【解説/宇宙】科学者を魅了し続ける古くて新しい「三体問題」　その解法の鍵とは？ [すらいむ★]

科学者を魅了し続ける古くて新しい「三体問題」　その解法の鍵とは？

　17世紀の終わり頃、ニュートン（Isaac Newton、1642-1727）は「万有引力の法則」を発見し、太陽の周りの惑星の動きを説明することに成功しました。
　これは現在「ケプラーの法則」として知られています。

　ニュートンはさらに、地球の衛星である月の動きを説明しようとしました。
　しかし、地球と太陽の両方が月の動きを決定しています。
　地球と太陽だけであれば２つの物体の関係（「万有引力の法則」に帰着する「二体問題」）になりますが、月が加わると３つの物体の非常に複雑な動きを予測することになり、数学的な解法も難しくなることが知られています。
　これが「三体問題」です。

　こちらの動画では「2つの物体の万有引力による規則的な動きからスタートして、3つめの物体を加えることで不規則な動きになる様子」が描かれています。
　https://www.youtube.com/watch?v=OltSaaNsy5U

　結果的にニュートンは三体問題の一般的な数学的解法を得ることはできませんでした。つまり、三体問題を定義するのは簡単ですが、解くのは難しいということです。

（以下略、続きはソースでご確認下さい）

sorae 2021-04-27
https://sorae.info/astronomy/20210427-three-body-problem.html

解析的に、方程式で解こうとするから、人類の英知？では無理なんだろうさ。

万有引力を前提にするなら3つどころじゃないだろ
微弱であっても無限に近いポイントから影響を受けてる

解析的には解けない問題で数値計算で解くしかないと結論は
はっきりしてるのに意味のわからん記事だな

古代ギリシャゆずりの「エレガントな解法」。
それでは、どうにも解けない問題があるようですね。
ほかには「四色問題」だとかね。

仕方ないので遂次計算で近似するしかない
コンピュータは偉大なり

２と３の間に大きな壁があるって話はフェルマーの最終定理もそうだったかしら

>>3
微弱で無限に近いポイントからの影響は
全方向からまんべんなくあるから、まあ無視していいと思う
ほとんどの場合は２体で考えて問題ない
地球の場合月という例外的に大きい衛星を持っているから
３体問題を無視できないのかな

科学って本来何かの役に立つという実用問題から発生して発達してるから
実用的に問題ないことは無視すものだと考えていいかも

一般相対論でも２体の運動は解が解けることが示されているというよね。
もちろん３体では無理。

そこまでいかなくても、特殊相対論ではどういうことになるのかな？
２体の相対速度が光速に近い場合に、どうやって式を立てて解くんだろう？

ふｗ
俺の妄想相対性理論では質量持ってる逆方向にほぼ光速の物体の反対にほぼ光速で移動すると
速度が遅くなって負の質量をもってしまうになりそうなうえ今陽子としてその計算をしようとしているｗ
ピンチｗｗｗ

>>1
核の三等分線でも曳いてなさい

解けるといった場合でも積分の形の式で書かれているのなら、
その積分をしなければならず、面倒だ。

ポアンカレの議論よりも何かもっとわかりやすく、不可能性を、
あるいはより望ましくはどのような場合なら解けて、解けるのは
こういう場合に限るというすべてを列挙分類できるような
ガロア理論のような枠組みの理論はあるのか？三体問題でも
一般にせずに条件を制限すれば解析解が存在する場合がある。
おなじようなことを4体や5体でもやれないだろうか。すべての
解ける場合の条件を出してくるなど。

