テクノロジー犯罪

真鍋里紗〔京都陶化中学出身今年30〕

石井啓資〔嵐山中26〜7〕

ゆうき〔西院中25〕

中村杏奈〔洛西中20代〕

藤巻〔九条中30〕

じゅんき〔岩倉中26〕



こいつらほど粕なテク犯はいまいw

モンティがハズレのドアを開けても
プレイヤーのファーストチョイス時の当たりの確率に
何の影響も及ぼさない
また、プレイヤーが当たりを引こうがハズレであろうが
モンティはハズレのドアを一枚だけ開ける
したがって、事象Aと事象Bは互いに独立である

モンティがハズレのドアを開けても
プレイヤーのファーストチョイス時の当たりの確率に
何の影響も及ぼさない
また、プレイヤーが当たりを引こうがハズレであろうが
モンティはハズレのドアを一枚だけ開ける
したがって、

『事象Aと事象Bは互いに独立である』

『事象C』は『事象B』によって導出される

この世に生を受けた、ある特定の人物が

その生涯で一回だけ一枚だけ宝くじを買ったとすると

その宝くじが当たる確率は５０％

大数の法則により、ファーストチョイス時の当たりの確率が
１／３になるのはゲームが多数回（N→∞）の時のみ

プレイヤーのファーストチョイス時の当たりの確率…事象A

モンティがハズレのドアを一枚開ける…事象B

□■（ステイ　or　チェンジ）…事象C

モンティがハズレのドアを開けても
プレイヤーのファーストチョイス時の当たりの確率に
何の影響も及ぼさない
また、プレイヤーが当たりを引こうがハズレであろうが
モンティはハズレのドアを一枚だけ開ける
したがって、

『事象A』と『事象B』は互いに独立である

また、

『事象C』は『事象B』によって導出される

83,169

ステイのハズレの確率はチェンジの当たりの確率に等しい…事象D

『事象D』は『事象C』によって導出される

ゲームが多数回（N→∞）の時…事象N

プレイヤーのファーストチョイス時の当たりの確率…事象A

モンティがハズレのドアを一枚開ける…事象B

□■（ステイ　or　チェンジ）…事象C

『ステイのハズレの確率はチェンジの
当たりの確率に等しい』…事象D


『事象A』は『事象N』によって導出される

『事象A』と『事象B』は互いに独立である

『事象D』は『事象C』によって導出される

『事象C』は『事象B』によって導出される

確率収束 converge in probability という

「試行回数（サンプルサイズ）n が小さければ小さいほど、
それだけ全くの偶然だけでも極端な値をとりやすいにも関わらず、
そこに大数の法則が当てはまると錯覚し、真に差があると
誤解してしまうこと」を、行動経済学で有名な
心理学者ダニエル・カーネマンは『少数の法則』と呼んでいます

〈１回の試行で，ある事象の起こる確率がpであるとき，

この試行を独立にn回繰り返したとき，

この事象が起こる回数をfとすると，

これが起こる割合f/nは試行回数nが大きくなるに従って

pに近づく〉という定理

1713年J.ベルヌーイが初めて定式化

これにより経験的確率と数学的確率が一致し，

確率論の実際的応用の根拠が与えられる

モンティはプレイヤーのファーストチョイスのあと
プレイヤーの選ばなかった二つのドアのうち
ハズレのドアを一つ開ける（ゲームから除外）

□■

モンティはハズレのドアを一つゲームから除外するので
ハズレのドアが二枚残ることはない

■■（存在しない）

プレイヤーは最後に当たりとハズレのドアのうち
一つを開ける二択を必ず行う

□■（ステイ　or　チェンジ）

大数の法則（少数の法則）により
ゲームが二回の時は極端な結果になりやすい
頻度主義による確率を割り当てることもできない
以上のことから
ゲームが二回の時は
『当たりとハズレどちらが出るかわからない』
と判断するのが良い

ゆえに、ゲームの回数を一回に限定すると
当たりの確率は５０％になります

事象Aの確率 P(A|N)＝１／３

モンティはハズレのドアを無条件に開けるから

事象Bの確率 P(B)＝１

事象Cの確率 P(C)＝１／２

『ステイのハズレの確率はチェンジの
当たりの確率に等しい』

事象Dの確率 P(C)＝１

主観確率分布 P(A) に、係数 P(X|A) / P(X) を掛けることにより、

証拠 X を加味して、より客観性の高い確率分布 P(A|X) を求める

と解釈

P(B|A) = P(A|B) * P(B) / P(A)
　
∵ベイズの定理

P(B|A) = P(B) * P(A|B)

