ドコモならドコモショップにデータを移行する端末あるから他のキャリアもあると思う
家でやりたいなら
Androidの場合
ガラケーの電話帳を開く
メニュー画面で「SDカードに保存」あるいは「SDカードにエクスポート」を選択する
SDカードをガラケーから取り出しスマホに挿入する
「連絡先」アプリをタップする
メニューから「インポート」を選ぶ
SDカードから電話帳をインポートする

そのスマホにSDカードを差し込むことができないタイプだったらアプリかパソコン経由でできる
ガラホからスマホへ 電話帳とかで検索したらインターネット上で丁寧に解説もされてるからそちらのがわかりやすいかも