結論から申し上げますと、原則として掲示板やSNSによる誹謗中傷程度で警察が動くことはあまりありません。
これを「民事不介入」といい、犯罪（暴行事件や詐欺事件等）が起こる可能性を除き、お金のトラブルや口喧嘩といった私人の間のもめ事に対して警察は介入しないのです。
例えば「○○は不倫している」「あいつは詐欺師だ」程度の書き込みは個人間による抽象的な悪口に当たるため、警察が動く事はまず無いでしょう。

“犯罪に当たる場合”には、警察は動きます。
分かりやすい例で言いますと「犯罪予告」が最も対応が早いです。

犯罪予告の例
書き込みの内容 　　　　　　　　　　該当の恐れがある罪
いたずら目的の犯罪予告 　　　　　　業務妨害罪
特定に相手に危害を加える内容 　　脅迫罪
暴力的な表現による犯罪予告 　　　威力業務妨害罪
嘘の情報によって業務を妨害した場合 偽計業務妨害罪

上記はほんの一例であり、その他の個別法・条例（市区町村が独自に定める禁止事項）に該当する可能性もあります。
これらの罪を未然に防ぐのも警察の仕事であるため、該当の恐れがある書き込みが確認できた場合には警察は摘発に動かねばならないのです。