福島事故原発の取り壊し方法を考えるスレδ

バイオもすべきなのだけれど(1月まで済で今は2-5月残)、
各分野の中級上級をつなぐことに今こだわっている。
数学の一級の研究結果もそういう手合いのことが多いから、上手く行けば何かは。

系統的な方法をつかむと新しい解セットが手に入って来る、というのは
このスレのここまで(に限らず一般の科学の文脈で)でも感じ取られていると思う。
ガウスの正17角形もそうだったね。
その系統的な方法を、可能な上限まで押さえに行きたいのである。

毎週新視点仕上がりなどとは到底行かないだろうが、現在進行形のことを
雑然書きにでもして他の同業研究者推進用にもしてみよう。
だから今日は以後は雑書き。感想や内心やあすなろパートが多くなろうの。
　
　
来週に航空カルマンフィルタをしてみようと予定している(早速あすなろ)。
理学系の人が工学系の文献の記述を読みこなせずついていけなくなることも多く、
そこのほぐしは重要と思っている。それを狙いつつするね。

教科書的にはリャプノフ・リッカチ・逆行列定理という制御工学の行列性質を使い
モデル(数理モデル)も不明な機械対象を、誤差とその共分散を想定して推定して
制御入力を決める。モデルの既知未知で様子が変わるのは統計学で知っていると思う。
分散と不偏分散があって、モデルが既知なら正規分布の分散で、未知ならt分布の不偏分散
というような話。制御の未知部の多い機械での話。

外乱や制御入力と観測と、何通りも誤差を入れ2次形式でとにかくこうコントロール
するんだとセンサ値に対する入力内容を決める式。
機械に数理モデルはわかりきらない。

カルマンという人は有名学者で航空本には必ずこの章があるような感じになっているが、
それを学習しプラント系に。読んで読み取れない本が多いが、難所解体して
どの本にもアプローチできるぜというような提供物になるといいな。

現代制御の可観測・可制御・可検出・可安定は基本性質である。
物理学の端の方で可観測・可制御・可検出・可安定はどうなっているか？
宇宙地平線の向こうや、アプローチに使うエネルギーが質量エネルギーを超えてしまう
クォーク以下の世界。ひもやブレーンではアプローチエネルギーが質量の何京倍。

見ることもアプローチも出来ないのに、存在していることは可能と
数理的なことが制御に似た感覚から言えるかもしれない。
しかし実は制御は線形代数に終始していて議論の水準が低い。物理の可観測を持ち込んで
可制御は双対操作と定義して、するとほしかった結論を得れるのかも。
物理の上限は不可観測で閉じているのかもしれない。温度上限なども。個人的には無関係派だが。
可観測の弱化である可検出は、制御から持ち出すと何だろう。
　
　
制御本ではブロック図や複素平面の軌跡など、どの本も大学の講義ノートの出版みたいで
重複していて興を惹く良トピックという点で少し弱いと思う。そこは構成を変えるべきで
抽象ではない具体的な機械構成の描写で、中における機構の現れ方を例示して学ぶ。

レギュレータで極を配置すると言う。共振周波数を変えて不安定入力だったものが安定入力
の一つでしか無いように安定体系に変えられる重要トピックなのに、
伝達関数の数理の話しかない。機械や建築でつまりこういうことだと数理の方を逆に隠す。

力学に戻りブーメランに付加機器を付けてマジックめいた動作をさせてみるという課題。
ドローンはやってる人が多いがこちらは居なくて面白いだろう。
人工衛星・人工惑星が希望軌道にあることを、制御問題と捉えて数理に当てはめる概念調整
をすることで、航行力学がもう一度揉まれよう。のんびり時間がかかるだけで制御である。
　
　
さて制御には行列の固有値から特異値、四元数、確率統計の中級理論援用、関数解析、流体
などの概念を直ぐに投入したくなる。そのまとめを押さえて定番扱い化に。

高階微分方程式を連立微分方程式に変えれる。力学のハミルトン形式が例。
するとやや難しい概念の連立微分方程式表現があるはず。文脈違うが2階微分方程式の確定特異点。

現場では残留物の取り出しが着々と(かどうか？さて)進んでいると言う。
こちらでは位相空間の方からやろう。手を替え品を替えで他のチームとも協力して
充実手法化狙い。こちらでも機械工学する。そのために位相から積み上げる。

大学1年のあの解析学が、向学者を弾くような複雑な論理は
抽象化すると位相になるとされる。我々の今年のテーマはニュートン力学であり
それは解析学の誕生をしらしめる分野でもあった。普通の発想として、すると
ニュートン力学や電磁気学を解析学を使って書き下すのではなく、
直結して位相空間扱いするというものがあろう。中間役を除くのである。