コンパスと直線による立体倍積問題も未解決だったか

>>13
三体問題はそんな言ってみればお遊びの興味の話に収まらない
物体の動きを正確には予測できないっていう話だから

たとえ世界が古典力学で説明できたとしても、人間がどんなに科学を発展させても、
人間はラプラスの悪魔に近づくことすらできないって話だから

これを解決すると太陽の向こうにある反地球の存在がバレてしまうからな

じゃあN体シミュレーションでとりあえず頑張れとしか

運動方程式が足りなくて自由度ありまくりだからなあ

>>15
数多くの探査機が行ってんのに

解析的に解けないというだけの話で、数値計算は出来る

一意に求まらなくても1つの解は出せる、って奴か

>>19
ピタゴラス三体問題みたいに

なんでそーなるのか、式としちゃわかんねーけど
力技で数値解析すると、一個が弾き飛ばされて残り2個がペアになる

とかの結果が得られる場合があるのが謎なのだ…

>>8
>科学って本来何かの役に立つという実用問題から発生して発達してるから

何言ってだこいつ

>>1
10年くらい前に高校生が解いただろ

保管用に一体、観賞用に一体、パーツ取り用に一体
三倍もコストがかかってしまうという問題

え？なんでこれ３つに限定してるの？
星の数だけ影響うけあってるだろ
遠すぎるから無視とか意味わからん
数珠つなぎで遠くの星からも影響うけてるだろ

>>24
3つ以上は予測不能

太陽から見ると月や地球は十分に遠く互いに安定した相互さようしてるから、太陽から見れば地球と月の重心を見れば良いって話じゃないの。

これ解決したら物理演算もレイトレもリアルになんのけ？

そもそも引力だって無限大の速度では伝わらない。
引力を及ぼす質点が遠方にあれば、その影響は
時間をかけて光速度で遅れて届くんだ。
普通の二体や三体問題では、そのような時間遅れ
の効果をまったく無視している。そんなことで
いいのだろうか？

古典物理学の範疇においてさえ、三体問題の厳密解を求められないって話だろ
当然、厳密解を出せないことに関しては、多体問題なら尚更だし、現代物理学なら更に尚更って話よ
だから無視しててもいいというか、十分というか、変なところにこだわるのは本質ではない

>>24
数珠つなぎとか言ってる場合かw
例えば身体の全部の細胞の影響を考えた上で治療をしなければならないとしたら医者は患者の身体に触れることもできなくなる
影響が一定以上軽微な部分については無視するのが科学的手法だ
なぜなら人間の理解力には限界があるしすべてのファクターを計算するには宇宙と同程度の複雑さを持ったコンピューターが必要でそんなものは作ることができない
単純化はシミュレーションで重要な手法だ

>>24
3つになると解けない
無限の可能性が出てくる

たしか3体の運動を３つとも平面内に制限したとしても、
まだそれだけでは解くことができなかったと思うね。
３体の運動を３つとも直線上だけ（つまり１空間が１次元の問題）
に制限すればほぼ自明になるけれど、それでは余りにもつまらない問題になる。

3体というか意味があるのは多体ですけどこれも数の概念を読み違えた為に起こった弊害なのではないかなと考えています
知っているとは思いますが

Manybody problems are everybody's problem.

Sombody said nobody solves manybody problem, anybody has question?

>28
探査機を送り出すときには相対論的な効果もちゃんと計算してる

大質量天体周囲で時間が遅れるのはGPU使えず
CPUで力づくで処理しないといけないからか

>>32
自明なのか
どうなるんだ？

あらかじめ2体がそれらの重心に対してケプラー運動をしているときに、
そこに第3の質点がある向きとある速度でやって来て、その後がどうなるか
というのが面白いんじゃないかな？
　やって来た天体が捕捉されてしまう場合とか、
　やって来た天体以外の天体が遠方に行ってしまう場合とか、
　三つの天体がお互いにバラバラになって離れて行ってしまう場合とか、
　とかとか。。。

不思議に思ってたんだけど、たった3体の問題解けないのに、どうやって彗星の軌道とか惑星の位置とか計算できるの？重力の及ぶ範囲は無限だろ？
もちろん近似させるのはわかるけど、それにしても計算複雑すぎるんじゃないの？
マジで教えてエロい人。

太陽が余りにも重いので、惑星や彗星の軌道は近似的に2体問題になるんだよ。
但し、惑星同士の距離があまりにも接近することがないからだし、
彗星もたまたまその軌道のそばに惑星などが来ていると、太陽の重力だけでは
ないその近接した惑星の影響を考慮しなければならなくなる。

「3体問題が解けない」という意味は、数学的に厳密な解を（不定積分も手間1回で
計算できるとおもったときに）有限の手数の処理で計算できる式（長さ有限の式）
として表すことが一般にはできない、という意味であって、
近似計算でよければ、限られた時間の期間の解の近似（質点の軌道）を
任意の精度で求めるということはできるのだよ。