確率は脳内で起こってるんじゃない

現場で起きてるんだ！

ゲームの回数N＜３の時は確率５０％

この問題を巡る人々の反応は、冒頭のエピソードにある様に
『どちらを選んでも変わらない』とする意見が多かった

ドアが2つになった時点でプレーヤーが改めて
コイントスによって決めなおしたと仮定すると、
景品を得る確率は1/2となる

ところが、2枚のドアの価値はルールで確率の高い
（価値のある）選択をすることが可能となっている
つまり、『どちらを選んでも変わらない』は誤りである

ゲームの回数N＜３の時…事象ｎ

プレイヤーのファーストチョイス時の当たりの確率…事象A

事象Aの確率 P(A|ｎ)の

尤度P(ｎ|A)＝３／２

P(A|ｎ) = P(A) * P(ｎ|A)

尤度関数P(ｎ|A)＝３／２

ゲームの回数N＜３の時…事象ｎ

プレイヤーのファーストチョイス時の当たりの確率…事象A

ゲームの回数N＜３の時の事象Aの確率 P(A|ｎ)

事象Aの尤度関数P(ｎ|A)＝３／２

事象Aの主観確率P(A)＝１／３

∵ベイズの定理より

P(A|ｎ)＝P(A) * P(ｎ|A)＝１／３ * ３／２＝１／２

航空機や自動車の設計のみならず、
フィンテックや人工知能（ＡＩ）の開発などにも用途を広げる
スーパーコンピューターは一国の産業競争力や
安全保障をも左右する
このほど来日したスパコンの世界最大手、
米クレイ（ワシントン州シアトル）のピーター・ウンガロ社長は
日本経済新聞のインタビューに応じ、
「中国は有望市場だが我々は販売しないと決めた」
「ＡＩや自動運転は最重要で最も急成長の分野」などと語った

以上により、
ゲームの回数N＜３の時
プレイヤーのファーストチョイス時の当たりの確率は
多数回（N→∞）の時の１．５倍に改定される

ゲームが多数回（N→∞）の時…事象N

事象Aの確率 P(A|N)＝１／３

モンティはハズレのドアを無条件に開けるから
モンティがハズレのドアを一枚開ける…事象B

事象Bの確率 P(B)＝１

□■（ステイ　or　チェンジ）…事象C

事象Cの確率 P(C)＝１／２

『ステイのハズレの確率はチェンジの
当たりの確率に等しい』…事象D

事象Dの確率 P(D)＝１

プレイヤーがチェンジした時の当たりの確率…事象E

ゲームが多数回（N→∞）の時の事象Eの確率 P(E|N)

事象Eの尤度関数P(N|E)＝１

事象Eの主観確率P(E)＝２／３

∵ベイズの定理より

P(E|N)＝P(E) * P(N|E)＝２／３ * １＝２／３

ゲームが多数回（N→∞）の時…事象N

プレイヤーがチェンジした時の当たりの確率…事象E


■事象Eの確率を求める

ゲームが多数回（N→∞）の時の事象Eの確率 P(E|N)

事象Eの尤度関数P(N|E)＝１

事象Eの主観確率P(E)＝２／３

∵ベイズの定理より

P(E|N)＝P(E) * P(N|E)＝２／３ * １＝２／３（主観確率と一致）

事象Cの尤度関数P(N|C)＝２（確率が二倍になる）

ゲームが多数回（N→∞）の時の事象Cの確率 P(C|N)

事象Eの尤度関数P(N|C)＝２（確率が二倍になる）

事象Eの主観確率P(C)＝１／２

∵ベイズの定理より

P(C|N)＝P(C) * P(N|C)＝１／２ * ２＝１（事象Dに一致）

□■（ステイ　or　チェンジ）…事象C

ゲームが多数回（N→∞）の時の事象Cの確率 P(C|N)

事象Cの尤度関数P(N|C)＝２（確率が二倍になる）

事象Cの主観確率P(C)＝１／２

∵ベイズの定理より

P(C|N)＝P(C) * P(N|C)＝１／２ * ２＝１（事象Dに一致）

『ステイのハズレの確率はチェンジの
当たりの確率に等しい』…事象D

事象Dの確率 P(D)＝１

■ゲームが一回と二回の時について

ゲームの回数N＜３の時…事象ｎ

プレイヤーのファーストチョイス時の当たりの確率…事象A

ゲームの回数N＜３の時の事象Aの確率 P(A|ｎ)

事象Aの尤度関数P(ｎ|A)＝３／２

事象Aの主観確率P(A)＝１／３

∵ベイズの定理より

P(A|ｎ)＝P(A) * P(ｎ|A)＝１／３ * ３／２＝１／２

以上により、
ゲームの回数N＜３の時
プレイヤーのファーストチョイス時の当たりの確率は
多数回（N→∞）の時の１．５倍に改定される

(3) モンティは残りのドアのうち1つを必ず開ける
(4) モンティの開けるドアは、必ずヤギの入っているドアである


(3) と(4) は一つにできる
『モンティは残りのドアのうちヤギの入っているドア1つを開ける』

□■■　ファーストチョイス

□■　セカンドチョイス

□■（ステイ　or　チェンジ）…事象C

ゲームの回数N＜３の時の事象Cの確率 P(C|ｎ)

