【数学】「無限を信じるのは神を信じるのと同じ」　名門大教授が数学界を敵に回してまで断言する“不都合な真実” [すらいむ★]

「無限を信じるのは神を信じるのと同じ」　名門大教授が数学界を敵に回してまで断言する“不都合な真実”

　無限を否定する「超有限主義」の哲学は、数学界では長らく異端として退けられてきた。
　だがこの哲学は、数式のみならず、私たちの世界観にも新たな洞察を与えてくれるものだという。
　理系オンラインメディア「クオンタ・マガジン」が、最先端の激論を深掘りする。

（以下略、続きはソースでご確認ください）

クーリエ・ジャポン　8/30(日) 9:37
https://news.yahoo.co.jp/articles/e5cf829c966aa1cc3905231dcf3468a22274452c

無限の話は

「無限のプロセス」と
「無限の数字」
「無限の概念」
を分けて考える必要があるな

無限に数字が増えるか減少する現象がありうるならありうるかもな

【無限を取り扱うプロセス】
0.999……=1とか　極限とかは　あくまでも(人間から見た)無限を取り扱う"プロセス"で実際には有限の操作に過ぎない
　
数学的に言うと、「任意の有限段階まで進めたとき、どう振る舞うか」で無限とは真逆
数学は誤魔化した表現してるが　本質は「出来る範囲で極限までやったら結局どうなる？」って言ってるだけ
0.999・・を出来る範囲で極限までやったら結局1になるって言ってるだけ

そもそも0.999・・なんて無限に続けたら永遠に1に到達するタイミングがこない　これは無限の定義からそうなる　無限に続いたら0.999・・は終わらねーよって話


"仮に"無限が存在するとどうなるか
∞を数式上存在すると認めるなら1/10^∞みたいな数値　つまり0.00……1という【どんな有限の数より小さい無限小】が論理的に存在することになる（実際には無限が普通は使えないので【無限小】は存在しないが）
無限小があったとすると定義的に　0.999……と1の間に　このどんな有限の数より小さい【無限小】を挟み込めることになる　
しかし、0.999……と1の間に無限小を挟み込めたら　0.999・・と1は同じ数直線上の点にないということになって0.999・・=1は成立しなくなってしまう

無限がないからこそ有限の範囲で極限まで0.999・・ってやったら=1になるっていうのが数学　
0.9999……と1の間にどんなに無限の小さな数値も"挟み込めない"から同一として扱うってのが「0.999……=1」の正体　

結局無限のプロセスは　無限を取り扱わず　宇宙は有限の範囲で極限まで攻めたらこういう仕様です！
って言ってるだけなのがこのプロセスの正体

【実際の無限】
1/0=∞　や　1+∞=∞みたいに考えるとガチモンの無限が出てくるが
これが出てくるとかなり破綻してくる（1+∞=∞なら1=0になる)から∞は使えない
1/0=未定義　だし　1+∞も　通常はできない
プロセスではなく∞という数値を使うと宇宙の限界を超えてくる
質量あるものが光速になったりすると∞が出てくるが宇宙はそれを許さない


【無限の概念】
無限集合とかは概念に近い
概念として考えることはできるが実際のその無限の中身自体を全て並べ切ることは現実世界ではできない
脳の有限の細胞で無限一個一個を全部を取り扱うことはできない
あくまでも概念　ずっと続くものっていうイメージで取り扱う時点で実質的に有限化している　


虚数は数式上、矛盾なく体系を説明できるし
むしろ量子力学ではこの世界のルールを綺麗に説明できる重要な要素　宇宙のルールそのものに近い

宇宙の設計として最小単位が有るか無いかでも変わりそうだなぁ
ブラックホールとかクォークとかの先に何かあるのかどうか観測しようがない

そういやブラックホールのエントロピーは表面積に比例するんだった
情報に関しては最小単位が存在する（でないと情報を吸いすぎて表面積が無限大に発散してしまう）

まず現在の数の定義に、どんな数nにもn+1が存在する、と言うのがある
これは、無限回+1出来ると言う意味だけだでは無く、有限の最大数nが存在すると仮定すると、数としてn+1が存在するので矛盾すると言う事