数値的シミュレーションすれば普通に解けるんだよ
問題なのは解析的には解けないという事

そういう話だからな
勘違いすんなよ

厳密解が求められないんやんな

物体がどの座標に移動するか、諸元が分かってればそれは1点に定まるはずのに、
その1点が人間には求められず、この辺くらいかなってぐらいまでしか計算できない
解析的に厳密解が求められない

精度保証付き数値計算って数学の中でどの程度の規模のジャンルになるんかね？

「一般の5次方程式が（代数的に）解けない」（Abel）というのも、
方程式の係数を元にして四則演算と冪乗を解く操作を有限回組み
合わせた式で解を与える、そのような式は作れないという意味で
あって、代数方程式の解は複素数の範囲であれば必ず存在するし
（Gauss）、任意に与えた精度に対して解をその精度で求める
ことができる計算法はいろいろと在る。そのような計算法で
無限回の操作を許すのなら、厳密解が得られるとも云える。
しかし「代数的解法」というときには、代数的な操作は
有限回で終わるものにしなければならない。

「一般三体問題が解けない（ポアンカレ）」というのは、
それに似たような話だよ。

なんかこれってエントロピーと関係あるんじゃね？　ひいては時間の正体とも

>>45
でも代数的によりはもっと解けない感じなんでしょ？
それがどの程度解けないのかよくわからんのよね

>>40
太陽系内の天体の場合、中心星である太陽の重力的な影響が圧倒的に大きいので
基本的には太陽と目的の天体の二体問題として解いて、それに他の惑星からの
重力的な影響（摂動）を加味する、みたいな具合でやってるっぽい

３体問題が一般には解けないというのは、解を
有限回の代数的演算、初等関数の適用、微分、不定積分、
これらを組み合わせて表すことができないといっているだけで、
解が存在しないというのとは違う。

それは数学が未発達（ある意味で欠陥）ということじゃないの？

>>50
いや、数学が発達しても「解析的に厳密解は求められない」のは確定してる
円周率が有理数（整数の分数）で表記できないのと同様に、未来の超絶有能な人類にも不可能なこと

おっと円周率のくだり、無限級数はナシですよw

努力が足らない、能力が足らない、から解けないなどというのとは違って、
たとえ神様であってもそのような厳密解の式を示すことはできない、
そのような数式があり得ないことを（ポアンカレが）示したということ。
定規とコンパスを決められた作図の使い方だけを許して使うばあいには、
任意に与えられた角を三等分する角を作図することが（有限回の手順では）
出来ない、そのような手順は存在し得ない、などというのと同じ類の不可能性。

だが、任意の一定の時間範囲でなら、任意の精度で近似する計算法は
原理的にはある。もちろん解の振る舞いが難しい場合などは計算がそれだけ
大変になるけれども、うんと数値の精度をいくらでも増やして、
計算の回数もいくらでも増やしていけば、所望の精度での解が
得られる方法がある。ただし、時間が無限の彼方まで広がって最終的な
解がどうなるかと云われると、それを決めるのは難しい場合があるかもしれない。

じゃあ、この宇宙そのものも3体（あるいはそれ以上の）問題は解いてないんじゃないか？解けないから。
膨大に並列化された2体問題を1コマづつ解くことで場とエネルギーの変化を作り出していて
それが光速を規定している説

昔から３体以上の多体問題は正確に解けず、近似計算が行われて来た。
男女の三角関係もこんがらがって正確に解けない。

>>54
計算で解けないのと解がないのを混同したら駄目

>>54
厳密解は求められないけど数値解ならコンピュータで計算すれば求められるから
「解けない」ってのとはまた違うだろ
科学技術計算じゃいろいろな分野で当たり前のようにやられてる手法

数値解でも精度を十分に高めてやれば実用上十分なものが得られる

三体問題でも、二体あるいは三体がある点で衝突を起こすような初期値の
場合には、衝突が起きてそれから後がどうなるかは、WELL-DEFINED
（うまく定義されている）というわけではない。

もっともそのような場合は、そもそも天体を質点で近似している段階で
既に現実とはうまく対応していない。

三体の分析で面白いのはその内の一体が弾き飛ばされることが多々あること
この弾き飛ばされた一体がエネルギーを運び去るから残りの二体は衝突すれすれまで接近して連星をつくる
観測で連星が非常に多いことの理由としてこの三体（もしくは多体）から出発したというシナリオが考えられてる

