み取ると或る問題が解けるようになる。
関連する近い問題には類推力が働き学力がその影響範囲で付く。
これが学生が学ぶ時にそっくりになり、関連する問題への応用がいかにも人間的で、
教育学習を模しているような状況。

(1)こういう状況をAI-PC体系の土台に於いて作ることは可能か？
(2)コードはどんな言語なら出来るのか？
(3)問題や話題への特異度を上げて行く（それだけが解けるようになる）

廃炉はこうだよとQRコード類似物1つ記号に収まるようになって仕上がるといいな。
幾何の証明なども論理に仕上がるのではなくQRコードになって伝え合い
AI同士はそれで概念発見等と通知し合い、ユークリッドもそう再構成される。

今日は雑談。
3/22は血管・血液・輸血を題材に分子主義でストーリー仕立て(2026-1)
3/29植物(2)、4/5女子化粧(3)、4/12-26理数
5/3本格派分子医学(4)、5/10生物統計(5)、5/17建築、5/24-31パソコン論

ゴールデンウィークを充当したくなる筈と予測して食いこませてる部分あり。
統計はこのスレで出て来ては消えるが次はする。
ファイナンスにマウントするという次の目標が出来ているためである。
実践介護、検査技術、高分子数値計算、テキスト処理型での健康談義集成
みたいなのをまた期間置いた後に。
どれも原子力のおまけで置いておいていいと思う。
　
　
トピは大きく2つ思いついて、輸血をすると抗体が出来る。
手術を受ける時に輸血をしたことがあるか聞かれると思う。
体の中に履歴が残るからである。さらではなく免疫的に違う状態になってる。
何かの時にそのことを勘案して対処を探るからという情報取り。

そのような事情のため今では輸血を積極的には用いない。
輸液や点滴というのは全く別である。が外科と産科でまたICU等でそれぞれある。

別方面のトピとは、血管や血液の周辺で間葉系細胞への細胞転換があるらしい。
再生医療で細胞を操作して変える技術があり、ストレスがそれを起こすという
話題すらもあったはず。低酸素がそれを起こすということになっていて
これは違う動作性を起こし、つまり言ってることは臓器の低酸素で直接腫瘍が発生
することはある。実験で言っている。DNAの傷とはまた別である。
エピジェネ指向の腫瘍で、既存のが悪性化する場面としても注目されている。
我々原子力でそういう機序で起きてる場面が無いかはまた見てみよう。

２０５１年の廃炉、極めて厳しく　デブリ本格回収、見通せず―東電福島第１原発―東日本大震災１５年：時事ドットコム
https://www.jiji.com/jc/article?k=2026031100779

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https://www.jiji.com/jc/article?k=2026031100779

今日はインプット偏重で何を書こう。
ほぐれて来たらそっちのが得る物多いからという算段でですね(インプットに比重を置いたの)。

分子生物学を物質分子のキャラを立たせてストーリーで、と予告したが
それが出来たらもう結構なものなわけで、学習用の漫画にしたら
素人が楽しみ食いついて読んで、数百個の知識が入って来るようなものになるのだが。
そのうち出来ると思うが、今日その内容は出来ない。とりあえず夜半までは粘る。
　
　
感想を言うとバイオの一般の教科書は平板な記述が多い。
何がどうと言うような内容が3行に2つぐらいあるような感じで延々と続く。
それぞれが報告と時間をかけた賛否によって決まって行った言述で
なんて大量にあるんだと思ってしまうことも。
どうこれを入り込んだ把握できるかという問題になる。

その問題を読者と一緒に解こうと思う。
思えば趣味の世界もそんな入り方をしていたはずで、ボードゲームの人とかは
すごい細かい分類でそこを理解しているが、外部から見ると、それが相当。

その問題の解決案は、結局は体系をつかむ方法で、或る程度は大量にして
単語や概念は詰めて、収穫曲線も意識して、収穫が減り始めることを
感じれるぐらいが大量の目安で、有機的つながりを自分の方から指摘できる
ように段々なるとホーム感。時間にあくせくはしないで、はまるほどさらに
時間が費やされて、なんとなくそこの人になる。
　
　
忙し過ぎてそんな一つの世界に入り込むような気構えや何やを構成し得ない
と言う人が普通で、だから最短コースで入り込める提供法を思っている。
そうすると、これを自分の研究にしようという人も出てその人の生産で豊かになるから、
戦略としては妥当である。
再生医療には発生学つまり分子生物学が必要で、そこを少し面白く見せられれば。

和算の体系を学んでみよう。

原子核のトピで和算て。
あれこれ調べる→書かないともったいなくなる→書く。
こんな感じで読者に知識が。
あとひそかにあの丸いのを陽子とかに見立てたいと思ってる。
　
　
(1)二円の共通接線に関し
大きさの違う重なりは無く離れる2つの円について、だがほぼ近い大きさでイメージしてもらえば
外側で平行に近く包むようなのと、間の領域でクロスするようなのと
全部で4つの共通接線が描かれることがわかる。

線対称性を考えればそれぞれ2つの共通外接線、2つの共通内接線(そういう名前を付けるとして)
はそれぞれ長さが同じ。さらに内接線と外接線の交点が4つ現れる。

接点と交点との距離、が双方の円について等しいというのが定理である。

証明。円をO1とO2、共通外接線をACとBDとする。AC=BD。
AとBはO1上、CとDはO2上、でそれぞれ接点で表している。
クロスして来て、Aの近くに交点を作る共通内接線がある。これを直線IEHLとする。
EはO1上、HはO2上、Iは交点でAC上、Lも交点でBD上。

円O1から見た線対称性でAI=IE。 同じくHL=LD。
円O2から見た線対称性でIC=IH=IE+EH。 同じくEH+HL=EL=BL。

AC = AI + IC = 2 IE + EH
BD = BL + LD = EH + 2 HL
これより IE = HL。

(2)余弦定理
△の頂点を上A、左下B、右下C、AからBCに下した垂線の足Hと名付ける。

AH^2 = AB^2 - BH^2 = AC^2 - CH^2 = AC^2 - (BC - BH)^2
すると AB^2 = AC^2 - BC^2 + 2 BC･BH
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 BC･BH

BH = AB cos∠B なのでこう書くと三角関数型の余弦定理である。
ともかく角Bを主人公な場所とした形の余弦定理を証明した。

垂線の足までの長さとの積をおまけ項に、という形で使われる。
プリンキピアにもこういう形で辺の長さの積が導入されてる所がある。
　
　
(3)ヘロンの公式（ギリシャ型証明）
(AH, BH, BC, CA, AB) = (h, d, a, b, c) と書き換える。
余弦定理の稿、するとの行は、c^2 = b^2 - a^2 + 2 a･d
変形して
d = (a^2 + c^2 - b^2)/(2a)
直下の第3等号ではcではなくd^2の方を消去したいがためにこういうくくり出しをしている。

面積の普通の式を書き換えて行く。
△の面積S = 1/2 a h = 1/2 a √(c^2 - d^2)
　= 1/2 a √{c^2 - (a^2 + c^2 - b^2)^2 / (2a)^2}
　= 1/2 √{a^2 c^2 - (a^2 + c^2 - b^2)^2/4}

16 S^2 = 4 a^2 c^2 - (a^2 + c^2 - b^2)^2
　= (2 a c + a^2 + c^2 - b^2) (2 a c - a^2 - c^2 + b^2)
　= {(a+c)^2 - b^2} {-(a-c)^2 + b^2}
　= (a+c+b)(a+c-b)(b+a-c)(b-a+c) = 16 s(s-b)(s-c)(s-a)

但し s = (a+b+c)/2。

内心と各頂点A,B,Cを結んだ線分で△を3つに分けることにより
△の内接円O1の半径をrとして、S = 1/2 r (a + b + c)が言える。
これと(3)の式でrも求められる。
一方、r(a+b+c)を別の方法を使ってa,b,cで表せれば、それが和算型のヘロンの公式とも言える。

(4)ヘロンの公式（和算型の証明）
辺の呼び方の名づけを変える。
Aから内接円接点までの長さをa(2つあるがどちらも長さ同じ)、
Bからのをb、Cからのをcとする。AB=a+b、BC=b+c、CA=c+a。

ABの左外側に△の傍接円(O2、半径はR)を描いてみる。
CB,CAは内接円と傍接円の共通外接線になっている。
ABは内接円と傍接円の共通内接線になっている。

O1からBCに下した垂線の足をD、O2からBCに下した垂線の足をEとする。
Dは△の内接円の接点、Eは△の傍接円の接点である。

(1)の定理よりEB=a、またBD=b、DC=c。

BからO1への2つの接線はBCとBAであり、
BからO2への2つの接線はBAとBEであり、それぞれ線対称性を持っていて
O1BO2は直角となる。

これより角の等しい直角三角形の相似で、R:a = b:r

また相似の関係からR:r = EC:DC = (a+b+c):c

R = a b / r = r (a+b+c) /c

ゆえに r^2 (a+b+c)^2 = (a+b+c) a b c
辺の名替えは一次式なので直してくれれば。

もっと多くしようと思ったんだが出来上がらなくて。これだけ。
楕円の幾何学的中心から近日点を向いて、長さが離心率eに比例するような
レンツベクトルLnという物を作ると、運動のこれまでの考察からは保存量のはずである。
原子の電子に使えるだろうし、もっと難しい系の場合の参考用にしよう。

Ln = G M m 離心率e
Ln = m v×(r×v) - G M m rhat
rhat = r/|r| でベクトルの方向だけを取得したもの
単位次元は kg m^3 /s^2である。
rやvは無言及ではベクトルで、ベクトルの外積と内積は×と･で明記する。|r|^2 = r^2

・実際に保存すること
・離心率とその関係であること
・その方向が中心→近日点であること
　
　
m r×vは角運動量だから既に保存する。
万有引力は dv/dt = - G M |r|^-3 r
d|r|/dt = (v･r)/|r|
右辺はvのr方向への射影という意味。

ベクトルについて a×(a×b) = (ay (ax by - ay bx) - az (az bx - ax bz), …)
　= (- (ax^2 + ay^2 + az^2) bx + (ax bx + ay by + az bz) ax, …) = - (a･a) b + (b･a) a

d(r/|r|)/dt = |r|^-1 dr/dt - |r|^-2 d|r|/dt r = |r|^-3 {r^2 v - (v･r) r} = - |r|^-3 r×(r×v)

d(Ln/(G M m))/dt = - |r|^-3 r×(r×v) + |r|^-3 r×(r×v) = 0

Lnとr×vの内積を求めると、定義右辺1項はr×vと垂直のベクトルのはずで
右辺2項はrの方向でこれもr×vとは垂直のベクトルで0を得る。
角運動量ベクトルと垂直なのでLnは軌道平面内にある。

rとLnの為す角θを真近点離角と言う。一番普通の軌道平面内での近日点方向から測った角なのだが、
代数的定義が実際にそう幾何的なものであることを見よう。

Ln/(G M m)とrの内積を作る。
rhatとrの内積は|r|。
(v×(r×v))・r = (r×v)・(r×v) はr,v,r×vの3つのベクトルについての平行六面体公式。

すると Ln/(G M m)・r = (r×v)^2/(G M) - |r|

|r| {1 + |Ln/(G M m)| cosθ} = (r×v)^2/(G M)
極座標での円錐曲線の方程式で、|Ln/(G M m)|を離心率eと解するのが良いことがわかった。
似た形式が出ただけでてんで違う物の可能性は？とか突っ込む人がいるが、
それがそうなら双対とかさらに豊かになるので話をまとめて指摘してもらいたい。

4行上の方程式で右辺はr×vが保存量。
左辺はθが0のとき{}が最大で|r|が最小となる。
rとLnが角度0のときrが近日点方向ということだから
ベクトルLnの方向が幾何学中心→焦点→近日点を表わしている。

天体摂動や宇宙航行でもこの動きを見るといい場合がある。
原子力のエネルギー問題絡みで宇宙輸送をする手筈なのだから関係する。

運動法則と万有引力ポテンシャル→しかる保存則対称性が示されたが
万有引力ポテンシャルと保存則対称性を人為に初めに自由に与えて運動法則を求める話。

求心力を求める例をもっとやってみる。2/15の内容で、
軌道式 f(r,θ)=0の微分を求めて、dθ/dt=r^-2 (角運動量保存式)と軌道式自体を使いながら、
θとdθ/dtを消去し続けて r^-3 - d(dr/dt)/dt が求心力 F(r)になることがわかっている。
数学的な形状だけ見て、定数倍などの係数はあまり扱わない。必要な人はそれぞれで。

円錐曲線 f(r,θ) = r (1 + e cosθ) - 1 = 0をやってみる。
1 + e cosθ = r^-1
df = dr (1 + e cosθ) + r (- e sinθ dθ) = 0
dr/dθ = r e sinθ/(1 + e cosθ) = r^2 e sinθ
dr/dt = dr/dθ dθ/dt = e sinθ
d(dr/dt)/dθ = e cosθ
d/(dr/dt)/dt = e cosθ r^-2 = r^-2 (r^-1 - 1)
F(r) = r^-3 - (r^-3 - r^-2) = r^-2

軌道が円錐曲線ならそれを求心力が起こしているのなら逆二乗の形と証明されたのだが、
e=0とする退化を辿ってもらいたい。dr/dθが消えてしまい以後が辿れなくなる。
即ちこの方法では円軌道についても楕円軌道のe=0極限と見ることで力の形状を得る流れとなる。
　
　
r = e^θの例をやってみる。
dr/dt = dr/dθ dθ/dt = e^θ r^-2 = r^-1
d(dr/dt)/dt = d(r^-1)/dr dr/dt = - r^-2 dr/dt = - r^-3
F(r) = r^-3 - (- r^-3) = 2/r^3

これは等角らせんである。∵)角θ測る用のθ原点を内的に変えると係数Aに入り r = A e^θ。
シフト角分だけ回転させて縮尺を掛ける。変化物は元の物にぴたり重なろう。
回転と等倍で角度は不変。どこを回転縮尺で注視点選びにしても同じ形状で重なりらせんは等角性を持つ。

角運動量の正指定で反時計回り。r=e^-θはr=e^θと同じ結果を出す。
というのはらせんを描く時縮もうが広がろうが引かれて中心に向いて曲がっている事情は同じ。
もし斥力なら外側へカーブするので内側にカーブするなら求心力。

回転円軌道上で宇宙機同士がランデブーする際のヒルの方程式を基礎から学ぶ。
遠心力・コリオリ力・加減速力・回転面の上下振動が見られる。
上下振動は本当は少し斜めなのだと思うと周期に同期して上下しているとも見れるが解釈。
地球の赤道上空を公転する例をする。zが北極星方向、xが半径外向き、yが進行方向。

さてdA/dt = δA/δt + ω×A。左辺は静止系。δ/δtは回転座標系で見る時間微分。ωは角速度。
Aが回転座標系での外向き方向ベクトルと決め打ちすると、回転に連動して静止でのy成分を獲得して向きが回って行く。
y方向ベクトルなら-x成分を獲得。少なくとも考察微小の時間範囲では右辺第2項の置き方形式で良さそうである。

d(dA/dt)/dt = δ(dA/dt)/δt + ω×dA/dt
　= δ{δA/δt + ω×A}/δt + ω×{δA/δt + ω×A}
　= δ(δA/δt)/δt + δω/δt×A + ω×δA/δt + ω×δA/δt + ω×(ω×A)

二階微分まで片付けたから以後A=rの場合だけを扱う。m掛ける左辺は力。mで割ったまま考察。
… = r'' + ω'×r + 2 ω×r' + ω×(ω×r)
運動系での動作が静止系での力をも受けてどうなっているかの読む方程式。
dω/dt = δω/δt も(Aにω入れ)わかる。
　
　
回転座標系でのr=(x,y,z)と書く。宇宙機をその原点に置いてる。遠い所に原点がある静止座標系ではない。
ちなみにその場合はδrとrが同一物になる。角速度ベクトルω=(0,0,n)としよう。

ベクトル外積計算で
ω×r' = (0,0,n)×(x',y',z') = (-n y', n x', 0)
ω×(ω×r) = (0,0,n)×(-n y, n x, 0) = (-n^2 x, -n^2 y, 0)
加減速はnの変化ではなくxyzで表示されnは定数とする。ω'×rの項は0。

