上の方のでNFCでのBluetooth接続のレスがあったので手持ちの機器
MDR-1ABT、MUC-M2BT1、MDR-AS800BT、SRS-X1で確認してみた

NEO側のBluetoothオフの状態で上の全機種とも接続は可能
接続出来ない時はスクリーンオフ→オンにすれば接続出来る
ただし約10秒後に必ずNEO側のBluetoothが勝手にオフになる

NEO側のBluetoothオンの状態だと全機種、接続・切断可能
Bluetoothも勝手にオフになったりしない、ただしNEO側のBluetoothはオンのまま
接続・切断がうまくいかない場合は上記と同じようにスクリーンオフ→オンで接続出来る

前に使ってたF-01Fが接続・切断だけでなくBluetoothのオン・オフも完璧にこなしてたので、ちと残念