元から連星で始まったわけじゃないんだね
そして太陽は弾き飛ばされた方だと考えられてる
またBHや中性子星の衝突にももう一つの弾き飛ばされた星があると考えられてる

>>57
カオスになったら近い未来は計算可能だけど近くない未来は事実上計算不能だよ
計算誤差が経過時間の指数関数で膨れ上がっちゃうから

より少しだけ遠い未来まで正確に求めたかったら、
計算に使う数値の有効桁をうんと延ばしてやる必要がある。
さらに少しだけ遠い未来まで正確に求めたかったら、
計算に使う数値の有効桁をまたさらにうんと延ばしてやる必要がある。
しまいには、ある誤差の範囲内で解を求めるためには、計算に
何百桁、何千桁の桁数の高精度の数値を使う必要が出てくる。
しかし、現実の世界はそんなに精度の高い数値でなければ要求精度を
満たせないのだとすれば、様々な観測の不確定性や、ノイズ、モデルの
現実とのずれ、などにより、計算結果が精度良くでてくるとしても
実際にはほとんど何にも意味が無いのである。

>>49
平方根は有限回の四則演算では求められない、ってのと同レベルの話だからなあ

「二重振り子」という力学系は、一般にはカオス性を持っており、
やはり運動の解を閉じた式で表すことができない。
もちろん運動方程式それ自体は書き下すことができる。

ここまでの個人的感想だけども、三体問題の一般解がない理由は、
カオスの一種なのか、別の種類なのか、ハッキリしてないな。

先ず、三体問題の一般解がない理由は、次のようかな：
「古典物理の範囲で、パラメーター初期値を与えて、三次元物体の
軌跡（座標）を求める問題で、三体以上の物体が相互作用する系は
厳密解を表せない（実数解を求める計算式を、初等関数の有限回の
組み合わせとしては表せない）」
物理と数学の事情に絡む、ある種の論理的限界（求む詳細！）だな。

一方カオスとは、その三次元・三体という前提条件とは無関係な、
「物理と数学の事情に絡む、ある種の論理的限界」なのか。
それとも「物理と数学の事情に絡む、ある種の論理的限界が知られた
分野」という点は共通だが、三体問題とは「ある種」が全く別なのか。

そもそも、カオスの定義が何か、ってことから始まるべきだけど。

平面内3体問題ですら一般解は無いので、おそらくカオスになるのだろう。
専門家はきっと既に答えを知っているのだろうが。

これこそ総当たりのAIの得意分野っぽいな

仮にカオスの定義を次のように定義しよう。：
一般に有限の計測誤差を含んで与えられるパラメーター初期値の、
たかだか計測精度程度の微小な差異が、
軌道計算（解析的か数値計算的かは不問）の結果に、
時間とともに指数関数的拡大傾向のある差異を生むような力学系。
換言すれば：
カオスとは、実用的に有用な解（十分な精度の解）を得るために、
いかに高精度の初期値が得られたとしても、十分な精度を保てる
時間が高々Δt[s]程度の力学系。
このΔtは系の「複雑さ」による。（物理定数を含むか知らない）

三体問題の一般解が無い事情に、物理と数学がどう絡んでいるか
も知りたいが。
そもそも三体問題自体、上記のカオスの一種で、
　十分な精度を保てる時間が高々Δt程度
という特徴を備えるのだろうか。
それとも三体問題自体は、
　十分な精度を保てる時間がΔtを超える
ものだろうか。

1. 解析的に厳密解が求められない
2. カオス
これを合わせたその結果、人間には物体の運動の予測はそこそこしか無理って話だろ
たかが小惑星の地球への衝突の確率すら、庶民感覚的に満足できるレベルの計算ができない

ある1km級の小惑星が地球に衝突する確率が
今は0.001％って計算してたけど、科学が・計算アルゴリズムが発展したおかげで、
正確な衝突の確率は0.00001％(あるいは 0.1％)に修正できたよー、ってレベルにすぎない