ところでここまでの考察では座標を回転系にしただけで重力を思っていない。重力を入れる。
遠心力 m r n^2 = G M m / r^2 の平衡式からは n = √(G M /r^3) の関係式が付く。
重力は左辺の…部に入る。しかも潮汐力だけである。主要部は前行型で系作りに今使用された。

スラスタ等制御力加速度 + 重力潮汐型加速度 = (x''- 2n y' - n^2 x,　y''+ 2n x' - n^2 y,　z'')

重力ベクトルの位置による変化を探る。
そのために重力ベクトル g = - G M r /|r|^3 = - n^2 r を各方向に偏微分する。
その9成分量と位置変位ベクトルとの内積で、位置による変化がわかる。
n^2とはまだ置いてはいけない。円軌道に固定せずもっと自由な動作を見る段階なので|r|が固定していない。

∂(|r|^3)/∂x = ∂{(r^2)^3/2}/∂x = 3/2 (r^2)^1/2 2x = 3x |r|

∂{g_x/(- G M)}/∂x = ∂(x/|r|^3)/∂x = |r|^-6 {|r|^3 - x ∂(|r|^3)/∂x} = |r|^-5 (r^2 - 3x^2)
∂{g_y/(- G M)}/∂x = ∂(y/|r|^3)/∂x = |r|^-6 {- y ∂(|r|^3)/∂x} = |r|^-5 (-3x y)

結果9成分行列 ∂g/∂r = - G M |r|^-5 (r^2 I - 3 [r,r]) = - G M |r|^-3 (I - 3 [rhat,rhat])
[r,r]等はベクトル同士の全成分積のつもりだがその内容はあらわに書くとその上の物。
　
　
さて微分計算は終わったのでnを使っても良く、またr/|r| = (1,0,0)。
∂g/∂r = - n^2 (I - 3[但xx成分のみ])
これは対角行列である。だから3成分ベクトルに掛ける時も簡単。
重力それ自体は回転座標系の構成に含まれていて、位置による小さな変化が潮汐力的に力の方程式に入るのである。
それは ∂g/∂r・δr = - n^2 (x - 3x, y, z)

前リプ最後の式左辺第2項に入れよう。- n^2 x 的な物が良く打ち消し合い
(ax,ay,az) = (x'' - 2n y' - 3n^2 x,　y'' + 2n x',　z'' + n^2 z)

これがヒルの方程式である。
もちろん夜でも成り立つ。六本木夕方ズとか芸人にいそう。
-2n y'と2n x'はコリオリ力の項。
n^2 zは単振動に見せる項。但し周期が回転周期なので単に軌道が傾いてる。
またx'' = 3n^2 x + …、と書くと半径方向に広がって行く不安定さがある。(本当？)

1リプ半でケプラー方程式を導出する。準備1で次の半で本導出。
長半径a、短半径b、中心焦点距離c、離心率eの楕円を考える。
c = a e のこと。∵)
r = l/(1 + e cosθ) においてlの定数倍時にrは定数倍される。当面l=1で略。
この方程式が楕円であることはr cosθ = xと置いてr = l - e xを2乗すれば見える。
θ=0でr=1/(1+e)、θ=πでr=1/(1-e)、θ=π/2でr=1。

楕円の方程式はx^2/a^2 + y^2/b^2 = 1である。
θは中心ではなく焦点から測る角度であるため上の結果からb=1はない。
θ=π/2でのrは短軸とは並行する別の場所にある物であり半通径と呼ばれる。
しかし 2 a = 1/(1+e) + 1/(1-e) = 2/(1-e^2) であり
対して 2 c = 1/(1-e) - 1/(1+e) = 2e/(1-e^2)。
より所期の件については証明される。

極座標では焦点を、直交座標では中心を原点に置く流儀が普通。
bについては(c,0)と(0,b)の距離がaから決める。b = √(a^2-c^2) = a√(1-e^2) = 1/√(1-e^2)。
ところでl=(1-e^2)と置いてみればスケールがl倍され、x^2 + y^2/(1-e^2) = 1 で焦点は(±e,0)の半通径は1-e^2。
　
　
系の記述を中心から測る角度αで表したいのがケプラーの発想。
しかし例えば縦方向に2倍に延ばすだけで相当点への角度が変わってしまう。
これを標準化し一意感の物にするために単位円周への角度、それを横a倍、縦b倍。
このように2段階に分けて表して行くことにする。
すると楕円周のパラメータ表示は (a cosα, b sinα)。かえってきれいに。

今一般点(a cosα, b sinα)と焦点(c,0)の距離rを求める。
r^2 = (a cosα - a e)^2 + (b sinα)^2
　= a^2 {(cosα)^2 - 2 e cosα + e^2} + a^2 (1 - e^2) {1 - (cosα)^2}
　= a^2 {- 2 e cosα + 1 + e^2 (cosα)^2}
　= a^2 (1 - e cosα)^2
これr = a(1-e cosα)は次々ランベルトOP,OQでも出てる。

ケプラー方程式
少し丁寧に焦点(c,0)に太陽があって楕円軌道上を地球が周回している様子を思い浮かべる。
楕円のaとbはわかっていて、面積速度則(=角運動量保存則)がある。
近日点(x軸上正位置の点)から計測を開始し、今第2象限(左上方面)に来ているとしよう。

中心と焦点が楕円において違う点であることが問題になる。
これまでに掃いた面積を中心から測る角度αで書く式を求めよう。
ナイーブに短軸方向をa/b倍して円にしてわかりやすくする。

すると弧度法面積で1/2 α a^2。それより中心・現在点・焦点で作る三角形の面積を引いた物。
これがこれまでに掃いた面積。それは時間に比例してh tなどとも書ける。

中心焦点距離 = a e。三角形の高さ = a sinα。
これまでに掃いた面積 h t = 1/2 α a^2 - 1/2 a e ･ a sinα = a^2/2 (α - e sinα)
nを適当な定義としてケプラー方程式 n t = α - e sinαが得られた。
　
　
ケプラー方程式からランベルト定理が導ける。
ケプラー用の今のα(離心近点離角)角をAやB化。
三角関数の加法定理
sin(a±b) = sin(a)cos(b)±cos(a)sin(b)
cos(a±b) = cos(a)cos(b)-±sin(a)sin(b)
複号でcos同士は足しsin同士は引くことが多いとするとcos(a)が残る。

a=(B+A)/2=C、b=(B-A)/2=D を入れる。するとB=a+b、A=a-b。(Bのが未来なのでこんな書き方)
a,bを捨てて式の略記という思想でC,Dを使ってる。(以後は楕円の長半径短半径的な別の意味でab)
cosB + cosA = 2 cosC cosD
cosB - cosA = -2 sinC sinD
sinB - sinA = 2 cosC sinD
cosγ = e cosC と定義し、2倍角の公式(実際には使わない) 1 - cos(2A) = 2 sinA^2

軌道上のP→Q移動時間はPとQのケプラー角A,Bを用い n t = (B - e sinB) - (A - e sinA) と書けるが
直上のγとDを使い、n t = (γ+D - sin(γ+D)) - (γ-D - sin(γ-D)) とも書ける☆。という内容。
離心率eが1化して仮想的な抽象放物線上のケプラー運動で問題が表示されるという。

∵) 証明は3つの場面でe cosCをcosγで置換する方が向上することを発見したことから。

n t = (B - e sinB) - (A - e sinA) = (B - A) - 2 e cosC sinD = (B - A) - 2 cosγ sinD

求心力中心OからPへの距離をp、Qへはqとする。PQ間距離をsとする。
p = a (1 - e cosA)、 q = a (1 - e cosB) から
(p + q)/a = 2 - 2 e cosC cosD = 2 - 2 cosγ cosD

Pの座標は(a cosA, b sinA)、 Qの座標は(a cosB, b sinB)。また b^2 = a^2 (1 - e^2)
s^2 = (a cosB - a cosA)^2 + (b sinB - b sinA)^2
s^2/a^2 = (cosB - cosA)^2 + (1 - e^2) (sinB - sinA)^2
　= 4 sinC^2 sinD^2 + (1 - e^2) 4 cosC^2 sinD^2
　= 4 sinD^2 (1 - e^2 cosC^2) = 4 sinD^2 (1 - cosγ^2) = 4 sinD^2 sinγ^2
s/a = 2 sinγ sinD

直近2段落ではcosの加法定理が見えている。
(p+q+s)/(2a) = 1 - cos(γ+D)
(p+q-s)/(2a) = 1 - cos(γ-D)
これは連立方程式だからOP+OQとPQとaからγとDが求まる。

(γ+D - sin(γ+D)) - (γ-D - sin(γ-D)) = 2D - {sin(γ+D) - sin(γ-D)} = B-A - 2 cosγ sinD
この時点で15行上の形になっていて主張☆が証明された。

ベクトル外積についてトリビアを学ぼう。

・a×(a×c)は0ではない。2回目のとこ内積なら0だけど？外積は垂直同士はフルになる演算。
・外積に結合則は成り立たない。
・3つの外積は先に掛け合わせた方のベクトルの線形和。係数は残りの内積で真ん中ベクトルが正。

a×bはεijk aj bkと書ける。εは123かその偶置換で1、奇置換で-1、他では0の、
6パターンでだけ非0を出す記号。暗黙にΣj Σkが略されていて残ったi添え字が方向値。
例えばi=1なら定義からa2 b3 - a3 b2がこの値。

a×(b×c) = εijk aj (ε b c)k = εijk aj (εklm bl cm)

i=1の時、jkは23か32、jk=23ならε123=1、a2 (b1 c2 - b2 c1)
jk=32ならε132=-1、a3 (b3 c1 - b1 c3)

よって、第1成分は、a2 (b1 c2 - b2 c1) - a3 (b3 c1 - b1 c3)
= a1 b1 c1 + a2 b1 c2 + a3 b1 c3 - a1 b1 c1 - a2 b2 c1 - a3 b3 c1
= [(a･c) b - (a･b) c]1
対称性による変数回転でどの成分にも同じ。
a×(b×c) = (a･c) b - (a･b) c　☆

まず単純に置き換えて変形。
c×(a×b) = (c･b) a - (c･a) b
(a×b)×c = (c･a) b - (c･b) a

明らかに結合則は成り立ってない。主張の2と3は示された。
その具体的な例を、a=bとすると、
a×(a×c) = (a･c) a - (a･a) c
(a×a)×c = (c･a) a - (c･a) a

成分を見ないで幾何学的な意味を1つはつかもう。
☆のような一般は言いにくいが出来る人居たら頼む。

nを単位ベクトルとして、
n×(v×n) = (n･n) v - (n･v) n = v - (v,n) n
右辺第2項はvのn軸への射影。
ということは、左辺はn軸からvの先端へ垂線を表示しているベクトル。
一端それを理解して左辺をもう一度解釈すると
｢vn平面に垂直なベクトル｣とn に垂直なベクトルは、n軸からvの先端へ向かう垂線。

六面体公式
abc 3つのベクトルに対し、a×bはab平面に垂直で大きさが|a||b|sinθ
だからちょうどabで張られる平行四辺形の面積を大きさとして持っている。
cはそれと斜めの関係にあろうけれど内積を取るとそのab平面垂直への射影で
(実効高さだけがほしかったのが与えられて)結局平行六面体の体積を得る。
体積という具体な物に対応したので変数回転の公式は従属する。
成分では(εijk aj bk) ci これはさらに自明的に見えているはず。

以上が要点。4元数にこれを使い、8元数をこの体系の7重マルチとして見ようと思う。
8元数の7もこういうεに類似の。(x×x)×y = 0 と x×(x×y) = -y。
結合則の成り立たなさを幾何学的意味を外して抽象公理の当てはめ様子でつかむ。

空間座標で回転は縦ベクトルに回転行列を左から掛ける感じだった。
固有座標で回転は代表基底としてのベクトルらを混ぜる物だった。
実は後者は右から回転行列を掛けている。それを見よう。
だから[Z][Y][1] = [1][z][y]なのである。大文字と小文字は同じ行列でもある。

ベクトルの方を混ぜるような操作は行列になるのか？
|a1 b1 c1| |cθ　s' 0|　 |a1 cθ + b1 s　 a1 s' + b1 cθ　 c1|
|a2 b2 c2| | s　cθ 0| = |a2 cθ + b2 s　 a2 s' + b2 cθ　 c2|
|a3 b3 c3| | 0　 0　1|　 |a3 cθ + b3 s　 a3 s' + b3 cθ　 c3|

見るとaベクトルとbベクトルを混ぜているよね。
左に掛けるとベクトルの基底を変化させている(xをcx+syで置換等)。
右に掛けるとベクトルを係数付けて混ぜている。
回転操作表示行列を左から掛ける時、元のxの係数に、その左上･x+左中･y+･が掛かる状態になる。
右から掛ける時、その左上･第1列+左中･第2列+、が第1列になる結果になる。
前リプはベクトルを横にしているので転置にして本リプと合わせ。s符号まで同じ物。
常に物体固有の軸で回す方が素直である。3行下のθ'係数(前リプ下から2行目最左)でも。
　
　
角速度ベクトルωをオイラー角体系で表示すること。時間微分('で表す)が絡む内容へ進む。
計算方法は瞬間回転軸とφ'等の積和。
(ωX,ωY,ωZ) = (0,0,1)φ' + (-sφ,cφ,0)θ' + (sθcφ, sθsφ, cθ)ψ'
= (-sφθ'+ sθcφψ',　cφθ'+ sθsφψ', φ'+ cθψ')

これに(x,y,z)=Ｃ (X,Y,Z)を表示していた上の結果行列を掛けて(ωx,ωy,ωz)を得る。
そこ(下の3行)は高校1年生の計算過ぎるので自分で。

ωz = (sθcφ)(-sφθ'+ sθcφψ') + (sθsφ)(cφθ'+ sθsφψ') + (cθ)(φ'+ cθψ') = cθφ'+ ψ'
ωx = ( cθcφcψ-sφsψ)(-sφθ' + sθcφψ') + (cθsφcψ+cφsψ)(cφθ' + sθsφψ') + (-sθcψ)(φ' + cθψ') = sψθ' - sθcψφ'
ωy = (-cθcφsψ-sφcψ)(-sφθ' + sθcφψ') + (-cθsφsψ+cφcψ)(cφθ' + sθsφψ') + (sθsψ)(φ' + cθψ') = cψθ' + sθsψφ'
特に
ωx^2 +ωy^2 = θ'^2 + sθ^2 φ'^2

コワレフスカヤのコマ。
最近やったレンツベクトルにしろ宇宙機ラグランジュ点にしろ組合せで新数理を見出して来た事情があった。
コワレフスカヤの模型はI1=I2 = 2 I3とし重心がずれている状況を作り同様に新性質に至る。
主慣性軸の方向にコマ座標を取って慣性モーメントをI1,I2,I3とする。x軸座標aに重心がある。重力は-Z方向に働く。

コマの運動エネルギー T = 1/2 (I1 ωx^2 + I2 ωy^2 + I3 ωz^3) = I3 (θ'^2 + sθ^2 φ'^2) + I3/2 (cθφ'+ ψ')^2
コマの位置エネルギー U = m g h = m g a (-sθcψ) = - m g a sθcψ
Lagrangean = T - U。 I3で割って m g a /I3 = kと置いておこう。
L = θ'^2 + sθ^2 φ'^2 + 1/2 (cθφ'+ ψ')^2 + k sθcψ　☆

力学変数はθφψであるが、d/dt(∂L/∂φ') = ∂L/∂φ が運動方程式であるから
Lがφを陽変数として含まないなら↑は右辺0につき保存量。
qで全変数を代表させてL(q,q')から L'= q' ∂L/∂q + q'' ∂L/∂q' = q' d/dt(∂L/∂q') + q'' ∂L/∂q' = d/dt (q' ∂L/∂q')
これよりq' ∂L/∂q' - L は保存量でエネルギーと名付けられる。
コマの解とはもう1つ方程式を求めて、力学は終わりで3方程式を数学的に解いてどうぞとすること。だからあと1つ。
　
　
では解くがまず運動方程式。保存則への志向があるから∂L/∂q'まででd/dtをしない流儀する。
ψ: {cθφ' +ψ'}' = - k sθsψ
φ: {2 sθ^2 φ' + cθ(cθφ'+ ψ')}' = 0
θ: {2 θ'}' = 2 sθcθ φ'^2 + (-sθφ')(cθφ'+ ψ') + k cθcψ　= (cθφ'- ψ') sθφ' + k cθcψ