一応この思い付きに何か形があるかというのが動機。
物理で何々関数を使うのはあっても開集合によってという論理は少ないからと。
問題から回答付けれれば電磁気の記述が広がり電力になる。
唐突な投入は初等物理に位相の感性を入れてみたいからである。
　
　
そこから雑談で書いて膨らまして話を書いていける。
結構な書く内容がある。最近は中級数学の横のつながりを総合的につかんで
制御や統計や電気や分子生物にというのを目指していて、同ペースな進捗で
日曜はそこから思い付きを適当に文章化というスタイルで、最近やったり思ったことが
と、書けるので、かと言ってつながりのつかみが完成しているわけではなく
そのつかみには3-4か月かかりそうで、わりと適当に書き出す方向でしばし。

というのは、安定→ソリトンの問題→量子群←結び目、その裏側で
カオス→量子乱流のマクロ化で質量の案、
不安定は極が複素右半平面にある場合で、乱流を防止する制御の可能性。
制御では極を複数配置して動かすが、その物理版。
記述に出てくる関数の、位相から押さえる解析学表示。
ソリトンは多時間構成の数値計算アルゴリズムを表現する数学とつながる。

つながりが出来て形になる方が使い道はあるなというのは頷いてもらえると思う。

熱伝導　ut = uxx
バーガース　ut + u ux = uxx
ナビエストークスNS　ut + u ux = uxx - px

KdV　ut + u ux = uxxx
変形KdV　ut + u^2 ux = uxxx

今日は熱伝導、バーガース、ナビエストークス、KdV、変形KdVをする。
ナビエストークスNS以外は非常に容易に解かれその解説。
多ソリトンKdVのベックルント構成、多次元KdVのKP階層構成、
戸田格子に相互作用を入れて各KdVを連続極限導出などはまた。
代表っぽく見えているがこれだけではない。超対称素粒子物理のサイバーグウィッテン解も
可積分系であり、そういう難しい系の方を理論形式にて抑え込んだり
コワレフスカヤ階層、サイバーグウィッテン階層などとして上に発展させる方向を目指す。

プラズマと真空管工学には登場して電磁気の自由系でも重要である。
uxxは拡散現象で、NSは圧力作用の項を拡散と別に足した物。

バーガースを解析的に解いた上で、圧力項を少しずつ入れて
乱流遷移の場所がどこにあるか、何を介入できるか、などは
機械工、航空工、プラント工の研究テーマ。
素人でも手持ちのパソコンでその研究ができるはず。
　
　
uやφを場の量としてtとxを変数とする。微分は右下に単に書いて表す。
φが多いが個人的にφより簡便にuvを使う。タイプも楽だし。
uxxは多次元では△uと書かれる。KdV系3階多次元は2階ほど明らかではない。

熱伝導方程式 ut = uxxの意味。拡散一般であり最初が熱力学だからの名。
放物線の底などでuxxは正の量。式は微小時間後への変化がuxxと主張する。
つまり周囲より低濃度の所は微小時間後に値が増大するような働きを受ける。
ゆえに拡散でありなだらか化な緩和過程のニュアンスが見れた。

シュレーディンガー方程式は i ut = uxx。
導出は、E = (1/2m) p^2 というエネルギーの式に、E u = p^2 u と
作用素と作用空間の含みを入れた式にして、置換 E=-i∂t、p=i∂xをする。
置換の心は u = exp{i (E t - p x)} と想定しその場合なら等値。
u波動型の仮定と作用という思想から出す式だが形は熱伝導の虚数版。

バーガースとKdVも良く似ている。右辺が2階と3階の違いだけ。
本当はそこにexp(∂/∂x) uがあり、基本部分と最初の非自明部分と解釈する。
戸田物理の発想の起源。

KdVの解析解はソリトンだが衝撃波とは関係するか。衝撃波の第一近似はソリトン。
しかしその先は今だにわからない。さらに精密化できれば航空工学に使えて
技術的進展を期待できるため鋭意研究されている。みんなも読んで
自分なりの先のことを考えて貢献してくれれば航空宇宙も進むだろう。

またこの分野の微分方程式の式変形をする。それらをもう一度集めて分析すると
新しい特殊関数が取り出され何種類かのパンルヴェとなる。
　
　
熱伝導方程式の解→。u(t,x) = t^-1/2 exp(a t^-1 (x-x0)^2)。
uに関して線形なので初期値についての重ね合わせ。
uとして基本解のデルタ関数の場合だけを説明すれば十分。
上記はu(0,x) = δ(x-x0)からの時間発展解。検算して確認しよう。