そういう程度にすぎないことが、原理的には改善できないということ

あ、特定の小惑星の、地球への衝突の確率計算にはカオスはほぼ関係ないか。。
他の惑星に接近した小惑星が、想像以上に軌道変更して地球に突貫してきたみたいなカオスはあるかもしれないが

>>66
aiの総当たりは場合の数が有限の話だから解を求められない式には使えないよ

意味わかんないんだけど

その手の問題なら
量子コンピュータ、焼きなましなアレとかでも…が得意そう…って事だけ覚えとけばおk

>>40
摂動計算で軌道要素に加わる変化量を計算する
その軌道要素に基づいてそのときの位置を計算する

衛星の衛星って聞かないものね
変なところにすっ飛ばされるんだろうな

>>70
ある程度ラインが決まるならコンピューターやAIの出番だと思うが

>>40
天体間の質量の差が十分大きければ計算できる

>>1
これも似たようなもんだな

二重振り子
https://www.youtube.com/watch?v=25feOUNQB2Y

>>75
コンピュータの出番ではあるけど逐次計算やらせるだけならaiである必要はない

天井に端が固定された紐の先に重りを付けて、さらにその重りを端として
別の紐がありその先にまた重りを付ける。これを（球面）二重振り子という。
（普通の振り子は球面振り子である）これの動きはとても複雑なものになる。
三重振り子、四重振り子なども作れる。
紐を使う難点は、運動の具合によっては紐の張力が正を保てない場合が
あること。本当は紐の長さは一定に保たれるようにしたいのだが。
では硬い細い棒にしたらどうかといえば、どの場合にジョイント
（関節）部分をどう実現するかが難しい。
紐もできるだけ張力によって伸びないものが望ましい。

>>78
思ったんだけどAIが近似値を求める公式を単純高速化させるとかそういう話は無いの？
総当たりで得たデータも活用されるんだから傾向なんかも読み取る
問題はバラバラの欠片がどこに散らばりやすいかと大体似てるんじゃないかと思うんだが

>>80
3体問題は式が複雑だから求められないわけじゃなく、そもそも厳密解が求められない性質の現象
気象予報みたいに過去のデータから傾向を掴むようなものにはaiは使えるけど、そもそもデータが無いと学習出来ない
aiがやってるのはあくまで過去のデータを元に、未知のデータを分類することであって人間のように式を解いているわけじゃない

>>80
一見カオスでも細かく見ると周期性が現れたり一点に収束したりすることがある
つまり初期値によっては±誤差付きで予測は可能
そういう特異点やアトラクタを見つけるのはAIが得意

有界な区間内でのどんな連続関数であっても、任意の精度で近似できる
というニューラルネットの近似能力があったとしても、
カオスのような性質を有するような関数を広い範囲にわたって近似する
ことができるようには思われないないが。
初期値が僅かに変わると結果が幾らでも大きく変わるというのは
たとえその関係が連続だとしても、任意の正数εに対してある正数δがとれて、
しかじかを満たすというときに、εに対してδが余りにも小さくなることを
意味している。たとえば　δ<Lεが成り立つとしてLが10とか1とか0.1ぐらいなら
いいが、δが10のマイナス100乗とかだったら現実にはうまくδをとるという
ことがとても難しいはずだし、δがO（ε＾2）だったりO(ε＾｛10｝）だったり
などすれば、やはり精度の短い数値で近似計算を行う場合には
事実上は連続関数ではないようなものだろう。