φの左辺 = 2 sθ^2 φ'' + 4 sθcθθ'φ' - sθθ'(cθφ'+ ψ') + cθ(- k sθsψ)
ψの式を使って代入してる。sθで割る。
0 = 左辺/sθ = 2 sθφ'' + 3 cθθ'φ' - θ'ψ' - k cθsψ
= 2 {sθ φ'}' + (cθφ' - ψ')θ' - k cθsψ

θの式にi(虚数単位)を掛けsθφ'のに加える。
2 {sθ φ' + i θ'}'
= - (cθφ'- ψ')θ' + k cθsψ + i {(cθφ'- ψ') sθφ' + k cθcψ}
= i (cθφ'- ψ') (sθφ' + i θ') + i k cθ e^-iψ

この形になると常微分方程式でするような工夫をしたくなる。
適切な形を見つけるまでパラメータを置いたり係数を見たり紆余曲折あろうが下のFがかなめを与える。
A = cθφ'- ψ'、 B = sθφ' + i θ'、 C = k e^-iψ を定義。
c = cosθ、s = sinθ、C' = - i ψ' C。 s' = c θ'等。
2 B' = i (A B + c C)

F = B^2 + s C と置く。
F' = i A B^2 + i c C B + (c θ' + s (- i ψ')) C
= i A B^2 + {i c (s φ' + i θ') + (c θ' - i s ψ')} C
= i A B^2 + i s (c φ' - ψ') C　= i A B^2 + i s A C　= i A F

これより (logF)' = F'/F = i A。
Aは実だからFの複素共役をGと置くと微分操作自体は実性で (logG)' = - i A のはず。
即ち足して (log(|F|^2))' = 0。
log(|F|^2)=一定。|F|^2=一定。これがコワレフスカヤ積分で第3の方程式。
　
　
sθ φ'+ i θ' や B^2 + s C が以前の例題達に似てる感を感じさせると思う。
可積分系と言われ、他に戸田格子の例があり、
うまく見つけなくても演繹していけるようなシステムをまた作る。
この問題らの解存在の概念をもっと粒度を細かくしている理論があるのである。
それを工学や物理に様々な箇所から側面支援するのに使える。

コマに関しては方程式が定まるまでとその解釈とをしっかり段階分離。
Kovalevskayaの解釈も解釈中身はこれからだが定性的なことは色々あるのだろう。
眠りゴマをシームレスにコワレフスカヤに移した時に条件を見たり慣性楕円体使う等。

ラグランジアンから開始したが、オイラーの剛体運動方程式。
I3 ωz' = (I1 - I2) ωx ωy + Nz。 Nは外部入力トルクこと、重力や接地点静摩擦力或いは磁界。
は解析力学的な最小作用運動方程式でもある。式を立てて同じ結果に至るはず。

先週は {x,y,z} = Ｃ{X,Y,Z} (|x>=Ｃ|X>)と動軸ベクトルxなどを静成分で表わせて、
{ωx,ωy,ωz} = Ｃ{ωX,ωY,ωZ} ともしたのだった。
{ωx,ωy,ωz} の別の求め方を学ぶ。というのは瞬間回転軸とθ'等との積和
というのが四元数と一回回転表現などに行くと意味を取れなくなるから。
より一般の方法の結果をθ'等ごとの線型表現にしたら前の求め方になっているとまとまる。

ベクトルは波括弧{}、行列は角括弧[](略時有)。今週は縦ベクトル|>と横ベクトル<|も。
小文字の動座標系と大文字の静座標系。基本的には動座標系の量を静座標系で表す話。

回転系の考察。任意の空間ベクトルをLとする。Lは回転系の上にある量である。
(Lの時間微分の静系での成分表示) = (Lの時間微分の動系での成分表示) + ω×L　= () + [ω] L
は承認する。
ω=z=Z軸、L=x(動系では定数)とすると合ってはいる。()の部分は今興味ない。
外積の行列化 [ω] = {{0,-ω3,ω2},{ω3,0,-ω1},{-ω2,ω1,0}} を使ってる。
　
　
座標に関するよりセンシティブな方法を導入する。
5行上の式は d<X|[CT]|L>/dt = <x|dL/dt> + <x|[ω]|L>　☆と変わる。
説明しよう。

x座標基底で測定しているという意味を込めている。
右辺は動系が自己の動きを感知しない量で、dL/dtをxで測定することになる。
Lは(回転系の上にある量とはしているが)いささか抽象的な量で測定するまでその記述法も
定まらないような、基底を定めてから記述法が定まるような物。具体計算は3D内で
(<x|,<y|,<z|)があり、微分量である|dL/dt>と内積し座標数3つ組を与える、が右辺第1項。

左辺は、そもそもx系とX系は相当に方角がずれている。
それを回してから測定(実質は基底ベクトル並びと内積を取る形)をする。
そのために上のような式。Tは転置でもあり逆行列でもある(両者は同一)。

d<x|L>/dt = d<X|[CT]|L>/dt = <X'|[CT]|L> + <X|[CT]|L'> + <X|[CT]'|L> = 0 + <x|L'> + <x|[C][CT]'|L>

第1の等号は|x>=C|X> の転置で <x|=<X|CT。また|X>=CT|x> から最右では<X|=<x|C。
上の第1の等号の右は C^-1 |L>と座標を回して静系で見る量にしてからXと内積しようとしている。
Lを回してからX系基底と内積、Lをx系基底と内積、は同じ物。
時間性が無い範囲ではそれでいい。時間が入ると項が少し出る。Xは静止系だからX'=0。

そのLに付いて回す用の行列は<x|の変換から結合法則も適用にて供給されている。
これより前リプ下から10行目☆と比較し [ω] = [C][CT]'　がω求め方の結論。

ところでオイラー角行列Cについて転置が逆行列は3度の単純回転の合成であるということから或る意味自明。
Cの表記だけにした物から転置との積を計算もミスさえなければ単位行列に結果する筈だけれど。
先週の角速度ベクトルωがこちらの方法で再現されることは未確認だが略。
　
　
以上でコマでもトルクのある物でも四元数や一回回転表現でオイラー角不使用で
式を立て解を得ることまで出来るはずである。
論理を追ってやれば出来るはず。

まずはその角度表記法によるCまでを求め、Ｃからωを求め、
使われ方は、ラグランジアン・オイラー剛体方程式・キネマティック方程式の3通り。
ωまで分かっていればどれも書けるから。
宇宙工学と原子力解析(原子核の回転とMRIなど)用途、また地球の動きで地震解析にするから、
ここでなるべく具体を準備して来る。また来週ね。特殊関数バリバリの地震学を近日中。

さてオイラー角以外の候補は、一回回転表現と四元数がある。
なんだか四元数が定番ということになっていて、大勢敷居をまたげない状況になってるのは
どうなんだ。一回回転表現が合成は不便だが私はいいと思うが。
四元数はどこか隔絶感があってすぐ意味を見失って道に迷った感になってしまい易いのよね。

ところでここでまったり八元数トピをしよう。四元数なんか初等だと強がって学びやすくするために。
八元数の積は247, 375と覚える。他は自然収納。
実数同士、実数と虚数、同じ虚数同士の積は初等的。虚数の積は
ε(123)ijk + ε(145)ijk + ε(167)ijk + ε(247)ijk + ε(256)ijk + ε(346)ijk + ε(375)ijk

外部に出るべき添字のiかkかは巡回することで等しくなり同値。
7つの虚数。対角線を除き半分三角(7×7-7)/2で21個の積パターンがある。3巡回7つの合わせである。
145,167は123の並べ続きで、247と375を覚え他は昇順で正とすると全譜出せる。

結合法則の崩壊を見る。3つ組でない虚数を3つ取ると。
(1 4) 6 = 5 6 = 2
1 (4 6) = 1 3 = -2
この計算には1 6 = 7と7の関わる2つ以外の4つのεを使ってる。
　
　
戻ろう。キネマティック方程式と言うのがある。左辺がθ'等で右辺は時間微分を持たない項
で書かれる式。右辺はωx等は含む。
角運動量は保存し角速度ωは時間保存しないからωは時間変化する。
これはθφψから今しがたまでやっていた方法で再計算されて新しい時間ステップの値になる。

式の形を聞くだけでシミュレーション向けだもわかるね。
角運動量と角速度が本質的に一致していないは力学の有名な話。
特に宇宙機の異常回転や航空機のダッチロールなど、どんどん回っていくのを追いかけれる式。
オイラー角が変化して行くのを何秒後にθφψがどうなっているかわかる。
それを予測して噴射して立て直しの試み。

オイラー角についてはωx = f(θ',…)としたのを先週したから、その三元方程式をθ'等について
陽表示に解き直して得れる。
他の角表示法流儀の場合はまたコメントする。

四元数の基本的な関係式。四元数をp'=[p0,p]と書く。
[a0,a] [b0,b] = [a0 b0 - a･b, a0 b + b0 a + a×b]
a×bの所はi×j=kで全ての組合せがあってその線形和で得れるから。
　
　
四元数の基本的な計算。球関数相当特殊関数を四元数内に定めたいと思う。
([p0,p] [0,v]) [p0,-p]
= [- p･v, p0 v + p×v] [p0, -p]
= [(-p･v) p0 - (p0v+p×v)･(-p), (-p･v) (-p) + p0 (p0v+p×v) + p×(p0v+p×v)]
= [0, (p･v)p + p0^2 v + p0(p×v) + p0(p×v) + p×(p×v)]

p×(p×v) = (p･v)p - (p･p)v = (p･v)p + (p0^2-1) v を入れ
= [0, 2 (p･v) p + (2 p0^2 - 1) v + 2 p0 (p×v)]

回転用四元数が [p0, p] = [cosα, sinα n](α=χ/2) という式を入れる。
= [0, 2 sα^2 (n･v) n + (2 cα^2 - 1) v + 2 cα sα (n×v)]
= [0, (1 - cosχ) (n･v) n + cosχ v + sinχ (n×v)]
直交ではない。(n･v)n はvのn方向への射影。重要なのはここまで。
　
　
外積の時結合法則が成り立たなかった。四元数としては成立することを見る。
四元数の結合則を記号だけで迅速に言う、a'b'= d'= [d0,d] と置こう。

(a'b') c' = [d0c0-d･c, d0c+c0d+d×c]
= [(a0b0-a･b)c0 - (a0b+b0a+a×b)･c,　(a0b0-a･b)c + c0(a0b+b0a+a×b) + (a0b+b0a+a×b)×c]
= [a0b0c0-{a0b･c+b0c･a+c0a･b}-{abc}, {a0b0c+b0c0a+c0a0b}+{c0(a×b)+a0(b×c)+b0(a×c)} - (a･b)c + (a×b)×c]

上ではb0(a×c)以後が巡回対称ではないが、
そもそも巡回対称は不要でaとcについて左右対称なら演算の左右対称はあり結合則の成立である。
(地道にやっても同じ式が出るという意味)。
(a×b)×c=(a･c)b-(b･c)a、-+-と中央ベクトルを残すのだけ正。つまり-(a･b)cの付加で結合則は回復してる。

四元(数)解析って知っているだろうか。複素(数)解析のもじりである。
どうも四元数については-1の平方根が無限個あるという水準の話が多く
それ以上の構造は何？と思われている。ここでそれを述べよう。
これから話を作るようなことばかりで今日は本質的なこと。

三角関数という円を回るのに適した関数が既にあって複素解析で活躍した。
たまたま性質が一致していただけで本当に複素数の住人なのか？というのは
どうなんだろうと今も再検討されていいことである。
電気の振動だとか地震の地殻揺れとかは複素数の実存を表わしているのか否か。

ルジャンドル球面調和関数というのがある。四元数解析はまさにそのまま。
もう優秀な人ならこの一言から一つのゲージ理論クラスの理論作って来れるのでは。
　
　
球面調和関数は、学校で一番最初に触れるのは2s, 2p, 3dなどである。
これは確かに方向を峻別し虚数の間に違う役目を分配することが出来ている。
球面調和関数は最初に見える超幾何関数でもある。
それは3DのSphereSurfaceに制限されたラプラス作用素の固有関数系列。

四元数は4Dの超球面SuperSphereSurfaceに超幾何関数をはべらせて、
はべらせることが出来れば大学専門課程程度の数学にはすぐ成りそう。
超幾何関数の級数定義はΣ(k=0,∞) {(a+k)!(b+k)!x^k}/{(c+k)!k!}。
分子分母(2,1)型で、分子分母(m,n)型を一般超幾何関数という。

結局4次元で動く作用素を持って来てその固有関数を使って方向性解像度を上げる。
そこには特異点が動いて行ったり合流したり無限遠点やリー局所構造や
収束級数になりそうなのにニアミスを起こす漸近級数などが現れ、
力学のベッセル関数も、球面調和→超幾何→合流型→制限でベッセル
という形で抽象的に方向虚数に乗る。これらの現象を全部見ればできるわけ。
微分作用素は代数解析で代数幾何の特異点論もそこにつなぐ。

ニュートン力学→一般相対論→弦理論、と空間処理場の方法が進むと思う。
一般相対論を丁寧にやってみたい。するとあまり載っていない、量子的でない
古典力学型の弦理論が成立するのか、など判定が出来るようになりそう。

原子力は、相手はあまり動かない物であるし、こういうことをやって
いるうちに何とかなるだろう、と。
　
　
2つの項の和がうまく解を与える現象をここで最近よくやって来た。
そういう物はLとBという2つのx微分の微分演算子のラックス方程式
というのが式そのものを与えている。

一般相対論にはカー解以外にゲーデル、冨松佐藤などやはり特殊な解があり
系列を作っていることがある。これが可積分系なのだろうと、だが
そこまでは作れなかったのようなことが書いてある。
　
　
ニュートン力学と一般相対論でそれぞれの可積分系は対応するのだろうか。
KdV方程式を持ち上げた物は何だろうか。そもそもカー解をチェックしたことがない。

ということでこういうことをしばらくやって、一般相対論から落した物として
プリンキピアを見れるような視点を得よう。
おそらくこの方向は宇宙解も新しい物を出すと思う。
またラグランジュ点安定の逆で、共振とはまた別の不安定現象をプラズマに出すかもしれない。
　
　
それと、一般相対論で空間が曲がるけれど、どういう曲がり方をするかが導けると思う。
等価原理と大域的ニュートン性は、それを決めるだけの制約がある。
とするとその論理を明示に書き出すことはすべきこと。

ややこしいアインシュタイン方程式（隠ぺいされた変数でなくテンソル実体）は
複雑な解みたいな計算結果だ、とできれば話がまた進む。

制御工学で言うコントローラは、ビークル即ち、航空・電気鉄道・自動車また船の
振動の低減や破壊防ぎに数理的に直接証明されて有用である。橋や歩道橋(駅のコンコース
やビル間の連絡通路等)も乗り物のようなもの。
無造作に作った物は商品として質が低く、ビルの耐震や、イヤホンの音消しのような
リアルタイムで観測して、対抗制御を投入して、乗り心地を専用に提供物或いは
商品価値に仕上げる技術は現代で普通である。

外乱に有効な対抗制御を入れられる事実に、そうだなるほどと納得できる例示を
ここでしたいし、知識を持っていなかった者が学ぶと、直ぐに現物に応用して
自分の商品を向上させれるだろう。そういうまとめをしてみたい。

そこから建築機械やちょっとした人型ロボットがたわんでしなったりなど、幻滅して
しまうような機械っぽさを、たわんでしなったりがまるでないような、であって
使い易い形の動作物に換えることも出来る。

幻滅さの部分も、制御で対抗入力を入れる制御対象である。
建設機械は廃炉になるし。だからこだわって満足出来るまで作り込むことが有意味。
　
　
機械機器からエンジンに移ると、ロケットの現代化につながる内容があるだろう。
エンジン内には流体(反応性流体)が現れる。
流体にソリトンがあり、界面近くでは際立ち傾向になる。

当然、反応性流体でもソリトンを見て、有り得る形を見ておくことは必要で
そこの数理には可積分系がある。圧縮性・反応性・電磁・粉体・(フェルミ)の5流体シリーズ。
そこでのソリトン構成はとても思いつかないが、先に抽象形式を作ると自動で出る。

