福島事故原発の取り壊し方法を考えるスレδ

シュレーディンガー方程式は i ut = uxx。
導出は、E = (1/2m) p^2 というエネルギーの式に、E u = p^2 u と
作用素と作用空間の含みを入れた式にして、置換 E=-i∂t、p=i∂xをする。
置換の心は u = exp{i (E t - p x)} と想定しその場合なら等値。
u波動型の仮定と作用という思想から出す式だが形は熱伝導の虚数版。

バーガースとKdVも良く似ている。右辺が2階と3階の違いだけ。
本当はそこにexp(∂/∂x) uがあり、基本部分と最初の非自明部分と解釈する。
戸田物理の発想の起源。

KdVの解析解はソリトンだが衝撃波とは関係するか。衝撃波の第一近似はソリトン。
しかしその先は今だにわからない。さらに精密化できれば航空工学に使えて
技術的進展を期待できるため鋭意研究されている。みんなも読んで
自分なりの先のことを考えて貢献してくれれば航空宇宙も進むだろう。

またこの分野の微分方程式の式変形をする。それらをもう一度集めて分析すると
新しい特殊関数が取り出され何種類かのパンルヴェとなる。
　
　
熱伝導方程式の解→。u(t,x) = t^-1/2 exp(a t^-1 (x-x0)^2)。
uに関して線形なので初期値についての重ね合わせ。
uとして基本解のデルタ関数の場合だけを説明すれば十分。
上記はu(0,x) = δ(x-x0)からの時間発展解。検算して確認しよう。

適宜x-x0=cやt^-1=τと置いて見易く。微分に使う変数だけ間違えなければok。
aがカチッと定まれば実際に解だったと言ってよいだろう。
ux = 2 a τ c u　(せめてここまでは素人でも把握。指数関数の中を微分して前に出してる)
uxx = 2 a τ (u + c 2 a τ c u) = a τ (2 + 4 a τ c^2) u

ut = -1/2 τ u - a τ^2 c^2 u = -τ (1/2 + a τ c^2) u
a = -1/4とすればいいはずで実際その時τ (-1/2 + 1/4 τ c^2) u
解になっていることはこれで確認出来た。

バーガース方程式の解→。ut = uxxの解uを使い v(t,x) = a (log u)x = a ux/u。
同じく検算だけしてaが納得レベルで綺麗に決まることを見る。
vt = {a(log u)x}t = a (log u)tx = a (ut/u)x

- v vx + vxx = (-1/2 v^2 + vx)x = [-a^2/2 ux^2/u^2 + a {(uxx u - ux^2)/u^2}]x
a=-2とするとux^2の項が消える。 = -2 (uxx /u)x
uの仮定から3行上と一致していて検算出来た。
　
　
変形KdV方程式の解→。u(t,x) = 1/cosh(x-t)
双曲線関数はsinhとcosh。sとcと略す。s'=c、c'=s、c^2-s^2=1。
ux = - s/c^2
u^2 ux = - s/c^4 = - s(cc-ss)/c^4
ut = s/c^2

uxx = (2ss-cc)/c^3
uxxx = -3s(2ss-cc)/c^4 + (4sc-2cs)c/c^4 = (-6sss+5scc)/c^4
これより
ut + 6u^2 ux + uxxx = {scc - 6s(cc-ss) + (-6sss+5scc)}/c^4 = 0
係数と符号の問題はuの事後(？)修整で。
　
　
KdV方程式の解→。変形KdVの解をuとして v = u^2 + ux。
u^2/2 → u ux → u uxx + ux^2 → ux uxx + u uxxx + 2ux uxx = u uxxx + 3ux uxx
繰り返しx微分を先に見た。さらに単に実直計算。

vt - 6v vx + vxxx = 2u ut + uxt - 6(u^2 + ux) (2u ux + uxx) + (2u uxxx + 6ux uxx + uxxxx)
= 2u ut + uxt - 12u^3 ux - 6u^2 uxx - 12u ux^2 + 2u uxxx + uxxxx

(∂x + 2 u) (ut - 6u^2 ux + uxxx) = utx + 2u ut - 12(u ux) ux - 6u^2 uxx - 12u^3 ux + uxxxx + 2u uxxx
両者は一致している。uが変形KdVの解ならvは(元祖)KdVの解である。