実際問題
この宇宙は無限だらけなんだが
量子も経路積分も最小原理も極限もなにもかも裏では無限が潜んでいるが

現実には一個の結果しか見えないようになっていて

その無限自体に触れることができないんだな
だからどう考えても実感としては無限にはあるんだけど　その証明が無理という

やっぱこの辺に触れられるようになるころには神レベルに近くなってるな
宇宙自体もたとえ無限の可能性が潜んでいても　触れられるのは有限の時空という形

仮に∞があるのが真としても





原理的に有限な人間はその無限の中のいくつかのパターンしか体験できない





だからこそ無限を実感しつつも有限の現実にぶちあたって



無限を信じるだのなんだのの話になるんだな

現実には光速という上限があってそれを全ての基準として宇宙が成立してるからなあ
時間を無限に分割しても光速の逆数（プランク時間）が精一杯
それ以上分割したところで意味の無いことになってしまう（観測できない）

そもそも、数は概念である

論理だけで考えるということは実証を伴わないのだから、観念とか想像というのとそれほど違いが無いんだ。
無限は実証不可能な概念なんだよ。無限を考えると物事がうまく整理されて統一的に扱えるみたいなものだ。

整数は無限にありまぁす、といったときに、ではそれを具体的に示して下さいと云われてさあどうするか？

せっかくだから俺は数も数えてしまうと情報として扱うしかなくなるから整数自体が有限なものだと考えるぜ

ある物理量が無限まであることを証明する手立てがない。

ε-δ論法は、「無限に近づく」というプロセスを、「任意の有限な数（ε）」と「それに対応する有限な数（δ）」のステップに置き換えました。これにより、「無限を信じなくても、有限の操作だけで極限を厳密に証明できる」ようになり、数学は神学や哲学から完全に独立したのです。
現代数学における「信じる」側面しかし、現代の数学でも「無限を信じるか」という問いは、形を変えて残っています。現代数学の土台である「ZFC公理系」には、「無限集合が確かに存在する」と宣言する『無限公理』が含まれています。これは「証明」できるものではなく、「これを正しいと認めてスタートしよう」という前提（信仰に近いもの）です。

人間は無限に触れることはできないけど無限の中で生きている

例えば観測可能な宇宙の中にある全量子を使って
最高級の量子コンピュータを使って宇宙の全歴史の時間を使っても10^120bitくらいの計算しかできない

でも目の前にあるコップ一個を量子レベルでのパターン1秒分の計算が10^150bit
しかも量子一個ごとの∞の可能性を無視してそれ

だから人間は有限の世界で受け止めきれない無限の可能性の中にいる
受け止めきれないからこそ有限しか実感できないパラドクス

だから無限あるんだけどなぁと実感しつつ　有限としか言えない

εＮ論法みたいなもんは
まぁ数学者が無限とは何か限りなく近づくとは何かとかそういうのから逃げるために使いだした定義で
有限の数εを上回る要求を論理的にＮ回数行えば上回れる状況にあるなら極限とすると言っている

何じゃこりゃって言い方だがポイントは無限ではなくて極限ということ

数学上は0.999・・・=1だが
何でこれが言えるのかというと0.999・・・と1の差がなくなっているなら同一っていうのがポイント


これはやってるのは無限ではない　無限があるならいつまでたっても差は残り続けるのが無限　なんたって隙間も無限にあるからな　∞ってのはそんなもん
だから極限で0.999・・・の「・・・」を0.999・・が1との差がなくなるくらいまで近づけるのが極限の本質


εＮ論法は、差εがいくらであろうと
それを・・・（Ｎ）回で続けられる環境なら要求値（差がなくなるまで）いける状況だっていうことを言っている

シンプルに、有限派は、1/3の様な分数は信じるの？

人間は無限に常に囲まれているし　それを前提としている体系がそこら中にあるからこそ
ある気がするんだよなぁって実感する


目の前の空間を"イメージ上では"無限に分割していけるじゃん！

俺の頭の中では無限の時間があればできるが？

→10^106年続けれるか？
10^106年ですら全宇宙の歴史の7000億*1兆*1兆*1兆*・・・年　

10^106年は10^10000^10000^10000年とかよりはるかに小さい数字で
それは10^∞とは比較できないくらい小さい数字


でもそんなのでも固有時間0の光にとっては0秒だから固有時間を持たない"神なんかいれば"できるだろ

そもそも別に実証しなくても"理論上できる"んだから実際∞ってなんかある気がするんだよなぁ

そういう風に考えれば考えるほど証明不可能になる

数学者ですらあるとは証明できないから　無限集合があるとする！ってしてる
無限集合がある・・しかし無限自体には直接我々は触れてはいけない　扱うなら極限までという体系ならこの世界を上手く説明できちゃう
ある実感もあるし、あるとしているけど　あると証明できないし直接は触れることはできないのが無限