反応性流体をセンサと推定から管理する仕組みを作り、半世紀前のロケットから改善しよう。
ところで現時点の最適方法を仕上げ、流体性を落とせば建築のまた水力発電等の管理に。
逆に電磁気的なことを入れることで送電配電
というまた新たにするべきテーマ(流体場から電磁場へ)。

バイオもすべきなのだけれど(1月まで済で今は2-5月残)、
各分野の中級上級をつなぐことに今こだわっている。
数学の一級の研究結果もそういう手合いのことが多いから、上手く行けば何かは。

系統的な方法をつかむと新しい解セットが手に入って来る、というのは
このスレのここまで(に限らず一般の科学の文脈で)でも感じ取られていると思う。
ガウスの正17角形もそうだったね。
その系統的な方法を、可能な上限まで押さえに行きたいのである。

毎週新視点仕上がりなどとは到底行かないだろうが、現在進行形のことを
雑然書きにでもして他の同業研究者推進用にもしてみよう。
だから今日は以後は雑書き。感想や内心やあすなろパートが多くなろうの。
　
　
来週に航空カルマンフィルタをしてみようと予定している(早速あすなろ)。
理学系の人が工学系の文献の記述を読みこなせずついていけなくなることも多く、
そこのほぐしは重要と思っている。それを狙いつつするね。

教科書的にはリャプノフ・リッカチ・逆行列定理という制御工学の行列性質を使い
モデル(数理モデル)も不明な機械対象を、誤差とその共分散を想定して推定して
制御入力を決める。モデルの既知未知で様子が変わるのは統計学で知っていると思う。
分散と不偏分散があって、モデルが既知なら正規分布の分散で、未知ならt分布の不偏分散
というような話。制御の未知部の多い機械での話。

外乱や制御入力と観測と、何通りも誤差を入れ2次形式でとにかくこうコントロール
するんだとセンサ値に対する入力内容を決める式。
機械に数理モデルはわかりきらない。

カルマンという人は有名学者で航空本には必ずこの章があるような感じになっているが、
それを学習しプラント系に。読んで読み取れない本が多いが、難所解体して
どの本にもアプローチできるぜというような提供物になるといいな。

現代制御の可観測・可制御・可検出・可安定は基本性質である。
物理学の端の方で可観測・可制御・可検出・可安定はどうなっているか？
宇宙地平線の向こうや、アプローチに使うエネルギーが質量エネルギーを超えてしまう
クォーク以下の世界。ひもやブレーンではアプローチエネルギーが質量の何京倍。

見ることもアプローチも出来ないのに、存在していることは可能と
数理的なことが制御に似た感覚から言えるかもしれない。
しかし実は制御は線形代数に終始していて議論の水準が低い。物理の可観測を持ち込んで
可制御は双対操作と定義して、するとほしかった結論を得れるのかも。
物理の上限は不可観測で閉じているのかもしれない。温度上限なども。個人的には無関係派だが。
可観測の弱化である可検出は、制御から持ち出すと何だろう。
　
　
制御本ではブロック図や複素平面の軌跡など、どの本も大学の講義ノートの出版みたいで
重複していて興を惹く良トピックという点で少し弱いと思う。そこは構成を変えるべきで
抽象ではない具体的な機械構成の描写で、中における機構の現れ方を例示して学ぶ。

レギュレータで極を配置すると言う。共振周波数を変えて不安定入力だったものが安定入力
の一つでしか無いように安定体系に変えられる重要トピックなのに、
伝達関数の数理の話しかない。機械や建築でつまりこういうことだと数理の方を逆に隠す。

力学に戻りブーメランに付加機器を付けてマジックめいた動作をさせてみるという課題。
ドローンはやってる人が多いがこちらは居なくて面白いだろう。
人工衛星・人工惑星が希望軌道にあることを、制御問題と捉えて数理に当てはめる概念調整
をすることで、航行力学がもう一度揉まれよう。のんびり時間がかかるだけで制御である。
　
　
さて制御には行列の固有値から特異値、四元数、確率統計の中級理論援用、関数解析、流体
などの概念を直ぐに投入したくなる。そのまとめを押さえて定番扱い化に。

高階微分方程式を連立微分方程式に変えれる。力学のハミルトン形式が例。
するとやや難しい概念の連立微分方程式表現があるはず。文脈違うが2階微分方程式の確定特異点。

現場では残留物の取り出しが着々と(かどうか？さて)進んでいると言う。
こちらでは位相空間の方からやろう。手を替え品を替えで他のチームとも協力して
充実手法化狙い。こちらでも機械工学する。そのために位相から積み上げる。

大学1年のあの解析学が、向学者を弾くような複雑な論理は
抽象化すると位相になるとされる。我々の今年のテーマはニュートン力学であり
それは解析学の誕生をしらしめる分野でもあった。普通の発想として、すると
ニュートン力学や電磁気学を解析学を使って書き下すのではなく、
直結して位相空間扱いするというものがあろう。中間役を除くのである。

一応この思い付きに何か形があるかというのが動機。
物理で何々関数を使うのはあっても開集合によってという論理は少ないからと。
問題から回答付けれれば電磁気の記述が広がり電力になる。
唐突な投入は初等物理に位相の感性を入れてみたいからである。
　
　
そこから雑談で書いて膨らまして話を書いていける。
結構な書く内容がある。最近は中級数学の横のつながりを総合的につかんで
制御や統計や電気や分子生物にというのを目指していて、同ペースな進捗で
日曜はそこから思い付きを適当に文章化というスタイルで、最近やったり思ったことが
と、書けるので、かと言ってつながりのつかみが完成しているわけではなく
そのつかみには3-4か月かかりそうで、わりと適当に書き出す方向でしばし。

というのは、安定→ソリトンの問題→量子群←結び目、その裏側で
カオス→量子乱流のマクロ化で質量の案、
不安定は極が複素右半平面にある場合で、乱流を防止する制御の可能性。
制御では極を複数配置して動かすが、その物理版。
記述に出てくる関数の、位相から押さえる解析学表示。
ソリトンは多時間構成の数値計算アルゴリズムを表現する数学とつながる。

つながりが出来て形になる方が使い道はあるなというのは頷いてもらえると思う。

熱伝導　ut = uxx
バーガース　ut + u ux = uxx
ナビエストークスNS　ut + u ux = uxx - px

KdV　ut + u ux = uxxx
変形KdV　ut + u^2 ux = uxxx

今日は熱伝導、バーガース、ナビエストークス、KdV、変形KdVをする。
ナビエストークスNS以外は非常に容易に解かれその解説。
多ソリトンKdVのベックルント構成、多次元KdVのKP階層構成、
戸田格子に相互作用を入れて各KdVを連続極限導出などはまた。
代表っぽく見えているがこれだけではない。超対称素粒子物理のサイバーグウィッテン解も
可積分系であり、そういう難しい系の方を理論形式にて抑え込んだり
コワレフスカヤ階層、サイバーグウィッテン階層などとして上に発展させる方向を目指す。

プラズマと真空管工学には登場して電磁気の自由系でも重要である。
uxxは拡散現象で、NSは圧力作用の項を拡散と別に足した物。

バーガースを解析的に解いた上で、圧力項を少しずつ入れて
乱流遷移の場所がどこにあるか、何を介入できるか、などは
機械工、航空工、プラント工の研究テーマ。
素人でも手持ちのパソコンでその研究ができるはず。
　
　
uやφを場の量としてtとxを変数とする。微分は右下に単に書いて表す。
φが多いが個人的にφより簡便にuvを使う。タイプも楽だし。
uxxは多次元では△uと書かれる。KdV系3階多次元は2階ほど明らかではない。

熱伝導方程式 ut = uxxの意味。拡散一般であり最初が熱力学だからの名。
放物線の底などでuxxは正の量。式は微小時間後への変化がuxxと主張する。
つまり周囲より低濃度の所は微小時間後に値が増大するような働きを受ける。
ゆえに拡散でありなだらか化な緩和過程のニュアンスが見れた。

シュレーディンガー方程式は i ut = uxx。
導出は、E = (1/2m) p^2 というエネルギーの式に、E u = p^2 u と
作用素と作用空間の含みを入れた式にして、置換 E=-i∂t、p=i∂xをする。
置換の心は u = exp{i (E t - p x)} と想定しその場合なら等値。
u波動型の仮定と作用という思想から出す式だが形は熱伝導の虚数版。

バーガースとKdVも良く似ている。右辺が2階と3階の違いだけ。
本当はそこにexp(∂/∂x) uがあり、基本部分と最初の非自明部分と解釈する。
戸田物理の発想の起源。

KdVの解析解はソリトンだが衝撃波とは関係するか。衝撃波の第一近似はソリトン。
しかしその先は今だにわからない。さらに精密化できれば航空工学に使えて
技術的進展を期待できるため鋭意研究されている。みんなも読んで
自分なりの先のことを考えて貢献してくれれば航空宇宙も進むだろう。

またこの分野の微分方程式の式変形をする。それらをもう一度集めて分析すると
新しい特殊関数が取り出され何種類かのパンルヴェとなる。
　
　
熱伝導方程式の解→。u(t,x) = t^-1/2 exp(a t^-1 (x-x0)^2)。
uに関して線形なので初期値についての重ね合わせ。
uとして基本解のデルタ関数の場合だけを説明すれば十分。
上記はu(0,x) = δ(x-x0)からの時間発展解。検算して確認しよう。

適宜x-x0=cやt^-1=τと置いて見易く。微分に使う変数だけ間違えなければok。
aがカチッと定まれば実際に解だったと言ってよいだろう。
ux = 2 a τ c u　(せめてここまでは素人でも把握。指数関数の中を微分して前に出してる)
uxx = 2 a τ (u + c 2 a τ c u) = a τ (2 + 4 a τ c^2) u

ut = -1/2 τ u - a τ^2 c^2 u = -τ (1/2 + a τ c^2) u
a = -1/4とすればいいはずで実際その時τ (-1/2 + 1/4 τ c^2) u
解になっていることはこれで確認出来た。

バーガース方程式の解→。ut = uxxの解uを使い v(t,x) = a (log u)x = a ux/u。
同じく検算だけしてaが納得レベルで綺麗に決まることを見る。
vt = {a(log u)x}t = a (log u)tx = a (ut/u)x

- v vx + vxx = (-1/2 v^2 + vx)x = [-a^2/2 ux^2/u^2 + a {(uxx u - ux^2)/u^2}]x
a=-2とするとux^2の項が消える。 = -2 (uxx /u)x
uの仮定から3行上と一致していて検算出来た。
　
　
変形KdV方程式の解→。u(t,x) = 1/cosh(x-t)
双曲線関数はsinhとcosh。sとcと略す。s'=c、c'=s、c^2-s^2=1。
ux = - s/c^2
u^2 ux = - s/c^4 = - s(cc-ss)/c^4
ut = s/c^2

uxx = (2ss-cc)/c^3
uxxx = -3s(2ss-cc)/c^4 + (4sc-2cs)c/c^4 = (-6sss+5scc)/c^4
これより
ut + 6u^2 ux + uxxx = {scc - 6s(cc-ss) + (-6sss+5scc)}/c^4 = 0
係数と符号の問題はuの事後(？)修整で。
　
　
KdV方程式の解→。変形KdVの解をuとして v = u^2 + ux。
u^2/2 → u ux → u uxx + ux^2 → ux uxx + u uxxx + 2ux uxx = u uxxx + 3ux uxx
繰り返しx微分を先に見た。さらに単に実直計算。

vt - 6v vx + vxxx = 2u ut + uxt - 6(u^2 + ux) (2u ux + uxx) + (2u uxxx + 6ux uxx + uxxxx)
= 2u ut + uxt - 12u^3 ux - 6u^2 uxx - 12u ux^2 + 2u uxxx + uxxxx

(∂x + 2 u) (ut - 6u^2 ux + uxxx) = utx + 2u ut - 12(u ux) ux - 6u^2 uxx - 12u^3 ux + uxxxx + 2u uxxx
両者は一致している。uが変形KdVの解ならvは(元祖)KdVの解である。

Lax形式という概念。
観測作用素L、時間発展作用素B、がありどの波にも使えるとする。
固有値λが時間保存する時どんな式が成り立つか。
以前のようにtによる微分を右下にtを書くだけで表す。
L φ = λ φ
B φ = φt
λt = 0

Lt φ = λ φt - L φt = λ (B φ) - L (B φ) = B L φ - L (B φ)
最右でλはスカラーなのだからBの内側に入りφとの関係でLに変われる。
φは任意なので Lt = B L - L B という式が状況を特徴付けている。
　
　
KdV方程式 ut + 6u ux + uxxx = 0。
後で解釈や工夫してくれればいいからここではuとφを使う。
L φ = φxx + u φ
B φ = 4 φxxx + 6 u φx + 3 ux φ

B (L φ) = 4 (φxx + u φ)xxx + 6 u (φxx + u φ)x + 3 ux (φxx + u φ)
L (B φ) = (4 φxxx + 6 u φx + 3 ux φ)xx + u (4 φxxx + 6 u φx + 3 ux φ)
引き算なので見え透いている所は始めから落として
上-下 = {4 (u φ)xxx + 6 u (φxx + u φ)x + 3 ux φxx} - {(6 u φx + 3 ux φ)xx + u (4 φxxx + 6 u φx)}

= {4 uxxx φ + 12 uxx φx + 12 ux φxx + 4 u φxxx + 6 u φxxx + 6 u ux φ + 6 u^2 φx + 3 ux φxx}
- {6 uxx φx + 12 ux φxx + 6 u φxxx + 3 uxxx φ + 6 uxx φx + 3 ux φxx + 4 u φxxx + 6 u^2 φx}

= uxxx φ + 6 u ux φ
最後の等号では消えて行って整理されることの確認を。
φの意味はここでは作用素が掛かっていく任意関数のはずだった。
全部φを外してしまい B L - L B = uxxx + 6 u ux。
戻りL = ∂x^2 + u。微分作用素は時不変。Lt = ut。よって上記に定義したLとBでLax形式はKdV方程式。
LとBの中を符号変えたりはあるが463はどの文献も同じでKdV系の時間。

変形KdVと元祖KdVがあり変形KdVの方は1/cosh(x-t)の微分方程式化で作られていた。
この解かれ方を見るとソリトンの代表であるKdVの解かれ方はAIが見つけて来れよう。
coshは中央が凹んで両脇で無限大になる関数で逆数は釣り鐘型の1つ。
その方程式はこうこう、その記述変数を使っての2次関数や何かの微分を足したものは
試行錯誤サーチと数値計算を内部で確認的に使えて元祖KdVの解析解にまで辿り着ける。

変形は関数志向、元祖は式形志向、二段階あったことも啓発的。
そういうシステムを作り、四階でさらに難しくなってるKP方程式を解かせたり、
解がウェーブレットになる方程式を作り、などでAI数学の一つの分野が出来る。
そのシステムは非線形の波よりも問題がさらに難しい一般相対論の解探索に使える。
また統計力学の様々な問題がある。解ける突入点がいくつもあるだろう。

ちなみにut = uxは波動方程式。utt = uxx + sin(u)はサインゴルドン方程式。
単振り子が連なっている時にサインゴルドンが現れるとあった。
物質において場の理論では「各時空点」でこの力学が現れ、調和振動子として
素粒子の生成演算子を導くのが場の量子論な所が、サインゴルドンやKdVがそこであると
より複雑になり、通常の素粒子描像ではない理論が構築できる。
すると深い基礎理論はそういう形になっている場合あるかもしれないしまた
陽子や中間子など複合粒子の生成消滅場の量子論という分野で使える可能性が多いにある。
基礎でも応用でも可能性を持つのが数理物理のようである。
　
　
話題トピックとして基礎と応用における乱流の可能性を先に述べる。
プラズマにおいて乱流のために電気伝導係数と熱伝導係数がかなり増大する。
乱流が無いときは位置が定まって気体型をした固体のような状態だが、乱流では
本質的に動き回り、担体輸送する。これは応用の話題。
定性的に語られるだけの、この現象に数理で正確な数値を当てて、乱流度合いを調整
したりの工学が作れるといいだろう。

