福島事故原発の取り壊し方法を考えるスレδ

熱伝導　ut = uxx
バーガース　ut + u ux = uxx
ナビエストークスNS　ut + u ux = uxx - px

KdV　ut + u ux = uxxx
変形KdV　ut + u^2 ux = uxxx

今日は熱伝導、バーガース、ナビエストークス、KdV、変形KdVをする。
ナビエストークスNS以外は非常に容易に解かれその解説。
多ソリトンKdVのベックルント構成、多次元KdVのKP階層構成、
戸田格子に相互作用を入れて各KdVを連続極限導出などはまた。
代表っぽく見えているがこれだけではない。超対称素粒子物理のサイバーグウィッテン解も
可積分系であり、そういう難しい系の方を理論形式にて抑え込んだり
コワレフスカヤ階層、サイバーグウィッテン階層などとして上に発展させる方向を目指す。

プラズマと真空管工学には登場して電磁気の自由系でも重要である。
uxxは拡散現象で、NSは圧力作用の項を拡散と別に足した物。

バーガースを解析的に解いた上で、圧力項を少しずつ入れて
乱流遷移の場所がどこにあるか、何を介入できるか、などは
機械工、航空工、プラント工の研究テーマ。
素人でも手持ちのパソコンでその研究ができるはず。
　
　
uやφを場の量としてtとxを変数とする。微分は右下に単に書いて表す。
φが多いが個人的にφより簡便にuvを使う。タイプも楽だし。
uxxは多次元では△uと書かれる。KdV系3階多次元は2階ほど明らかではない。

熱伝導方程式 ut = uxxの意味。拡散一般であり最初が熱力学だからの名。
放物線の底などでuxxは正の量。式は微小時間後への変化がuxxと主張する。
つまり周囲より低濃度の所は微小時間後に値が増大するような働きを受ける。
ゆえに拡散でありなだらか化な緩和過程のニュアンスが見れた。

シュレーディンガー方程式は i ut = uxx。
導出は、E = (1/2m) p^2 というエネルギーの式に、E u = p^2 u と
作用素と作用空間の含みを入れた式にして、置換 E=-i∂t、p=i∂xをする。
置換の心は u = exp{i (E t - p x)} と想定しその場合なら等値。
u波動型の仮定と作用という思想から出す式だが形は熱伝導の虚数版。

バーガースとKdVも良く似ている。右辺が2階と3階の違いだけ。
本当はそこにexp(∂/∂x) uがあり、基本部分と最初の非自明部分と解釈する。
戸田物理の発想の起源。

KdVの解析解はソリトンだが衝撃波とは関係するか。衝撃波の第一近似はソリトン。
しかしその先は今だにわからない。さらに精密化できれば航空工学に使えて
技術的進展を期待できるため鋭意研究されている。みんなも読んで
自分なりの先のことを考えて貢献してくれれば航空宇宙も進むだろう。

またこの分野の微分方程式の式変形をする。それらをもう一度集めて分析すると
新しい特殊関数が取り出され何種類かのパンルヴェとなる。
　
　
熱伝導方程式の解→。u(t,x) = t^-1/2 exp(a t^-1 (x-x0)^2)。
uに関して線形なので初期値についての重ね合わせ。
uとして基本解のデルタ関数の場合だけを説明すれば十分。
上記はu(0,x) = δ(x-x0)からの時間発展解。検算して確認しよう。

適宜x-x0=cやt^-1=τと置いて見易く。微分に使う変数だけ間違えなければok。
aがカチッと定まれば実際に解だったと言ってよいだろう。
ux = 2 a τ c u　(せめてここまでは素人でも把握。指数関数の中を微分して前に出してる)
uxx = 2 a τ (u + c 2 a τ c u) = a τ (2 + 4 a τ c^2) u

ut = -1/2 τ u - a τ^2 c^2 u = -τ (1/2 + a τ c^2) u
a = -1/4とすればいいはずで実際その時τ (-1/2 + 1/4 τ c^2) u
解になっていることはこれで確認出来た。