そして実際は無限の可能性が奥底に潜んでそのうちの1パターンが実現する有限の世界に生きている

>>261
それはロビンソンの算術Q
Qは驚くべき事にゲーデルの不完全定理が成立する
これは不完全性は数学的帰納法以外にところから生まれていることを意味するし
数学的帰納法を限定しても算術はそう簡単に単純化しないことを意味する

概念世界上の無限は証明できないからあるとする！なんだけど

それがあるとするとするとそれを上手く有限の範囲で処理してきっちり説明できることだらけだから

概念世界上の無限は無いとまで言うと逆に有限の事象の説明がつきづらい
というか概念世界上の1,2,3とかそういうものはあるとする！じゃないと本当にこの世界の何も説明できなくて困るのが人間

まぁなんだろ
神がいないとこの宇宙が存在どうやってしたんだくらいの話で

地球にかかる引力を計算する時太陽以外からも引力かかっているが微細なので計算上無視する
だが実際は無限に近い星の引力計算が必要
そういうのを一々計算してると効率が悪すぎて時間がかかり過ぎて淘汰される
「平均化する」「丸める」ことで素早く判断する脳みそになった人類
無限大との付き合い方もそういう脳みそで解釈しているのだろう

数学界では無限はあるとする！　だし　あることは原理的に証明無理



でも量子や経路積分の可能性世界では無限が当たり前のように顔を出している
その無限を極限で取り扱って一個のパターンを見れるし
人間が見られるのは　収束した一個のパターンのみ

と言っても実際その可能性世界のパターンの存在だけでも
現実に影響与えるから　可能性世界ってなによってなってくる

あることは証明できないが　あるとして扱わないと何も説明できなくなる
空想世界と現実世界の狭間にいるのが人間だな

>>271
それは無限ではなく極限では？

何で単純に思考出来ないの？
有限の中で生きている
無限は理論内に存在する

εＮ論法の根本は、実数に対するアルキメデスの公理。
　零ではない正の実数には、自然数Nを掛けると１より大きくできるそのようなNが必ず存在する。

無限と有限は表裏一体、無と有も同じで1セットで一つのものということ。

>>273
それを裏付ける根拠は？
ってなると単純じゃなくなるだけ

神は存在しないよね
だからマルクス主義は圧倒的に正しいの

信仰は科学の範疇
数学は概念の世界で信仰は関係ない　人が信じなくても成立するし宇宙の有無にかかわらず成立する

無限を信じない人は0も信じないのだろうか
無限の逆数としての0
点や直線・平面の属性としての0
原点の0

可算の０
非可算の0

無限大の逆数は0ではない
無限小だよ

>>279類似
その２
無限を信じない人は無限小も信じないのだろうか
->どうやら微分積分における無限小に関しては
　これを排除するべきらしい（ソースに書いてある）
無限大の逆数としての無限小については不明

その３
無限を信じない人は極限や収束・発散という考え方も信じないのだろうか

世界はデジタルだっていう考え方だろ
例えば時間に無限小は存在せず細かくぶった切られたパラパラ漫画
空間についても同じ考え
どこまでも連続で滑らかなものは存在しない
実際あまり細かく分析しようとしても世界は発散してしまって実態がなくなる

>>266
素粒子の電荷は-1/3だったり2/3
スピンは1/2,3/2,...
分数ではあるけども連続ではない
もし電荷がもうちょっと大きく(2+dx)/3だったらなどという考え方はできない
そうした瞬間に物質そして世界は消えてなくなる