適宜x-x0=cやt^-1=τと置いて見易く。微分に使う変数だけ間違えなければok。
aがカチッと定まれば実際に解だったと言ってよいだろう。
ux = 2 a τ c u　(せめてここまでは素人でも把握。指数関数の中を微分して前に出してる)
uxx = 2 a τ (u + c 2 a τ c u) = a τ (2 + 4 a τ c^2) u

ut = -1/2 τ u - a τ^2 c^2 u = -τ (1/2 + a τ c^2) u
a = -1/4とすればいいはずで実際その時τ (-1/2 + 1/4 τ c^2) u
解になっていることはこれで確認出来た。

バーガース方程式の解→。ut = uxxの解uを使い v(t,x) = a (log u)x = a ux/u。
同じく検算だけしてaが納得レベルで綺麗に決まることを見る。
vt = {a(log u)x}t = a (log u)tx = a (ut/u)x

- v vx + vxx = (-1/2 v^2 + vx)x = [-a^2/2 ux^2/u^2 + a {(uxx u - ux^2)/u^2}]x
a=-2とするとux^2の項が消える。 = -2 (uxx /u)x
uの仮定から3行上と一致していて検算出来た。
　
　
変形KdV方程式の解→。u(t,x) = 1/cosh(x-t)
双曲線関数はsinhとcosh。sとcと略す。s'=c、c'=s、c^2-s^2=1。
ux = - s/c^2
u^2 ux = - s/c^4 = - s(cc-ss)/c^4
ut = s/c^2

uxx = (2ss-cc)/c^3
uxxx = -3s(2ss-cc)/c^4 + (4sc-2cs)c/c^4 = (-6sss+5scc)/c^4
これより
ut + 6u^2 ux + uxxx = {scc - 6s(cc-ss) + (-6sss+5scc)}/c^4 = 0
係数と符号の問題はuの事後(？)修整で。
　
　
KdV方程式の解→。変形KdVの解をuとして v = u^2 + ux。
u^2/2 → u ux → u uxx + ux^2 → ux uxx + u uxxx + 2ux uxx = u uxxx + 3ux uxx
繰り返しx微分を先に見た。さらに単に実直計算。

vt - 6v vx + vxxx = 2u ut + uxt - 6(u^2 + ux) (2u ux + uxx) + (2u uxxx + 6ux uxx + uxxxx)
= 2u ut + uxt - 12u^3 ux - 6u^2 uxx - 12u ux^2 + 2u uxxx + uxxxx

(∂x + 2 u) (ut - 6u^2 ux + uxxx) = utx + 2u ut - 12(u ux) ux - 6u^2 uxx - 12u^3 ux + uxxxx + 2u uxxx
両者は一致している。uが変形KdVの解ならvは(元祖)KdVの解である。

Lax形式という概念。
観測作用素L、時間発展作用素B、がありどの波にも使えるとする。
固有値λが時間保存する時どんな式が成り立つか。
以前のようにtによる微分を右下にtを書くだけで表す。
L φ = λ φ
B φ = φt
λt = 0

Lt φ = λ φt - L φt = λ (B φ) - L (B φ) = B L φ - L (B φ)
最右でλはスカラーなのだからBの内側に入りφとの関係でLに変われる。
φは任意なので Lt = B L - L B という式が状況を特徴付けている。
　
　
KdV方程式 ut + 6u ux + uxxx = 0。
後で解釈や工夫してくれればいいからここではuとφを使う。
L φ = φxx + u φ
B φ = 4 φxxx + 6 u φx + 3 ux φ

B (L φ) = 4 (φxx + u φ)xxx + 6 u (φxx + u φ)x + 3 ux (φxx + u φ)
L (B φ) = (4 φxxx + 6 u φx + 3 ux φ)xx + u (4 φxxx + 6 u φx + 3 ux φ)
引き算なので見え透いている所は始めから落として
上-下 = {4 (u φ)xxx + 6 u (φxx + u φ)x + 3 ux φxx} - {(6 u φx + 3 ux φ)xx + u (4 φxxx + 6 u φx)}

= {4 uxxx φ + 12 uxx φx + 12 ux φxx + 4 u φxxx + 6 u φxxx + 6 u ux φ + 6 u^2 φx + 3 ux φxx}
- {6 uxx φx + 12 ux φxx + 6 u φxxx + 3 uxxx φ + 6 uxx φx + 3 ux φxx + 4 u φxxx + 6 u^2 φx}

= uxxx φ + 6 u ux φ
最後の等号では消えて行って整理されることの確認を。
φの意味はここでは作用素が掛かっていく任意関数のはずだった。
全部φを外してしまい B L - L B = uxxx + 6 u ux。
戻りL = ∂x^2 + u。微分作用素は時不変。Lt = ut。よって上記に定義したLとBでLax形式はKdV方程式。
LとBの中を符号変えたりはあるが463はどの文献も同じでKdV系の時間。