基礎物理において質量の起源が同じ可能性があるとされる。

KdVと流体を比べる時、KdVは次々と解析化しているが、ナビエストークスは難しいまま。
ここで啓発的に戦略が誘導され、ナビエストークス現象の傍まで行けるバーガースは
解かれるのだから、解けるような変形ナビエストークスを作ったらという案。

Lax形式により何らかの時間性の方向で、L作用素の固有値は保存し保存量である。
項や数式の形を投入して試行錯誤するシステムを作り、Lax形式に則るという制約を守りつつ
バーガースに項を増やして行く。いざその路線を決めれば、何項も入れてナビエストークス
の相当の近似が出来ると思う。それは流体をよく表しかつ可積分だろう。
個人的にも勉強系が一段落終わったら考察してみようと思う。ロケットとか超流動のために。
　
　
方程式の解と言ってもエネルギーで見ると色々な場合がある。
この視点で複合化していくことも、どの場合にも有用だろう。
方程式の解が求まった。最も高級な言葉では測地線軌道が求まった。それがエネルギーの谷
を辿って行き、少しの揺らぎに戻って来るものだという保証はどこにある？
求解時にそれを考慮に入れていないから何も保証されない。
エネルギーでは谷底が望ましいが、一方向に落ちる踊り場の時もあり
尾根道化して両側に落ちるようになっている場合もある。

そもそも乱流は、ナビエストークスのパラメータ値により、エネルギーでは
谷底型が尾根道型に変わるために起きるとされている。
変形ナビエストークスでそれを示せるだけで結構いいだろう。
いつかオリジナルと主客入れ替わる理論につながるかもしれない。
もともと宇宙の発生も乱流の尾根道型化と同じである。その条件置き。

さてこの戦略では乱流も可積分性を保ったまま、解のエネルギー構造の変化で表現されている。
ナビエストークスの乱流が相対化される。どの方程式の乱流かが雰囲気にも表れる。
そこまで出来れば実用もあろう。くだんの賞金問題も、本物は解けなくても
かなり近い近似で解の定性的なことは全部証明されましたとなるかもしれない。
過冷却や過飽和のようなレイノルズ数を動かす工学の手がかり。

基礎の話をしよう。基礎化学(これはプロセスビッグデータ)もするが基礎物理。
乱流が起きると抵抗が発生する。量子やさらには虚数空間で乱流が起きていること
になっているという設定は、素粒子の質量を与えるに十分な過程である。
結論としてはそういうことで、まず実在乱流には音がする。
乱流を全く発生させずに飛ぶ航空機があれば音がしないはずである。

その音の発生は抵抗の発生と読める。多分。枠組みが定まったら証明していく問題。
量子性により実際に起きている物が丸まる。
流れは虚数方向にあるのだ、というのも界隈ではありがちな話。
そんな状況でも統計量は、実数世界の理論を流用した値であるのもあるともないとも
言えないが、理論の論理の筋としては想定される。
　
　
基礎物理にその過程があり読み取ると、ラグランジアン質量になる。
これならそれが、ファインマングラフの計算などで求まらなかったのが理解できる。
素粒子の質量がこれまでわからなかったのは、どこかに何かの乱流があって
マクロ値化する様子として見なかったからだと思う。

諸乱流がマクロ量化する様子を、数理としてうまくつかんで求めればよく
それを想定乱流に適用すればよいとなる。
確かに乱流には規則があるはずなのである。コルモゴロフ-5/3乗則というような話が
教科書には出て来るが、自動車でも航空でも発電所の各プロフェッショナルでも
計測からこうだと決めつけて実際に信頼運用をしている。

質量もこうして乱流性から発生するマクロ値抵抗と思う。
　
　
我々の設定では乱流も可積分系で近づいて行って表わすし、離散版である戸田理論
では自由なリーゲージ群を乗せる余地がある。すると質量がSU(2)やE系のゲージ群の
表現粒子の物であっても発生させられる。
ヒッグスとの乱流的な反応があるのだろうか。それとももう少し展開した先にあるものか。
ひもから現象論を出す指向性が一つ増えたと言うべきだろう。

これはまだ出来ていないし教科書でそういう視点で書いても無いが
KdVではラックス形式のLとBが、ネーターの保存量演算子なのではと
つかみのそのアイデアは自然と思わせる。現実に保存量をソリトンで具体化してない。

コワレフスカヤには保存量があった。KdVには方程式と解析解があった。
アーノルドの定理は、解析解があること⇔保存量があること。
ネーターの定理は、保存量があること⇔連続変形で不変という対称性があること。
　
　
見えてきてる？言いたいこと(読者に話し掛けてる件)。

系記述用パラメータの連続変化は微分作用素の言葉で書かれる。
即ち位置、温度、電磁荷、それらの微分作用素、さらにそれらの多項式や
関数の引数に任意に取らせたもので書き得る全体、が連続変化を一つずつ書く。

全ての連続変形には、微分作用素の或る多項式関数による表現が一つ対応する。
　
　
初等的にx ∂y - y ∂xは、z軸回りの回転に対応する微分作用素含み多項式。
KdVのLとBはまさに微分作用素の或る多項式の形をしていた。
場合によってはcos(x^2 ∂x)のように微分作用素が関数の中に入っている時も。

以上の思考材料をまとめると、KdVにはある連続変形で不変な対称性が
その解に対してみられるだろう。それは冒頭段落からはLとBの何かの可能性が高い。
KdVでは時間が変なのだったのであり定理をつないで求めなければいけない
ものになるのかもしれない。

一方時間が変であることを許容するのでアルゴリズムという数理が
物理のような顔をして微分作用素による分析を受けることが可能になる。
コワレフスカヤのラックス形式は、定理のつなぎを整理したら簡便導出が見えるだろう。
すると晴れて可積分系の一員と見れる。その方法で多くを扱うことで教程水準の話でも広がる。
数か月前にやった逆二乗重力系のレンツ、ラグランジュ点、冨松佐藤、イジング類のもか。

@dabosuke__

非常に残念なことに福島県白河市表郷でまた猫ちゃんの虐待がありました。

今年の春で推定18歳になったばかりの穏やかなおばあちゃん猫だそうです。
地域猫として長らくお世話していた方たちがここ数日姿が見えないことを心配し探したところ、亡くなっているのを発見しました。

草刈機や鎌のような鋭利なもので背骨も内臓も見えるくらい切られ草むらに遺棄されていました。

前々から猫ちゃんのご飯が投げ捨てられたりお水をひっくり返されたりしていたようですが、犯人の目星はついていたものの、近隣トラブルをたびたび起こすタイプの家族のようで報復が怖くて注意したり話し合ったりはできなかったようです。

今回犠牲になった猫ちゃんはもともとは飼い猫でしたが飼い主に置いていかれ、そのまま地域猫として見守られていたそうです。

最初から最後まで、人間によって苦しめられました。非常に不快。

警察に相談はしたそうですが反応的にとくに動いてはくれなさそうとのこと。
当方からも各関係機関に連絡を入れようと思います。
深夜の迷惑行為で該当宅とトラブルになったことがある方が一生懸命お世話をしていた子らしく、糞尿被害等その猫ちゃんから何かをされて恨みがあってということではなく完全にお世話していた方への嫌がらせとしてやったのではないかなと感じる状況でした。

https://x.com/dabosuke__/status/2070044500349919549

ホモロジー代数ってのをやってみようと思う。意義は途中どこかに。
微分方程式の解が作っている構造をトップダウン側の視点から見るということかな。
界隈で超幾何・パンルヴェ・保型の正則領域で成り立つ連接層について
導来圏をスペクトル系列で解体してどうのこうのと言うが、これを脱掛け声・形にして
ニュートン力学化を目論む。読者を置いていかない解説をする。

我々の考えるのは関数の為す集合である。これをぼんやりと粗視化して
内部構造を見なくしてしまって、其処に土団子程度のカタマリがある程度に読む。
共通して使う性質。関数を集めた物はアーベル群の構造を持つ(8行下)。
重力場の微分方程式の解が宇宙なのだし、時空でも何でもこの文脈に掛かる。
　
　
入門の典型は、点を複数指定して其処で特異性を持たない有理関数全体の集合。
有理関数は因数分解されるが、該当点aに対する(x-a)^-1因子を持たなければいい。
有限領域以外では値が0の関数とか、逆に全領域で微分可能な関数とか
無限遠の両側から同じ値に来るとか。幾つもの変形趣向がある。

そのような通常の集め方（特異性の少ない側という）をした関数の集合について、
fとgがそうならf+gもそうだろうし、0も入ってる、-fも入ってる。
f+gはg+f。自明なようなこの和の可換性をアーベル性と呼ぶ。

和で書いてるから連想ゲームしてしまって自明な気がするだけのもので
抽象公理と適用対象の想定で抽象だけを先に整備する立場だから、
積や何だかわからない後から指定するつもりの演算と書くと連想ゲームをしない。
　
　
関数の集合をぼんやり粗視化する。次に準同型写像を入れる。
ここだけ注記するが我々の群の要素実体は関数なのだけれどその思いも捨てる。そして。

準同型は関数の集合から関数の集合への写像という、メタ性を帯びているもの
なのだけれど、取り立てて言うことのないメタから通常に落とした関数と思う。
構造物を点と思考や形式の中で格下げに置き換えながら先に進むということだね。

設定は、x+yなどで閉じている群Gなどと、その間の準同型写像fなど。
記号の抽象性・関数性をこのように１ランク落としてから開始する。

準同型写像とは線形写像のこと。演算が一個だけなのでスカラーも無く
f(x+y) = f(x)+f(y)
+と書いている演算は抽象物で他で置き換えられる。和の行き先は行き先の和が標語。
言っている通りxとyは関数でfはメタ関数(準同型写像)である。

関数を素朴に集めて来たらこのようなことは成り立っているだろう。
関数の和は普通は、任意の引数sについてx(s)+y(s)=z(s)となるような新関数z。
普通に集めて来たらそのzでもそういう性質が成り立っている内容を明記している。
関数の集合から関数の集合への写像は、演算一つを前後どちらでしても同じ値に
なるような写像だけを考察する。
この辺で心に混乱が起きているだろうが構造を格下げして点化して、また
余計な疑問を探そうとしないで性質の間の約束を動かしていくのだなと受け入れることがこつ。
（混乱とは準同型写像とは足し算等の演算ではないのか…だろう。そうどこか別の空間等へのマップで演算ではない）

(関数の為すアーベル)群と準同型写像を大量に集めて動かすのがホモロジー代数である。
　
　
もう一つの重要な例は多面体である。
四面体をイメージして点・直線・面・体胞の４段階次元の物それぞれが個別にあると見る。
各対象から整数Ｚへの写像がある。通常の意味では１か土俵から消えた０か向きが逆な−１
だけだが任意整数を値にとる写像。
するとそのような写像同士は足し算ができる。

各対象を引数とし引数毎に整数を返す写像。これが（考察している群の）要素である。

境界準同型写像というのを定義する。∂(でる)と名付け、△ABCに対しAB+BC+CA。
その意味は、∂は写像に写像を対応させるメタ写像だが、∂(f)=gと書く場合、
f(△ABC)=aなら、g(AB)=++a g(BC)=++a g(CA)=++a。
g(AB)の値はこれだけではなく別の所から来てそれらの総和になっている。

特異点や関数の有界性の話と、多面体の話。以上で２系統方面を出した。
ここから抽象化が何段階も進むが、先へ進まないでも使えそうを感じ取れればいいな。
そして此処までの抽象世界への入り方の部分は了解して貰えたと思う。

想像するだろう通り解領域の多面体近似やそこからの構造判定をして解解析をする。
楕円関数が解なら複素数に埋込準同型するとトーラスと位相的同型の計算。
楕円関数はコマ解である。単振子・球面振子というのもある。コワレフスカヤとラグランジュ点は超楕円。
近似であるからサンプル点を取って乱数からその「形」をシミュレーションで数値計算同定が可能。
有限要素法の中級理論にも出て来る。

これが微分方程式の話をしていてこんな代数が出てくる理由。
より物理に近い分野では超幾何関数のこの辺の手法による記法を近日中に。
すると摂動や鞍部点法などでもちょうどその場合に落ちて来る題材例が増え力学用に。
解析方面と幾何方面という感じの２系統の出し方である。
　
　
ところで丸で話変わるが重力場の方程式は非線形である。バーガースやKdVも非線形だった。
uが未知関数で、u uxはuについて2次で、或るuが方程式の解でも、その定数倍が解とは言えない。
それは或る項についてはa倍、他の項にはa^2倍等となって等式には辻褄が合わなくなるから。

しかし非線形方程式にも保存量か、もっと一般に時間とは限らない連続変形で
不変な量が存在する時に解がある。そんなニュアンスの総合的には未完成の
定理と理論体系があるのだった。先日までやったことである。

我々は線形をやって其処からの変形で、解ける非線形の数式集一式を得る方向を想定している。

即ち熱伝導からバーガースや変形KdVからKdVの変数変換。
其処にあった線形から或いは別の非線形からの変換による解明法。
整備されたホモロジー代数からの変換は、変換先に解の新性質を出せる可能性が高いだろう。

これが今回ホモロジー代数なわけだが、（抽象化と果実採りの）先は長いから進めよう。
文脈的に必要感でちょっとこんな話を始めてるわけなのだ。

中身の実際に入って行ってみる。個人的には調べ直さなければいけないが
少しでも書いて置く方が復習の回数が増えいいだろう。
様々な設定で(関数の)可換群が大量に作られることがわかった。そこから始める。

f:X→Yを可換群Xから可換群Yへの準同型写像とする。
Yの部分集合であるim(f)を、Xの元の像の全部の集まり。
Xの部分集合であるker(f)を、fでYの0元に行く全体の集まり。

直ぐ上でkerとimを意味で定義したが、意味を捨てて矢印のこういう関係が
あるという性質で特定されるようなXなりYなりの部分集合だ、
という言い方がある。もちろん其処までする。もっと先までする。
随伴だとかいうんである。段階を踏んでするけれど。抽象の階層がある。
　
　
整数で添字付けられる可換群の系列で隣接間には準同型写像が存在しているとする。
X(n-1)→X(n)→X(n+1)→X(n+2)→
f(n): X(n)→X(n+1)
fの添字は写像元の方の対象に合わせるのが流儀である。

すると何回もfを辿り番号を進めて行くことが出来る。
X(n)の要素はf(n)さらにf(n+1)を課すると全てX(n+2)の0元になるような性質。
この性質があるとき系列を複体と言う。

多面体の∂で△ABC→AB+BC+CA→(A-B)+(B-C)+(C-A)。
基底についてこういう写し方をしそれに関数的整数値を取らせた物。
ここでは基底が本質的に消えてしまい∂で構成される構造は複体である。

複体のときim(f(n-1))⊂ker(f(n))⊂X(n)。
なぜなら左からf(n-1)で来た物は次のf(n)で0に行く。この論理を集合で表記
したものが⊂という包含表記だから。

このときim(f(n-1))はker(f(n))の部分可換群であり、そのとき商可換群というのを
作ることが出来る。H(n,X,Z) = ker(f(n))/im(f(n-1)) と書いて
複体XのZ係数n次コホモロジー群と言う。Zは整数の意味。
多面体の時∂は添字が降りる方で添字の方向性によりホモロジー群と言う。

商可換群とは。部分可換群B⊂Aに対して、
Aを x+B = {x+b| b∈B}という形(x∈A)の部分集合の重なりの無い合併と書くことが出来る。
∵)
x∈Aの全部を取ればいいからAの一部が埋まらないことは無い。
y,z∈(x+B)について、z=x+b' = x+b+(b'-b)∈(y+B)。bとb'はy,zに対応して取ったとして。
少しでも重なりがあれば同じグループになることは、上の行から重なりの中にyを取り
他のはy+Bの中に入る。またy+Bの任意の他の元も構成の中であって抜け落ちる状況は無い。□

集合x+Bと集合y+Bに和x+y+Bと定義する。これはきちんと定義されている。
∵)
x+Bの代わりにx'+Bのような書かれ方をするとxとx'の差はBの要素。
すると和の形式にしたときおまけで包括的にするBに吸われてx+y+Bとx'+y+Bは同じ物になっている。□
以上で集合を元、集合と集合についての和演算。これで商可換群と呼ぶべきものが存在している。
　
　
短完全系列。0→X→Y→Z→0。
XYZ0どれも可換群とする。0は0だけの物。
左からのimと右へのkerが何処にても一致しているとする。
im⊂kerは複体だが、im=kerを完全と言う。