物質=エネルギーのとる値が完全に離散なら
変化なんて起こらない（時間は経過しない）のではと思ったり

現在は石油や石炭による産業革命の延長線上の文明の中で生きているし、いずれ石油や石炭は枯渇し、我々は江戸時代以前の生活に戻る
こういうことですよね

∞どうしを引き算して有限ンお値を出すとか数学でも物理でもあるが
あれで上手くいくのが不思議だが不思議だ

>>286
数式の本質は値より関係性
関係性が矛盾なく維持できる体系ならセーフ

原点に置かれた単位電荷を持つ点から距離ｒだけ離れた位置の電場の強さはｒの逆二乗に比例する。
すると、電場の持つエネルギ密度は電場の強さの2乗に比例するので、原点から半径Rまでの範囲の
球の空間全体での電場のエネルギーの総量は、
　1/(r^2)^2 　4π r^2 を0からRまで積分したものになり、無限大に発散してしまう。
つまり荷電粒子に大きさが無いのだとすれば、荷電粒子が作り出す電磁エネルギーは
無限大であり，エネルギーが無限大なら作り出された電磁場が生み出す重力エネルギー
無限大になってしまう。特に荷電粒子の電磁質量、慣性質量共に発散するはずである。

大きさ0の点にエネルギーがあるとすると　エネルギー密度が無限になっておかしくなる

だからこそ紐理論みたいに　点じゃなくてヒモでたくさんの次元持ってればいいやんとなるが・・　その次元は見えない　無限と同じくこれがあるとすると辻褄合うやんって感じ　∞と同じく？見ることはできていあに

情報宇宙論なら簡単で　点ではなく　自由度を持つノード　やってることは紐理論と同じだが捉え方が違う　自由度を持つ情報ノードが先　それらの繋がり　量子もつれが先で　宇宙が出来上がる

自由度を持つ情報ノードの繋がりが一個できて初めて世界が成立するわけよ
一個だけだと　可能性状態でふわふわしているからそこは世界が成立していない　もつれて初めて有限化

時空でさえも笠高柳理論によると　量子もつれが成立していない場合は時空が成立していない

似たようなことを紐理論でも言ってるな　ある程度ないといけないって

1+1/2+1/3+..+1/n はn->∞で発散。
log(n) はn->∞で発散。

でも （1+1/2+1/3+...+1/n） - log(n)

は n->∞で有限の値に収束する。

多世界解釈が正しいなら世界は無限に分岐して無限に存在するから無限は存在する

底では０が文字道理「無い」から１と−１を行き過ぎと反動で行ったり来たりするしかない、これが根源の揺らぎであり、エネルギーの始祖

>>292
宇宙はビッグバンで始まったから分岐しようが所詮有限だ
数がただ多いだけだ

0と1の間の無限すら
10^1000よりはるかに多くて
それは10^1000日ですら今までの宇宙の歴史の1兆倍の1兆倍の1兆倍の1兆倍の・・よりはるかに多くて
ビッグバンで始まろうと　無限の概念に手を出した瞬間に数が多いとかいう次元じゃなくなってくる

公理はそれが正しいと証明することはできない事柄なので、それらが正しいと信じて議論をしている。そういう意味では一種の宗教に似ている。
しかし人間の意志や感情とは無関係に記号論理だけで機械が論理を展開できるとなれば、それは人間の側の宗教ではなくて、機械にとっての
機械の内側には存在しないあたかも神の言葉（実際は人間のお膳建てした指定）になるのかもしれない。

けど結局極限で処理できて無限でないと処理できない現実の事象は見つかってないから無いんじゃねっていう

極限の前提は無限だから
n→∞　この∞はただ大きい数というわけではなくて本当に∞を追いかける動作そのもの
そういう意味じゃ∞はあるものとするじゃないと回らないんだけど


実際にはプランクスケールでさえも10^-35メートル

つまりn→∞じゃなくて　n→10^100000000000とかしとけばこの宇宙内では差が区別できなくなるから実質極限と同じことができる
そういう意味じゃ∞ってなくてもいいんだよな

観測可能な宇宙に詰め込める情報量は10^120bit程度
これ以上は観測可能な宇宙が全部ブラックホールになるからこれが限界

これ以上は神がいるとする！とか1,2,3が概念世界に存在するとかそういう話になってくる
でも概念世界を直接的に感じるのが人間の意識そのものだからあると感じるんだけど証明できないからややこしいんだよな