>>11
スゲー、3つに核分裂したら何が起きるんだ？

古来、ギリシャ〜ローマ時代やイスラムの文化が最先端だった時代や
ルネサンスの時代などを通じて、

・ある現象が次の現象に繋がる

時に、何らかの物理量の保存が認められるときに
それを等号で繋ぐことで方程式化し
そのような式を幾つか作り出して、それぞれの変数を解いていく

という方法論が確立され、それが自然科学で重要なテクニックになってたんだよなあ

でも三体問題だと、そのテクニックは使えない！

でも逐次近似するなら、とにかくそれらの物理量の変化をシミュレートすることは一応できると

多くのプログラミング言語で = が等号でなくて代入なのは納得できない！みたいな人も世の中に多いけど
それをちょっとだけ連想させる

ところで逐次近似だの摂動だのって単語が出て来ると
その辺を一気にスキップする方法として変分法という言葉が出て来るなあ

>>83
例えばカオス力学関数を全て見付けるとしても力業過ぎるな
そもそもまずそこからAIやニューラルネットワークで自動化出来ないのかという疑問

なんでヨーロッパでやっとるテニス大会やサッカー大会を批判せんの？

動きを方程式に出来ないと言う事なん？
解けないと言う事とはまた別なの？

三体問題の特殊解の論文は学生の時に読んだことあるな。８の字解。

劉慈欣に聞いてみよう

>>12

微分方程式が初等関数（三角関数含む）で解かれる条件については、ガロア理論と同様なものが作られ（ガロア理論の発展で）解かれている。
代数方程式も冪根だけでは4次方程式までだが、これを楕円関数までを使うことで、一般に解くことできることもガロア理論の発展で証明されている。

これまで散々スパコンを使って計算してきたのに、いまさら解析的に解きたいとか無かろう

ゲージ理論で群論が物理の素粒子に応用され、これが群論をベースにするのでありとあらゆる宇宙に適応する法則となる。
我々が住むこの宇宙は、ゲージ理論に加え、この宇宙の対称性の破れによって、パラメータが決定されている。

＞　代数方程式も冪根だけでは4次方程式までだが、これを楕円関数までを使うことで、一般に解くことできることもガロア理論の発展で証明されている。

蛇足だが、当然　n次元の代数方程式の解の公式もある（楕円関数の値を使う）。

>>5
四色問題は解決済み
膨大な組み合わせ全てを計算機使って確認した

但し実際に4色で塗り分けるのは国の数が増えると計算の手間が増加して困難。

それと疑問に思っていることは、「国の個数が有限の場合に四色で塗れる」
という証明はもしも平面上に無限に国がある場合であってそのまま通用する
のだろうか？と。

>>96
＞但し実際に4色で塗り分けるのは国の数が増えると計算の手間が増加して困難。

そうなの？
国の数nに対して計算量が増えるといってもいろいろだろうけど、
指数関数的に増大するの？そこまではないの？

>>95
エレガントな証明が絶対存在しないと証明されたわけではないよね
エレガントでない証明が行われただけで

人間が読める10ページ以内の証明が果たして可能になるであろうか？
今のところの証明の本質が、不可避集合を適切に選べるというところにあって
その集合に含まれるグラフの個数が沢山あり、僅かな数にはできそうもないから、
その路線でやる限りはグラフをふるいわけて列挙して議論するのなら、
手間が掛かることは間違いない。
ある条件を満たす不可避集合が機械的な手続きでアルゴリズムによって漏れなく
選び出せることを示したのであれば、そのアルゴリズムの正しさを証明
しさえすれば、そのアルゴリズムを正常に動作する計算機で実行したとしても、
問題は正しく解決されたと見なすべきだろう。当時は大型計算機で試行錯誤して
累積1200時間を掛けた計算だったかもしれないが、多分今ならばプログラムさえ
正しく書かれていてそれを動かすだけならば、デスクトップＰＣで数分程度
以下なのではなかろうか？

そういうやりかたを認めないという立場であるならば、
たとえば連立1次方程式を解くのにガウスの消去法を定義してそれでもって解ける
（あるいは解けない場合が検出できる）と証明して、実際の計算は計算機に
やらせるというのではだめだ全部人間がやれ、一般の百次の行列であっても
人間が計算しなければだめだというような精神論になってしまう。
むしろ人間にやらす方が間違えるし、人間の無駄遣いになる。

見かけ上の3体力とか考える事はあるけど、あれはエネルギー勾配としての形式的な力であって
二体が互いに及ぼすもの、及ぼされるもの、という力の概念を捨てたならそれは力ではない

既に２粒子間の力という概念は、力を媒介する”場”を考えた段階で
修正が加わっている。
たとえば重力や電磁気力の作用は光速を越えては伝わらない。

>>53
８の字解みたいな特殊解でも厳密解出せないのか？

>>59
それ元から連星で一体が近付いて来ただけじゃねーの

>>88
公理自体が予め混じって溶けちゃうんだよ
元を知らないと解きようがない
それを認知するってことは統合失調そのもの

>>90
孔子塾ヤメテ

これのせいでポリゴンとかレイトレとか物理演算とか膨大な計算量になんだろ？