次のような設定があり標準的である。本当は今日これの元追いかけ証明を書こうと思って用意
したが説明までになった。係数(多面体の場合関数の行先に相当した物)が整数である記載は省略する。
各可換群X等に標準的な分解展開列があり(多面体の場合を思えば何かありそうはわかる)
それは上の意味のコホモロジー群またはホモロジー群の形状を取り、
一方任意の3つの可換群で短完全列を満たすものに、H(n,X)→H(n,Y)→H(n,Z)→H(n+1,X)→という
無限に続く3×∞の形の写像図が作られる。という内容。調べ直しも加えて来週。

重点の置き方が散ってつかめて居ない人もいるかもしれない。
わりと一つの世界なのでそこ一言述べよう。
微分方程式の解き方を広げる。まずその一言。
その技術の向上が外界をより良くつかむのに役立つのである。
囲碁将棋がそれなりの世界があるようにここにも世界がある。
延々と書いていくことで力学の補填と素養向上に。

では本論。超幾何とスペクトル系列が今の興味。
とは言ってもあれをしたいはあるもののあまり準備が出来ていない。
そこでこういう関連でを書いてまた出来次第著して行きたい。
どの個別テーマも似たような方向性を持って進むものだし
一週に高々数リプなので読み切ってほしいとは思う。
日本人つつき的な(らしく用に)、ほかの人は理解していますよ。
　
　
今年のテーマ化してるのでこれが多いが、技術的なことも
ちょこちょこしているのでまた順番が来たらで。
まあ大学3年ぐらいの物理の知識がある方がわかり良いかもしれない。
が、もうわりと長いし読者も何回かは学ぼうと努力して
結構どの人も途中まではかじっているのではないかと想定している。
　
　
可積分系は力学の新しい捉え方だった(それまでの最新はハミルトンヤコビ)。
擬似時間のパラメタでそちら方向へ作用素固有値が保存されている。
もう一個パラメタを入れるのも普通で(西欧数理にあるパラメタ数2倍化−古くは複素数)
そのときLax方程式は、Codazzi方程式という形を取り、
系の解空間は代数曲面となる。
代数曲面という語には語弊があり単なる曲面と言った方がいいが
言葉には含みがあり連想される手法がほとんど登場すると言える。
即ち力学からの高級な数理は代数幾何学化され物理学を精密化する。

超幾何関数というのをやってみる。
きちんと書くことも可能だろうが逆にざっくりとした言い方を。
ガウスがこだわったものである。
何回か出入りしているうちに結局は仕上がる。
ざっくりした言い方だからあえてp-1をpと書いたりする。見易さ入門し易さ重視。

よく悪口を言う人がいるがそういうものではないと思う。大学教程からも減ったらしい。
方程式が解けるということの精密化した形態を与えている。
我々は様々な太陽系力学や幾多の摂動計算の手法や可積分系の近辺の現象が
超幾何関数だらけという形状を構築したいと思う。
そういう数理になったらニュートンも驚くだろう。

階乗のガンマ関数Γは知っていよう。
ベータ関数Βは知ってる？２変数関数でΒ(x,y) = Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y)。
Β(x,y) = ∫[0,1] t^x (1-t)^y dt
　
　
以上で原点の物が出た。この計算とかすべきなんだが先へ進む。
超幾何関数は３通りの導入がある。また合流型と通常のと２種類がある。

微分方程式の解として。
合流型。 (x+a) y'' + x y' + f(x) y = 0
超幾何。 (x+a)(x+b) y'' + x y' + f(x) y = 0

f(x)の所が単なる数のが望ましいが、ベッセル関数では(1-a/x^2)がそこにある。
ベッセルとエルミートは合流型の一種だが形が違い、2乗をも使う式で標準化される。
エルミートは調和振動子の解であり、調和振動子の昇降がより一般の文脈に入れると
何によって起きているかつかめるだろう。

ルジャンドルは上の超幾何のそのままの形をしている。
但しわずかに違い1/2倍を使う変形がある。

超幾何関数は積分を使う導入がある。
F(a1,a2,a3) = ∫[0,1] (t-p1)^a1 (t-p2)^a2 (t-p3)^a3 dt
Β関数の積分表示を中を3つにしている。
p1,p2,p3点は何か特異性の考察点になりそうな見かけをしている。
関数読みにするためにa1,a2,a3をパラメータ待遇に追いやり、xを一か所に入れてその関数。

また階乗を使う項の和の形がある。
F(a,b,c,x) = Σ[k=0,∞] Γ(a+k)Γ(b+k)/Γ(c+k) x^k/Γ(k)
右辺は階乗だらけ。テイラー展開に近い。右辺がかなり何でもこなせる一般の形なので、他の関数が-1倍や2乗などで符号を調整したり
しながら超幾何関数系へ標準化されてくる。その整理表もまたする。

このように３通りの導入をされ統合された何か。Β関数の２を３にしたもの。
実際に調べると特異点周辺で起きる現象も独特。振り子の楕円関数が入る。Γ関数の積分上端を有限値に変えたものが入る。
　
　
Pochhammer(ポホハンマー)の積分というのをやっておく。∫[t=0,1] dtの計算に使う。
被積分関数は√tというのもある。根号の符号などはもっと複雑にもなる。
どう人為を排して計算法を決めておけるかという処方である。

教科書には(0-,1+,0+,1-)という記号が登場する。
これは複素数の中で0の少し左から、0を時計に半分回り、実軸とクロスして1の虚下方に向かう
1を反時計に回り、そのまま上を通り戻り、0も反時計に、クロスしながら1の虚上方に向かい、1を時計に、
そのまま下を通り、0に戻り閉じるという閉曲線において、
線素(a dt+ b du, u=it)との積を、無限小化しながら足す、という演算。

根号性のために被積分関数が0や1の周辺で一周回っても1ではない効果が残るの問題、どうなっているか。
であるが、まず上の閉曲線はその効果を持ちながらの0→1の2往復と、01周辺の一周分因子少しの効果だけ
、となり他は膨らみを01線分への極限取る時に0。

01区間を4回動く和は、{1 - c(1) + c(1) c(0) - c(0)} ∫[0,1] f dt
実際それだけの因子を掛けられてから動いている。また1と0で+と-で因子分は曲線を閉じるとき消去されている。
即ち積分値は、上の線積分を{}で割ったもの。

1次分数変換ってあるよね。どうして重視されてるのと思う？
まず計算をしよう。
F(x) = (ax+b)/(cx+d) という関数があり合成、先にefghの方をする。

[abcd] ([efgh] x) = [a {(ex+f)/(gx+h)} + b] / [c {(ex+f)/(gx+h)} + d]
= [a(ex+f) + b(gx+h)] / [c(ex+f) + d(gx+h)]
= {(ae+bg)x + af+bh} / {(ce+dg)x + cf+dh}

行列の積は
|a b| |e f| = |ae+bg　af+bh|
|c d| |g h| = |ce+dg　cf+dh|

有理数での関数合成は、行列の積と対応してる。
なぜ線形代数がこの計算を取得しているのか。もう一言欲しいが。
非自明なこの関係に注目して、相互行き来して数理が展開されるように成った。
c=d=0では∞で複素数なら無限遠点こと0の逆数も入れて行列論で解釈を刻む方法がある。
ジョルダン標準形や正規化など。現象を考察する時の道具にして置いてほしい。

22行列だけなの？違うんだな。3より多いのも長方形も可能。但し数ではなく
上のは(ax+b):(cx+d)という比を素対象とする世界と見なしさらに数に射影したもの。
比その物に思えばさらに多変数も行ける。
　
　
さて複素数の時点で順序が無くなるが、上のは無限遠点が入ったり比そのものが
数を拡張した場所に入って数的な感じが薄くなって行ってしまったり。
同じく複素数は数ではないのかもしれないともう一度疑ってもいいと思う。

代数方程式を閉じさせて行くと複素数が現れる。どの問題設定も、ある土俵に
おいてここが一段落とまとまった形を見せる。方程式においては其処だった。
リー群、無限次元リー群、(偏)微分方程式においては？それが複素数とはまた
違った感じで構成されている本リプ前半部のような美の世界の可能性はあるよね。

超幾何関数の良質な棲息空間はグラスマン多様体(即説明)だという主張がある。
通常は或る空間の点からの写像で関数とするが、或る空間の直線や平面などの平坦系
の物に値を対応させる写像が本来的な超幾何関数の落ち着き型で。

概念の仕上がりの決定版場所は何処なのかということ。
数学から哲学に戻っているようだが。場所と概念は相互を引き合う。
８元数(場所)と親和する概念や、量子群に親和する場所などの目標意識で探す。

逆に多くの問題を持って来て、概念の自己運動(また哲学)を見つめて容易再現にまとめる。
そういうことが出来れば、またその流儀をこれまでのをAIに教えれば、
新しいものについてまとめてくれると思う。
　
　
関数の引数は数だったのが、直線や平面だと本リプ先頭では書いてある。
専門家の共通の感覚でそう至るそうなので信じるとしよう。
元々多変数関数は数の組もしくはレコードで、数なのかな？と数性が崩れて来ているし
そこにベクトル空間が代替して入って来て、図形だよなに成っているし。

さて超幾何には３通りの定義法が与えられていた。微分方程式から、積分表示から、
級数表示から、それぞれを２変数版を試みることは出来る。
その間の相互変換と積分経路等の問題、仕上がりまでは行けそうだよね。
しかし未完だと言う。二変数不完全ガンマって何だろう。そのメリン変換のゼータ。
有志に挑戦してもらい途中に見つかる道具を使おう案。
二変数になると位相幾何とか岡理論を包含しなきゃいけないからね。
特異点も確定特異点という水準のから分類しきれない？散乱に関係する。
　
　
7/26分子生物、8/2プラズマソリトン、9スペクトル列、16スツルム、23と30原子力工学。
機械作りやIT型管理までプラント用を仕上げるつもりで上はおよその日程になると思うが。
短期交替に何分野も動かしてさまになるのから書いてく方法で、上の5つは半端ながら
始めている状況です。

7/26-8/9をバイオしようと思う。きちんと書ければ1回カウントだが
本人の活動としてはどの回も1回分くらいは裏でしてる。
分子生物の本を15冊も読むと、こんなものか、飛躍の種は結局あるのか
と展望として見えない思いになる。
それでもそういう時は遠くを見ないこなし志向で継続していくスタイル。

原子力の重要問題として健康問題があるからしなきゃいけない。
また一般公衆的な福祉増進は、そこから労働力が供給されてくるし
今疾患中の人には、間に合うかは判らないとしても善処はしていた形に、
逆にそういうのをてこにしてでも進めた方が一般的成果になる。等々。

9/6はアポロニウスを超える(二次曲線の初等幾何公理化)。
プラズマソリトンは結構余裕。力学はわりと易しい。その辺9月半ばに。
スツルムは直交多項式論用に。その回の時に素人に読めるようにする。
　
　
先週3リプ目で書こうと思って止めたことがあって、一言で言うと
地球→月移行軌道で中間で横切って8の字型に、地球反時計回りが
時計回りになって月周回に入る方法。これが3体問題8の字解で、
そういう可積分の眼で見ると今まで気づかなかった最適宇宙コースの
ネットワークが太陽系に見えると言う話題。

もし本当なら包括的に探して宇宙工学になるが、主張自体があやしいかも
しれないと思い、差し止めた状況。主張自体が無根拠かもしれないので
やはりお勧めはしないし、3体の8の字解って、停止している雰囲気に
見えるもので、動いていくものではないのではないかと。

それでも言葉は何かを探そうという起源になって、宇宙航行の特殊手法で
第一がフライバイ、第二が可積分系軌道、は言えると思った。
ラグランジュ点は使われて、それ以外にももっと深みのある系列があろうと
ブラックホールの諸解のようなまだ知られぬものが、力学にいくつもあろう。
ということを思って狙ってはいる。研究題材だろうとは思う。

分子生物では様々な手法があり啓蒙書的な科学解説では載らず知られていない場合
がある。専門的に学ぶことにより使えるものが色々あることに気づく。
ふむと思ったことを紹介し使える感を広めることに関与して行きたい。
その集積から技術を作れたりもするし薬までも一ステップ。
専門家は自分の目標に忙しくその技法が別文脈で統合的に使えることに
あまり相対的に興味を持たない。

DNAのシトシンとRNAのウラシル。相互変換する薬品がある。
工業的な過程で挟み込むことにより新しいことが出来るようになるだろう。
DNAを切ってRNAに変えてしまったり、RNAをDNAに変えて遺伝子に住み着かせてしまう。

有機化学は一般知識の大百科辞典ほどの分量があるけれどその生物化学版と言える。
即ちそれほど多くあれが出来てこれが出来てという、上限としては千もの技法があろう。
今はそこまでの数はまだなく百だろうが、実験化学者や学習者だけが知っている。
シトシン-ウラシル変換、そのポテンシャルの広範は想像に難くないではなく
想像に難いほどだと言い直せる。こんなのが多く転がっている分野である。
　
　
無論それが放射線障害をどう治せるのってのはぱっとはわからない。
技法化してその技法を成立させるものになった上で道具になる。
可能性のありそうな物を紹介することで無機性向の強い学者の人が、良く知らなかった
分野だが我々の感覚からはこうだ、と歩みを貢献してくれることもあるかもしれない。

遺伝子はヒストンというかたまりになるが、その結合分子をゆるめたり締めたり
特定の小分子を付ける技法もしくは薬品がある。これもどう役立つのか。
だが総合的な手法を成立させたり、自然ではないセレンみたいな物を適当に付けたり
して新しい中立的な可能性世界へ話を広げて行くことは可能に。
抗酸化生物？(とは限定しない)。
こんなのをより具象化して千を目標に可能性世界を広げるように書こうと思う。

基礎ばかり。でも出来上がる時は3技術ぐらいで医薬品になる。十分な土壌。
そこそこ内容があったので不満あるが今日のを2026-2バイオにしときますね。

ケプラーの結果により軌道は円錐曲線だがそれを構成する仮想構造を置いて
記述に役立てる。そこに実際に円錐があって力学を管理していると見なす。
正準位相空間の流れや正準集団、ポルホルド不変面にもあるような理論物理的な発想である。
どんな円錐がありその間の変換はどうで、制約をどう絡めればどう現象化の出現するか。
そもそもこういう物が実在だったとなるのがクォークや電磁ポテンシャルのいきさつ。

我々の原子力に抽象構成物を作り、後から実在だったとなると理論的。
だがそれは問題意識として脇に置いてギリシャの円錐曲線を初歩から学ぼう。
プリンキピアに何々なる円錐曲線を作図せよの問題が多くアプローチを取る意図も。
　
　
円錐△←を切断する。前後対称で横底辺をBC、上頂点をA。
切断面はAB間から斜め右下に入れる。これも普通は円錐の前後対称面でだけ見ればいい。
AB間でP点、BCまたはC側延長でM点、ACまたはA側延長でP''点、で交わる。
楕円の場合はC延長の方が、双曲線の場合はA延長の方が、出る。

交わり線（平面と円錐表面の共通部分）は既にそれらしい形がある。
P→M右下方向をX軸、前後奥行き方向をY軸、Pを原点とみなす。
以後曲線と呼ぶが、配置はいかにもな立体的である。前後対称。曲線奥側に点Qを取る。

前後対称面α、斜め切断平面β、高さがQと同じの水平面γ、この3つが出現している。
AB、AC、PM上で、高さがQと同じ所を、B' C' M'と名付ける。これらはQ点の取り方に依存する。
ここでM'は立体配位の3平面どれにも乗っている。立体配置性からの一意を思う。
Qとその前側対称点を結ぶ。その直線はγ平面とβ平面の交線でどちらにも乗る。中点はαにも乗る即ちM'でしかない。
またそこの角は直角。でPM'=x、QM'=yとすることの妥当性が構築された。