大体概念世界が存在しないなら　俺の意識も存在しないことになるからややこしくなる

観測可能な物理世界しかないなら　ニューロンが発火するまでしか存在しないし　感じる感じとがある意識は成立しない　
1,2,3や∞や意識を物理的に観測になるまでは話がややこしくて仕方がない

まぁそもそも
クオークですらもひっぱっれば　いくらでもクオークひっぱってこれる　謎世界だけどなこの宇宙って

核融合なんてできたら・・人間からすると無限にクオーク作りだす遊びできるという

クオークが人間が観測可能なサイズなら奇妙なことになる


俺がえいってひっぱったら　クオークが次元のかなた（というか仮想粒子とかがある概念世界）から生成されてくる　∞は確認できないけど、この世界のエネルギーが循環し続ける限り理論上∞に時空の外からクオーク持ってこれる

上には上が居る、といった瞬間に加算無限の人間がいることを認めたことにならんか。

何に対しての無限なんだ？一度消滅しても再生する物質もあるからなー

可算無限個の物を観測することはできない。

ま、確かにゼロ（存在しない）の対義が無限大なのは昔からおかしいと思ってた
ゼロ（存在しない）の対義は宇宙の全存在であるべきだし、無限大の対義は無限小（限りなく小さいが存在はしている）だろう

残念ながら宇宙全体は有限です

理論上は無限がある
現実では有限しかない


1次元の線を∞に並べると　二次元の面になる
2次元の面を∞に並べると　三次元の空間になる
3次元の空間を無限にならべると　四次元の時空になる

無限は一番身近だけど　それに直接触れられない不思議な存在・・

いくらでもずーっと向うには行けのに、なぜか体積は有限である双曲空間になっているのが宇宙かもしれない。

無限は可算無限ですら「論理」から生みだされた幻だよ。
何かが無限であることを、具体的に論理を使わずに実際に検証することはできない。
数えていたのではいつまでも終わらないからな。

>>308
終わらないと断言する事は無限の承認では
終わるか終わらないか分からないと言わないといけない

この世界 細かく見て行くと 実際素粒子ですら そこに存在しなくなる
大きさ0の点に色々情報などが詰まってるとするとそこに無限があることになってしまう

だから解決策はあくまでも関係性があるとしている
素粒子自体がそこにあると言えるのは　あくまでも他との関係性がある時だけ

無限の幻がリアルな可算の現実を作り上げているのが経路積分や量子の世界の話

二重スリット実験でも　何者とも干渉していない粒子は
ガチで無限の幻状態　1個の粒子が無限の可能性を持ちそれら干渉して波のようにふるまう

無限は触れられないけどすぐそばにある

すべての整数を集める
この整数の集合が無限集合ではないと仮定する。
有限個なので最大のもの a が存在する。
10進数で表して、その端に0をつけたす。つまり10倍する。10a。
aは最大の整数だったはずなのに a<10aなる整数10a が存在する。矛盾。
背理法により、すべての整数の集合は無限集合

はいり、はいりふれ、はいりほー

信じるのを是と言ってるのか非と言ってるのかも読み取れんかった

全ての整数は想像上の世界　理論世界　幻の世界にしか存在しないんだな

「有限個なので最大のもの a が存在する。
10進数で表して、その端に0をつけたす。つまり10倍する。10a。 」

10倍したものも整数の元ならば
それは最初に有限集合であると仮定した「整数」に含まれていることになり。
だから矛盾は起きない。

＃モデルとしてCPUで8ビットの「整数」について考えて見れば良い。
8ビットの「整数」が有限集合であると仮定して、有限集合だから
その最大元aがとれたとする（それは「整数が」符号付き2の補数表現
方式ならaは127である。8ビットの「整数」の体系の中で127に10を
かけた結果の数もまた8ビットの「整数」の整数になる。
よって何も矛盾は起きない。8ビットの「整数」は有限集合である。

体系内で扱える記号の総数（文字数）が限られていれば、その体系の中には真の無限は存在しない。

しかしその体系の中で、記号で書かれた論理を用いて、無限集合の公理を設けて、無限集合について
議論して無限集合に対する命題を証明したりすることができる。つまりこの場合には無限は論理体系
の中に存在する。