バーガース方程式の解→。ut = uxxの解uを使い v(t,x) = a (log u)x = a ux/u。
同じく検算だけしてaが納得レベルで綺麗に決まることを見る。
vt = {a(log u)x}t = a (log u)tx = a (ut/u)x

- v vx + vxx = (-1/2 v^2 + vx)x = [-a^2/2 ux^2/u^2 + a {(uxx u - ux^2)/u^2}]x
a=-2とするとux^2の項が消える。 = -2 (uxx /u)x
uの仮定から3行上と一致していて検算出来た。
　
　
変形KdV方程式の解→。u(t,x) = 1/cosh(x-t)
双曲線関数はsinhとcosh。sとcと略す。s'=c、c'=s、c^2-s^2=1。
ux = - s/c^2
u^2 ux = - s/c^4 = - s(cc-ss)/c^4
ut = s/c^2

uxx = (2ss-cc)/c^3
uxxx = -3s(2ss-cc)/c^4 + (4sc-2cs)c/c^4 = (-6sss+5scc)/c^4
これより
ut + 6u^2 ux + uxxx = {scc - 6s(cc-ss) + (-6sss+5scc)}/c^4 = 0
係数と符号の問題はuの事後(？)修整で。
　
　
KdV方程式の解→。変形KdVの解をuとして v = u^2 + ux。
u^2/2 → u ux → u uxx + ux^2 → ux uxx + u uxxx + 2ux uxx = u uxxx + 3ux uxx
繰り返しx微分を先に見た。さらに単に実直計算。

vt - 6v vx + vxxx = 2u ut + uxt - 6(u^2 + ux) (2u ux + uxx) + (2u uxxx + 6ux uxx + uxxxx)
= 2u ut + uxt - 12u^3 ux - 6u^2 uxx - 12u ux^2 + 2u uxxx + uxxxx

(∂x + 2 u) (ut - 6u^2 ux + uxxx) = utx + 2u ut - 12(u ux) ux - 6u^2 uxx - 12u^3 ux + uxxxx + 2u uxxx
両者は一致している。uが変形KdVの解ならvは(元祖)KdVの解である。

Lax形式という概念。
観測作用素L、時間発展作用素B、がありどの波にも使えるとする。
固有値λが時間保存する時どんな式が成り立つか。
以前のようにtによる微分を右下にtを書くだけで表す。
L φ = λ φ
B φ = φt
λt = 0

Lt φ = λ φt - L φt = λ (B φ) - L (B φ) = B L φ - L (B φ)
最右でλはスカラーなのだからBの内側に入りφとの関係でLに変われる。
φは任意なので Lt = B L - L B という式が状況を特徴付けている。
　
　
KdV方程式 ut + 6u ux + uxxx = 0。
後で解釈や工夫してくれればいいからここではuとφを使う。
L φ = φxx + u φ
B φ = 4 φxxx + 6 u φx + 3 ux φ

B (L φ) = 4 (φxx + u φ)xxx + 6 u (φxx + u φ)x + 3 ux (φxx + u φ)
L (B φ) = (4 φxxx + 6 u φx + 3 ux φ)xx + u (4 φxxx + 6 u φx + 3 ux φ)
引き算なので見え透いている所は始めから落として
上-下 = {4 (u φ)xxx + 6 u (φxx + u φ)x + 3 ux φxx} - {(6 u φx + 3 ux φ)xx + u (4 φxxx + 6 u φx)}

= {4 uxxx φ + 12 uxx φx + 12 ux φxx + 4 u φxxx + 6 u φxxx + 6 u ux φ + 6 u^2 φx + 3 ux φxx}
- {6 uxx φx + 12 ux φxx + 6 u φxxx + 3 uxxx φ + 6 uxx φx + 3 ux φxx + 4 u φxxx + 6 u^2 φx}

= uxxx φ + 6 u ux φ
最後の等号では消えて行って整理されることの確認を。
φの意味はここでは作用素が掛かっていく任意関数のはずだった。
全部φを外してしまい B L - L B = uxxx + 6 u ux。
戻りL = ∂x^2 + u。微分作用素は時不変。Lt = ut。よって上記に定義したLとBでLax形式はKdV方程式。
LとBの中を符号変えたりはあるが463はどの文献も同じでKdV系の時間。