上から見ると1段目にA、2段目にP、3段目にB'C'M'Q、4段目にB C Mがある。
点Aを通る右下行きの直線をPMと平行に引き、BCとの交点をFとする。

円錐曲線は焦点、離心率、準線、通径という概念が出現する。
その取り方は円錐角度、AP距離、切断角度と、双曲線や楕円では反対の方から見る時、
という自由度があろう。これらに収穫が十分なほど性質を取ることが幾何学。

latus rectum直訳は方形長=通径が主役で、動かして行くことになる。
通径とは？焦点を横配置の時、焦点横位置での縦座標値。この性質は後から出て来て
円錐幾何ではもっと原始的に導入。
また性質として円をぎゅっと斜め圧縮した物として示せる性質もある。
その楕円双曲線対応で移し等。それで言える物言えない物で定理は二分されると。
言える物は片付け、本質考察の労力を少しでもエネルギー節約。
　
　
(1) 方形長の導入。前リプ後半の構成を記憶してほしい。同じ物ばかり使うから。
全体枠ABCをBをPと一致させるまでに(相似的に)変える。Fという切断と平行のも動かして。
p = PL = (BF･BC)/AF が方形長。pと呼びL点を新たに作って方形をのちに考える。
　
　
(2) B'M':QM'= QM':C'M'。3段目として円上にB'C'Qは乗っている。B'C'は直径で角Qは直角。
QM'⊥B'C'だった。△B'M'Q∽△QM'C'(相似の記号)からの比。
y^2 = B'M' C'M' の形で使って行く。
　
　
(3) F=Cなら放物線。
AやBをいじってpを定義したのを全体枠に戻したい。BF/AF=BC/ACは無次元になってる比だからそのままで使える。
(2段目水平面でのBC) = BC･(AP/AB) と。p = AP BC^2/(AB･AC)

ここまではγ平面内。ここからはα平面内。
△PB'M'∽△AB'C'∽△ABC からB'M'/PM' = BC/AC。
C'M'/AP = BC/AB (図を描けば部分同士の対応と一目でわかる)。

y^2 = (PM'･BC/AC) (AP･BC/AB) = p x
初等幾何で立体性を使い放物線であることが証明できた。

(4) 楕円の場合(次までの2リプ)。
BCMの'はyを測る水平面に使ったが、P'とC''は変え、
楕円のP逆側点をP'、P水平右にACとの交点をC''とする。
楕円でPM切断面は傾斜が緩いのでACと交わりMはBCの延長線上。

AF//PM(平行の記号)でAFはPMより右上。底辺では右へBCMFと並ぶ。
対称性からもPP'は楕円の一番長い所、これを2a(aは長径)と書く。
焦点はまだ登場していない。PP'は楕円の長径。
　
　
直線配置として(=と//の言語で)
AF // PM = PP' = PM' = P'M'
BF = CF // PC'' // B'M' = C'M'
AB = PB'
AC = P'C' = P'C''
が観察される。

△AFC∽△P'PC''。からPC''/PP'= CF/AF
p = (BF/AF) (PP'･CF/AF) = 2a (BF･CF)/AF^2
　
　
△AFB∽△PM'B' より B'M'/PM' = BF/AF
△AFC∽△P'M'C' より C'M'/P'M' = CF/AF

y^2 = (PM'･BF/AF) (P'M'･CF/AF) = p/2a (PM'･P'M')

ここでギリシャに従い幾何学的配置を新たに作る。
前後対称α面内で、P'P線に直角に左斜め下方へ、P点より、長さが方形長pのPLを取る。
M'から同じ方向へPLの平行線を取り、直線P'Lとの交点をRと置く。

この構成で上の最後の行を変形して行く。
△P'PL∽△P'M'R から 2a/p = PP'/PL = M'P'/M'R = (2a-x)/M'R = (PM'･P'M')/(PM'･M'R)

y^2 = PM'･M'R = x p (2a-x)/(2a) = p x - (p x^2)/(2 a)

2次の項の形からこれは楕円。
また放物線と比べxが進むにすれy^2 < p xが進みすぼまって行く印象がある。

双曲線はCAのA延長にP'を取りPP'= 2a (最狭距離を双曲線では長径と言う)。
同じに進み最後の項の右辺付加符号だけが+。
　
　
重力空間で軌道が円錐曲線のとき、どういう仮想円錐に乗ると良さげか？
その中の円錐の高さがエネルギーか何かラグランジアン的になっていたりは。

その局所構成な一般相対論への深化。　
摂動が円錐に働く力と考えたらどんな力を作り得るか。
剛体と軌道運動を同一数理にしたときに手法を写す。

円錐曲線の初等幾何はせっかくなのでフルにするのでまた改めて。

上の最後の変形で1つの相似比例式から2回使ったがなぜかな。

多項式f(x)=(x-c1)(x-c2)…(x-cn)とその微分f'(x)=Σ{1項を抜いた物}を考察。
f'(x)/f(x) = Σ 1/(x-ck)
これは大事な式である。

重根の場合や、fとf'に共通零点がある場合を特異性の状況とみなし
そうではない場合だけでまずは構築する。
実は、重根⇔fとf'に共通零点。
しかし fのを重根にするように近付ける。
fとf'が共通零点があるように近付ける。
設定の仕方としても違う物。
よってこの話は後回し。

特異皆無の状況でxを-∞から∞まで動かして行く。
右辺は-1次式の和で、fの零点でだけ1項が発散を起こして無限になる。
　
　
以上からこの道具を使い制御工学にも使うStrum理論が始まる。
まずf'(x)の零点について、右辺を使い何か言えそうな気がしない？

右辺はどの根ckについても、左から右に抜けるとき同じ様相を見せて、
x<ckなら次第に負、近付くと負の∞へ、越えたら正の∞、そして正の普通の値へ降りて来る。

こういう急峻な右下に落ちる形が根の数だけ並び他はなだらかのグラフになる。

そのグラフの零点がf'(x)の零点である。
するとそれは挟まれてるから1個少なく、全てちょうど挟まれた位置にある。
定理化された。

この先の話をしていこう。
高校生の因数定理の先にあるような中級型の方程式話題。
fの登って降りてまたはその逆のグラフで途中で平坦だからと捉えるともっと初歩なんだけどね。

同じく特異皆無の場合だけ見る。
fの最高次係数は1でつまり因数分解したときの全体的な係数は無し。
今度は、f(x)、f'(x)、f(2)(x)…。が考察対象。

微分系列？と思いたいんだが違う。
理論の完成は連続微分ではなく連続互除法によって為された。
しかも技巧的に互除法でf(k)とf(k+2)が反対符号になるように作り
f(k+1)の符号が効果を持たないように。

fとf'から始め、f(k) = q f(k+1) - f(k+2) と構成する。どれもxの多項式。
右辺第2項の-だけ技巧。f(k+1)=0のときf(k)とf(k+2)は反対符号を確認。
　
　
区間[a,b]の中のf(x)の根の数を、
それぞれをは探しに行かず、系列の多項式にaとbを代入だけで判定できる。
aとbをアクティブに動かしながら範囲を追い込んで行くと、
方程式の解までが数値計算的には求めて行ける。
　
　
(1) xを左から右に動かしf(x)の零点を越える時
符号(f f') = 符号(f'/f) = [- → +]
この結果は既に調べた所である。f→f'の符号変化は1個が0個になってる。

(2) xを左から右に動かしf(k+1)(x)の零点を越える時
f(k+1)(x)の符号は変化するが、-と+に挟まれており符号変化は1個であり不変。

(3) 他は考察すべき地点は無い。

Strum定理
根の数 = 系列の符号変化の数at(a) - 系列の符号変化の数＠b

先日九州西で地震があり家屋や建造物の修繕は気にかかる所だが
改めてそれのアナウンスが出来るような方面へは取り組む。

話変わるが、円錐を切ると双曲線も現れるが、円柱の切断では楕円のみである。
円柱ではどこに切断面で取れる双曲線が潜んでいるのだろうか？

先週の(3)を変える。系列やアルゴリズムの末尾の形チェック。
fとf'に共通根が無いならば、共通因子が無く、f(k+2)が数である段階が来る。
(0以外の実)数の符号は自明かつxの変動で不変。f(k+1)=0のとき、f(k)と逆符号。
数で互除法の系列を閉める規約にして、アルゴリズム末尾式でも(2)成立。
　
　
さて先週のStrum論は驚きを持って読んだ人も居るよね。
多項式f(x)の根を求めるのに素朴な代入ではどちら方面にあるのかわからない。が
系列で見ればこの区間に何個だと、枠[a,b]を変えては追い込んで行くことが出来て
数値計算になる。

今日はそこから先で、fとf'で開始した変形互除法だったが
fとgという一般対から始めると何を扱えるのだろうか？
その一応用が複素引数で実部と虚部に分けた場合。
共通根で割ってから開始する方がいいのだから判定用の終結式という概念。
　
　
但しまだしっかり出来ていなくちゃんとは記述できない。
高木の代数学講義(昭和5年発行)の10章と3章の全面攻略の巻なんだけどさ……。
96年前の書籍は、それ以降に多変数関数論と関数解析が出来ているので
それへの応用がしたい。

古典的には制御Routh-Hurwitzに直結。
またルジャンドル超幾何多項式を扱う例もそこに載ってる。
それで直交多項式を既例だけでなく新しい積分計算法を狙ったり。
今日だけではなく続けるので近々には進む筈。

多項式fはn次で係数は最高次からan,…,a0、根はα1,…,αnとする。
多項式gはm次で係数は最高次からbm,…,b0、根はβ1,…,βmとする。
最高次係数を1としたいが、互除法の途中で出て来る式にはそれを要請できず適宜残す。

終結式R = Π{i,j} (αi - βj)
nm個の積である。行列式型のも計算した結果はこれになる。
fとgに共通根があると右辺に0が出現しR=0。共通根が無いと0が無いのでR≠0。
この考察より共通根の存否とRの0非0は同値。
　
　
R = g(α1)…g(αn) = (-1)^mn f(β1)…f(βm)
∵)5行上の式をiごとにグループ分けする。
それぞれに付き g(x) = Π{j} (x - βj)にαiを入れた物と思う。
(βj-αi)になるよう全部引っ繰り返せば、同形で符号も。
次数勘定ではnm次多項式相当。直接それではなく分解して各部に値を入れて積として。
　
　
次にRを行列式に見立てる構成。行列式としての表現が重要である。
簡便のためfを3次、gを2次とする。f = a3 x^3+a2 x^2+a1 x+a0。
｜a3 a2 a1 a0 　｜
｜　 a3 a2 a1 a0｜
｜b2 b1 b0 　 　｜
｜　 b2 b1 b0 　｜
｜　 　 b2 b1 b0｜
の行列式の値が終結式。当然証明が必要。

この先はf→f - q gを行列の基本変形で実装出来ていること、
最高次係数が抜け落ちて行く様子も見えて、
列内に値が1個だけになったらその値と小行列式の積に書き換わる、
そういう計算で最大公約因子にまで簡約される。

数学的事実があってそれをまだ言明していないという状況を見つける。
既知の内容は全部四則演算ぐらいしか知らない設定から始めて出されてくるようにした上で。
こんな風にすると延長型の部分で未踏の数理概念も見つけてくれそうだよね。

方程式を、群論を、集合論を、スキーム論と現代積分論を、単体を自動で思い付かせる。
単体とは、立体図形を多面体近似し、その各構成オブジェクト→整数という対応の全体が
為している加法群を図形を表すものと見立て、つながりと尖り点などを代数的な検討で考察する分野。

さて客観的には話題をもっと散漫にちらした方がいいが、まだ数理をやる。
原子力などそんな言い方しちゃいけないがややのんびりしているし、基本的な粒子弾性方程式はあって
その現象が解ききれないのが理工の多くの問題。突破口の狙い。
　
　
中でも力学を代表とする問題は工学と化学の全てに有るが、様々な解に至る特徴を一言。
これは代数幾何学の問題とは違う。最大の違いは微分演算子のある世界においての極値や安定性解
ということ。我が国の数学なので機敏な人はわかったと思うが、代数幾何学連立方程式のとは別世界
としての微分演算子のある世界においての図形の全貌を見ることが必要。

その図形が例えばラグランジュ点やコワレフスカヤ・レンツベクトルを対応物として存在している。
物理として取り扱わないでそれらを全て数理として見つけてから現象に対応させる方法は可能ではないか？
これは現代に早く全体像を見つけてほしい問題。

場の量子論についても、微分演算子のある世界においての図形の分類が済んでから、その分類の特性量など
を持ちつつ具体世界へ降下適用で解釈を読むことで、フルな包含物を取れるだろう。
それ以外に解は無いと想定されるのだから。

ということで、代数解析=D加群世界の中の図形が、可積分系という話題の帰着仕上がり物であろう
という予想の話をした。やや抽象だがこれでプラズマや海洋のソリトンを扱おう。
ソリトンもコマも何か図形解が投影されている物と想像している。

終結式。前々リプの実例。f=(x-1)(x-2)、g=x+1。
Π(α-β) = 2･3 = 6
Πf(β) = (-1-1)(-1-2) = 6
Πg(α) = (1+1)(2+1) = 6

|1 -3 2|　この行列式は6。よってどの定義式からも一致している。
|1　1　|　他の例を作っても4種類の一致は楽しく確かめられる。
| 　1 1|　
　
　
そんな並びの行列式が差の全部の積と一致すること。これは不思議なことだが証明を付ける。

行列式の定義では係数の方が使われている。
係数だけで成っていることからfの根についてとgの各根について対称式である。
根で書かれた定義のも根の対称式だからfとg内の係数で表される。

根で書かれた定義のはα1-β1からの対称化の閉包と言える。
即ち対称式としてはこれを割る物はなく対称式としては既約。
行列式型定義も根型定義で割り切れるはず(剰余の定理)。

式の形は単項式の和のはずだが、Πg(α)からはgの定数部のn乗という単項を含む。
行列式型定義では、fの最高次がm行m列位置まで来て、次の行はgを左詰めにした物。
その定数はm右に移った場所でm+1列。即ち対角線がgの定数部のn乗。
n次行列式はn!個の列と行を順列にした和だった。

同じ物を含み、根型定義の何倍かの方法では1倍以外はこの状況を出せないから両者が一致する。
行列式型定義について次数の評価もしよう。
gの定数部はβ1…βmだからそのn乗でnm次のはずだが別の方面からこれを当てる。

gの係数は最高次から根に関して0次,1次,…,m次となる。fについても似ている。
順列で平均的には真ん中辺りを取るものと思い、nm + mnの半分。
これを場合を詰めて正確に書いて結論に至る。

制御工学のHurwitz定理の証明を記載するための準備を進めている。nmは高木本の逆で昇冪も使用。
Hurwitz定理は(伝達関数)分母をu+ivと書いたuとvの終結式からRk(x)とRkという部分行列式を作り
Rkがずっと正であることが安定。今日は本リプまでで論理は来週目指し。

三角関数の準備。s/c=t。1+t^2=(c^2+s^2)/c^2=1/c^2。
1-t^2=(c^2-s^2)/c^2=cos2θ/c^2。
cos2θ=(1-t^2)/(1+t^2) = (cot^2-1)/(cot^2+1)。
sin2θ=2sc=(2s/c)･c^2=2t/(1+t^2) = 2t･t^-2/(t^-2+1) = 2cot/(cot^2+1)。

パラメタt=-cot(θ/2)を定義するとcosθ=(t^2-1)/(t^2+1)、sinθ=-2t/(t^2+1)。上はtanの意だがこっちは新規。
cosθ+i sinθ = (t^2-1-2ti)/(t^2+1) = (t-i)/(t+i)。
さてt:-∞→∞が複素単位円一周である。右式↑は実tに対しずっと絶対値1で
途中値はt=±∞で1、t=-1でi、t=0で-1、t=1で-i。
　
　
Strum。複根の点でもそこを通る際に符号が1だけ減る。
このことはf'/f = Σ = k/(x-x0) + (非特異)。符号変化はk=1の場合と同様だから。
x^2-0.01 と x^2 と x^2+0.01 で状況を比較する。[-1,1]枠。⇒を微分、→を(符号反転型)互除法。
x=0の近くで2回符号が減る第1式が一致の極限で1回変化物になるのはなぜか。虚で実軸の近くに根がある場合は。

x^2⇒2x→0。 -1で(1,-2)、1で(1,2)。符号変化は1→0へ。
x^2-0.01⇒2x→0.01。 f'にx/2を掛けて引き符号を変えて0.01。
-1で(0.99,-2,0.01)、1で(0.99,2,0.01)。符号変化は2→0へ。
一致した瞬間に系列の末尾が1つ消える特異性が発生して矛盾を指摘できる箇所が無くつながる。

x^2+0.01⇒2x→-0.01。 -1で(1.01,-2,-0.01)、1で(1.01,2,-0.01)。符号変化は1→1へ。
虚数解ではどんな近くを通ろうと関係しない。一致の瞬間は末尾が消え1→0。
根が±0.1×(1+i)は？方程式x^2 - 0.01(1+i)^2。これは方程式自体が非実で定理外。

