このときim(f(n-1))はker(f(n))の部分可換群であり、そのとき商可換群というのを
作ることが出来る。H(n,X,Z) = ker(f(n))/im(f(n-1)) と書いて
複体XのZ係数n次コホモロジー群と言う。Zは整数の意味。
多面体の時∂は添字が降りる方で添字の方向性によりホモロジー群と言う。

商可換群とは。部分可換群B⊂Aに対して、
Aを x+B = {x+b| b∈B}という形(x∈A)の部分集合の重なりの無い合併と書くことが出来る。
∵)
x∈Aの全部を取ればいいからAの一部が埋まらないことは無い。
y,z∈(x+B)について、z=x+b' = x+b+(b'-b)∈(y+B)。bとb'はy,zに対応して取ったとして。
少しでも重なりがあれば同じグループになることは、上の行から重なりの中にyを取り
他のはy+Bの中に入る。またy+Bの任意の他の元も構成の中であって抜け落ちる状況は無い。□

集合x+Bと集合y+Bに和x+y+Bと定義する。これはきちんと定義されている。
∵)
x+Bの代わりにx'+Bのような書かれ方をするとxとx'の差はBの要素。
すると和の形式にしたときおまけで包括的にするBに吸われてx+y+Bとx'+y+Bは同じ物になっている。□
以上で集合を元、集合と集合についての和演算。これで商可換群と呼ぶべきものが存在している。
　
　
短完全系列。0→X→Y→Z→0。
XYZ0どれも可換群とする。0は0だけの物。
左からのimと右へのkerが何処にても一致しているとする。
im⊂kerは複体だが、im=kerを完全と言う。

次のような設定があり標準的である。本当は今日これの元追いかけ証明を書こうと思って用意
したが説明までになった。係数(多面体の場合関数の行先に相当した物)が整数である記載は省略する。
各可換群X等に標準的な分解展開列があり(多面体の場合を思えば何かありそうはわかる)
それは上の意味のコホモロジー群またはホモロジー群の形状を取り、
一方任意の3つの可換群で短完全列を満たすものに、H(n,X)→H(n,Y)→H(n,Z)→H(n+1,X)→という
無限に続く3×∞の形の写像図が作られる。という内容。調べ直しも加えて来週。