クラメル解法への証明。方程式番号iと変数番号k。
Σ{k} aik xk = bi。 行列式 D = |aik|。
D内の(列)kを固定して全部のi成分aik(縦1列) を bi(=Σ{l} ail xl)に一斉に置き換えたのを Dkと書く。

他の各l列をxl倍して引くとaik xkが入っただけの意味になる。それはD xk。
∴ xk = Dk/D。
　
　
z^nはzが(複素)単位円を1周するときn周する。周回数が円内の根の個数を意味するようだ。

z^n + a1 z^(n-1) + … は、zが半径Rの大な原点中心の円を1周するとき、
Rが十分大ならば全部の根が入っているだろう (その個数はまだわからないが…)。
さてz=R yと置くと R^n {y^n + a1 y^(n-1)/R + …/R^2 + …}。
Rは必要なだけ大なのだから第2項以下は性質上効かない。

先頭の段落から連続の性質により上y多項式は単位円内にn個の根を持つ。
すると導入のz^n+…は複素平面内にn個の根を持つ。(代数学の基本定理の証明)
　
　
二次形式は変数を1つ増やして考える。X^2+Y^2-Z^2 = XX+YY-ZZ = 0なら楕円(円)。
XX-YY-ZZ=0 と -XX+YY-ZZ=0は双曲線。この意味での放物線の形は？
y^2=x → YY=XZ。X=U+V, Z=U-VとしUU-VV-YY=0。

3次元空間に乗せて円錐曲線(や焦点・準線・通径・離心率)の別の方面からの扱い方も見よう。
次リプ前半に典型だが、これをより別の変数xから構成表現して使うことが使用価値。
(構成表現という意味では物理に詳しい人ならXはストリング座標とも思える)
三次形式の代数的な定理も作れと(小一時間？)。

二次形式とは行列のうちで成分が定性的同一な事物間に乗った対称行列で、
Σaij xi xjとも書かれるaijを、土台を外して数値のみにしたもの。
それは対称行列なので対角化される。

行列 aijの階数をrとし改めてrをnとも。Xiをxiの1次同次式として
Σ{i=1,r} ai Xi^2 の形 を標準形式と言う。
縮尺変換は自由なので実数の範囲ではaiは符号のみが類別に関わる。
　
　
二次形式の符号律定理(シルベスタの慣性律)。
標準形式の作り方に依らず aiは正の個数と負の個数は不変。

∵ f = Σai Xi^2 - Σbj Xj^2 = Σck Yk^2 - Σdl Yl^2 とする。
aiとbjでn個、ckとdlでn個、aiの数<ckの数を仮定。また各abcdは正実数で非0。
標準化する前の線型基底をx。xとXとYは1次同次式で互いに導出され合う関係。

連立方程式 Xi=Yl=0は、連立する方程式の個数がnより小で変数はn個。
すると全部が0ではないような非自明解がある。それを代入する。中辺は負、右辺は正。矛盾。
　
　
制御Hurwitzのためには二次形式と首座行列式に関する定理を使うが来週。
代数学講義10章の計算を5つ2リプ書いてガイド。既に持ってる人居るだろうから。
fp =fp(x) =f(p,x)というもの。定義p352下。

f(x) = Σ{i=n,0} a(n-i) x^i = a0 x^n +…+ an。 通常の定義。降ベキ。
f(p,x) = Σ{i=p,0} a(p-i) x^i = a0 x^p +…+ ap。 というのを定義する(0<=p<=n)。
f(x)をxの何乗(n-p)かで割り負ベキ部を捨ててる。剰余の構造を精密化で見る目論見。
Σ{i; 0<=i<=k} a(k-i) x^i = f(k,x)。 はiを集合で書いた表示。左辺から右辺に導く。

〇p353上
多項式として P g - Q f = T で、P=f(x)とQ=g(x)を代入しP/x,Q/x化を繰り返し
負ベキ部を捨ててる記述。まず1回目のP/x,Q/x化は、x^-1項係数はfとgの定数項
同士の積の自己引算で0。ここから始める。2回目のP/x,Q/x化では、x^-1項係数は
(Pからfの1次項係数)(gからgの0次項係数)-(Qからgの1次項係数)(fからfの0次項係数)。

x^-1項係数を出現させないよう変形多項式で処理を動かすには、Pで下を捨てるなら
同じ次数Qで下を捨てていれば右辺に-1次項が出るのを防げるし、逆に右辺に出ない制約
を課すとQにそれが要求されるという話。繰り返してP/x,Q/x化毎に同じ次数捨てたもの
を置いて対応させる要求が出現するというのがテキストの記述。
　
　
〇p355下
(x^3-y^3)/(x-y) = x^2+ xy+ y^2 をまとめると
(x^k-y^k)/(x-y) = Σ{i=k,1} x^(i-1) y^(k-i)。 {}は降ベキ。
{i; 1<=i<=k}という集合和的書き方も。

0<=h,i,j,k<=n を使用変数の暗黙な全部の共通条件とする。5行目から添字の格子性を見て
表現の仕方を変える。h=i+jとi=n-kを順に入れ、yとxの指数を定義等に近付ける。
{f(x)-f(y)}/(x-y)
= Σ{h} a(n-h) (x^h-y^h)/(x-y)
= Σ{h} a(n-h) [Σ{i; 1<=i<=h} x^(i-1) y^(h-i)]
= Σ{h,i; 1<=i<=h} a(n-h) y^(h-i) x^(i-1)

= Σ{i,j; 1<=i, j<=n-i} a(n-i-j) y^j x^(i-1)
= Σ{k,j; 1<=n-k, j<=k} a(k-j) y^j x^(n-k-1)
= Σ{k; k<=n-1} f(k,y) x^(n-k-1)　∵前リプ最後の行
= Σ{k=0,n-1} f(k,y) x^(n-1-k)

〇p356下
f(x)/x^pの整の部分がf(n-p,x)は定義そのまま。
p356(5)は、(7)から(8)にそれが(5)で、左側k-1個の列についてf(n-何某)を掛けて引き項目を消去できて(4)。
〇p368中
f(x)g(y)-f(y)g(x) は x=yを代入すると0 であるため x-yを因子に持つ。
整部分だけ集めればいいとまず考える（負で打ち消し合う合理的状況が一見で見えないため）
f(x)/x^pを単に負部を捨てる形の f(n-p,x)に置き換える。
もしも負次同士の打ち消しが起きてそうだったら考え直すが不要。

⇒を単に負部を捨てる演算とする（それは意味的には=で、別の論述ですでに正当とみなされている時）
下記最後の行は添え字の構造から p,qは1以上で自由に取れるが nを越えたら f(n-p,x)=0。

Σ{k=1,∞} ck Σ{p,q; 1<=p<=k, 1<=q<=k, p+q=k+1} f(x)f(y)/(x^p y^q)
⇒ Σ{k,p,q; 1<=k<∞, 1<=p<=k, 1<=q<=k, p+q=k+1} c(p+q-1) f(n-p,x) f(n-q,y)
= Σ{p,q; 1<=p<=n, 1<=q<=n} c(p+q-1) f(n-p,x) f(n-q,y)
　
　
〇p369下
1/(x-c) = 1/{x(1-c/x)} = x^-1Σ{j=0,∞} (c/x)^j = Σ{j=0,∞} c^j/x^(j+1)
cがf(x)の根ならばf(x)/(x-c)は整多項式。i=k-jを途中で代入。
最終形がx^(n-…)を読んで fをai x^(n-i)としてる面も、a(n-i) x^iでなく。

f(x)/(x-c) = {Σ{i=0,n} ai x^(n-i)} {Σ{j=0,∞} c^j/x^(j+1)]}
= Σ{i,j; 0<=i<=n, 0<=j<∞} ai c^j x^(n-i-j-1)
⇒ Σ{i,j; 0<=i<=n, 0<=j<∞, 0<=n-i-j-1} ai c^j x^(n-i-j-1)
= Σ{i,j; 0<=i<=n, 0<=j<=n-1, 0<=n-i-j-1} ai c^j x^(n-i-j-1)

= Σ{k,j; 0<=k-j<=n, 0<=j<=n-1, 0<=n-k-1} a(k-j) c^j x^(n-k-1)
= Σ{k,j; j<=k, k<=n+j, 0<=j<=n-1, k<=n-1, 0<=k} a(k-j) c^j x^(n-k-1)

= Σ{k,j; 0<=k<=n-1, 0<=j<=k} a(k-j) c^j x^(n-1-k)
= Σ{k; 0<=k<=n-1} f(k,c) x^(n-1-k)

9/6制御Hurwitz、13分子バイオ、20建築一般、27建築各論
10/4コスメ、11統計(また…)、18凝縮体ソリトン(地震･星震･コンクリート等･原子核･船舶)。
今日制御フルビッツをすべきだが理解が追いついていなくて要領を得ない話になるかも。
基礎知識は或る程度理解されているはずだが。
　
　
フルビッツ定理とは。
多項式f(z)の全ての根の実部が負であることを確認する技法。例をする。
f(z) = (z+1)(z+2)(z+3)(z+4) = z^4 + 10z^3 + 35z^2 + 50z + 24　(1,10,35,50,24)
zに-1,-2,-3,-4を入れると0になることは確認できる。

今f(z)は4次なので1引いて33行列式を考える。
一般的にはもっと長くなって其処で止めるという形なので長めに記すと
{{10,50,0,…},{1,35,24,…},{0,10,50,…},{0,1,35,…},{0,0,10,…},{0,0,1,…}}
即ち2k行目に最高次から1個飛びの係数並べ、2k-1行目にそれより1つ低次から始めた1個飛びの係数並べ。
また2段ずつ左端に0を1つずつ増やして行く。
また並べが終わってしまった先は0が入れられる。

ここから部分首座行列式1,2,3まで全部正ならばよしという基準。
枠を取って中に入らない部分は捨てられる。
H1={{10}}、H2={{10,50},{1,35}}、H3={{10,50,0},{1,35,24},{0,10,50}}
detH1=10、detH2=300、detH3=10･35･50-10･24･10-50･1･50=17500-2400-2500=12600
どれも正でありこの例において確認された。
　
　
違う例。f(z)=(z-1-2i)(z-1+2i)(z+2)=z^3+z+10
{{0,10,…},{1,1,…},{0,0,10,…},{0,1,1,…},…}
H1={{0}}、H2={{0,10},{1,1}}
detがどれも正は満たされていない。そして因子には実部が1になるものがある。
やはり定理の主張は成立。

ではこの定理はどういう根拠で成立しているのかというのが問題になる。

フルビッツ型の行列並べは横に書くとき上記だが縦下方に見ると1個ずつ上がる。
また斜め右下に見ると1個ずつ下がる。この意味で単に定義を聞くより遥かに整然としている。
指定された所以外の外側は0で境界周辺のぷつ切れとかの特筆すべき事は無いが
左下と右上には0が出てきて真ん中から右の下辺にはデータが残り続ける。

この形はf(z)＝φ(z)+iψ(z) (但しφとψはどちらも実係数の多項式)と係数を実虚分離して
終結式R(φ,ψ)を書き換えた物である。論理が全てつながるようにやっていこう。
書き換えの所に理論が3つぐらい押し込まれるのである。
　
　
終結式と判別式。
f(x)=(x-c1)…(x-cn)とする。f'(x)は因子が1つだけ落ちた項n個の和である。
判別式(の2乗) = R(f,f') を証明する (定理)。

∵ 終結式の定義からR(f,f') = f'(c1)…f'(cn)。
f'(x) = Σ{i=1,n} f(x)/(x-ci)
f'(c1) = f(x)/(x-c1)|x=c1。 Σ内で他項は因子c1-c1を持ちこれしか残らないから。
= Π{i=1,n 但i≠1} (c1-ci)

するとR(f,f') = Π{i,j; i≠j} (ci-cj)
これは判別式の定義である。QED
　
　
実例で見る。x^2+b x+c=0。
R(f,f') = det{{1,b,c},{2,b,0},{0,2,b}} = b^2 + 4c - 2b^2
判別式はこの形からもわかるように2乗の方が普通の判別式と呼んでいる物である。
さらに判別式・終結式の一般化は不変式と呼ばれそのうちする。

このような多項式の理論でガロア理論の構造を精密化し、さらに超幾何関数の一部に多項式が
あるものと見なして、超幾何関数の根による体の拡大という理論を狙っている。
高木自身が終結式周辺の研究発表をしており本人の専門の一つだったとされる。
フルビッツ判定法はn次多項式についてnn行列式も見るのが本来形でn-1まででいい方法もある。

代数について導来圏というのが射を22、33行列化で構成することで圏論を
アルゴリズム用に改造する方法。これを一般行列にして自然さアップし
その要件を見て概念の新しい所を取れそう。その随伴との組合せとか。

アポロニウス理論はフェルマーにつながる。2次曲線として定理全部を出すためには
この性質を押させておけばいいと。それを確定させて土台に仕立て上に向かえる。
現在1/20ぐらいだが20/20を目指して進捗を取得したい。

ということだけどアポロニウス理論と代数的諸相とカオス可積分を裏回しにして
医療と建築を表ものにするね。裏回しの物は3日に1回以上は取り組んで1月2月経て
何か得てから表に。収穫取れるまで連続期日以上の時間がかかりそうが理由。
　
　
ところで昨1週間の間に流体に関する学術発表が有ったが、可積分の視点は
そこに入ったのだろうか？と言うのはコワレフスカヤコマ解概念を自動で
導いて来そうなゲージ理論に匹敵する概念誘導力がその視点には有ると思うから。

ポテンシャルには運動項を運動項にはポテンシャルを対応させる方法は力学の
現代的な新視点。そこを上手く取り出せて研究者が思いつかないでも事例が作
られる例が作れればいいな。ソース無しで戸田を出す等。その視点がまだなら流体
はまだ一歩進められる。変な曲面みたいな物が流体にもKdVにもその他にもきっとあろう。
　
　
建築はしばらく少し取り組んで、現実的な感覚で思えるように感覚(AIが付けるようなそれ)
をつかみたいと思う。そして熟成させて提案もできるように。
すると原子力とそれに限らない発電所の構造改善案の話や電装など論点も。

あと国語的には文脈の中の抜けに気づくってソフトへの新しい投入技術としてはあり？
まあ指摘したらどこかで実装されていきそう。

9/20光合成、27神経組織、10/4錯体生化学(前2週との関連)、11教養的内容、
18コスメ、25介護、11/1野生植物、8statis、15臨床。12月末検査技師。
今日はバイオ3(2026の)。11/15で11だからスケジュールよし。
　
　
宇宙植民地を緑でとか言うけれど、本当に植物が必要なのかな。
緑色植物を使ってテラフォーミングするなり、は検討不足ではないのかな？
分子までわかっているのだから、機構として入っている物を分解して
最適化して新しい物・構造物として作って使うのが筋に思える。

植物の力を借りるのは結構でも、まるで江戸時代の人のすることにも思えるし
下水ぐらいなら、手間が少なくて大人口の分をということであるけれど
抜本的には違う方法でしょう、と。
　
　
本質は光合成にあって、植物抜きでも出来るようになっておこう。
すなわち光合成の真似事を工業化すべきでは？というのが論点。

光合成は電磁波エネルギーを用いてCO2のようなあまねく在る無機物から
有機物を製作して、エネルギーは化学エネルギーと変え、ついでに
我々にとっても重要な酸素も得れる。
重要な課題でありここでも出直しアタックして工業を目指そうと思う。

原子力汚染地の環境再生にも、採用まではされないとはしても手段には
検討されるだけの内容はいずれ提供できよう。

また植物界に何かの量的変動があった時の手段にも。
砂漠化とか繁茂出来ない所とか、そして地球二酸化炭素問題。
緑化するのか、それを参考にしたシステム論にするのか。