事象Cの尤度関数P(ｎ|C)＝１（確率はそのまま）

事象Cの主観確率P(C)＝１／２

∵ベイズの定理より

P(C|ｎ)＝P(C) * P(ｎ|C)＝１／２ * １＝１／２

□■（ステイ　or　チェンジ）…事象C

ゲームの回数N＜３の時…事象ｎ

ゲームの回数N＜３の時の事象Cの確率 P(C|ｎ)

事象Cの尤度関数P(ｎ|C)＝１（確率はそのまま）

事象Cの主観確率P(C)＝１／２

∵ベイズの定理より

P(C|ｎ)＝P(C) * P(ｎ|C)＝１／２ * １＝１／２

ゲームが一回と二回の時は
『当たりとハズレどちらも同じくらい出る』
と判断するのが良い

ゆえに、ゲームの回数をN＜３にすると
当たりの確率は５０％になると予想できます

ゲームが多数回（N→∞）の時…事象N

プレイヤーがチェンジした時の当たりの確率…事象E


■事象Eの確率を求める

ゲームが多数回（N→∞）の時の事象Eの確率 P(E|N)

事象Eの尤度関数P(N|E)＝１

事象Eの主観確率P(E)＝２／３

∵ベイズの定理より

P(E|N)＝P(E) * P(N|E)＝２／３ * １＝２／３（主観確率と一致）

P(N|E)＝３／２の時、

P(E|N)＝P(E) * P(N|E)＝２／３ * ３／２＝１（１００％当たり）

ゲームが一回と二回の時に限り
直感で正しいと思える解答と、
論理的に正しい解答が一致する

ゲームが多数回（N→∞）の時…事象N

プレイヤーがチェンジした時の当たりの確率…事象E

モンティがハズレのドアを一枚開ける…事象B


■事象Eの確率を求める

ゲームが多数回（N→∞）の時の事象Eの確率 P(E|N)

事象Eの尤度関数P(N|E)＝１

事象Eの主観確率P(E)＝２／３

ゲームが多数回（N→∞）の時の事象Bの確率 P(B|N)＝１

∵ベイズの定理より

P(E|N)＝P(E) * P(N|E)／P(B|N)＝２／３ * １／１＝２／３（主観確率と一致）

P(N|E)＝３／２の時、

P(E|N)＝P(E) * P(N|E)＝２／３ * ３／２＝１（１００％当たり）

■モンティは何をしたのか？

モンティがハズレのドアを一枚開ける…事象B

□■（ステイ　or　チェンジ）…事象C

『ステイのハズレの確率はチェンジの
当たりの確率に等しい』…事象D


事象Bが起きたことによって
事象Cと事象Dも同時に発生する

この一連の事象を事象Fとする

■ゲームが多数回（N→∞）の時

P(F|N)＝P(B|N) * P(C|N) * P(D|N)＝１

■ゲームの回数N＜３の時

P(F|ｎ)＝P(B|ｎ) * P(C|ｎ) * P(D|ｎ)＝１／２

ゲームが多数回（N→∞）の時…事象N

プレイヤーがチェンジした時の当たりの確率…事象E

モンティがハズレのドアを一枚開ける事によって
引き起こされる事象…事象F


■事象Eの確率を求める

ゲームが多数回（N→∞）の時の事象Eの確率 P(E|N)

事象Eの尤度関数P(N|E)＝１

事象Eの主観確率P(E)＝２／３

事象Fの確率 P(F|N)＝P(B|N) * P(C|N) * P(D|N)＝１

∵ベイズの定理より

P(E|N)＝P(E) * P(N|E)／P(F|N)＝２／３ * １／１＝２／３（主観確率と一致）

P(N|E)＝３／２の時、

P(E|N)＝P(E) * P(N|E)／P(F|N)＝｛２／３ * ３／２｝／１＝１（１００％当たり）

■ゲームの回数N＜３の時

P(F|ｎ)＝P(B|ｎ) * P(C|ｎ) * P(D|ｎ)＝１／２になるのは

事象Cの尤度関数P(ｎ|C)＝１（確率はそのまま）であるから

事象 A、B が 同時に起こることがない 場合、
「事象 A、B は 互いに排反である」

事象 A、B が 同時に起こることがある 場合、
「事象 A、B は 互いに排反でない」 と言います

1組のトランプから1枚のカードを引いたとき
「ハートが出る」、「スペードが出る」 ということは同時に起きないので、
これらは互いに排反ですが、 「ハートが出る」、「２のカードが出る」
ということは同時に起こることがあるので、
排反な事象ではないです
（Ａ、Ｂが互いに排反事象になるときは、ＡまたはＢとなる確率は、
２つの事象の確率の和になります）

「試行」 というのは 「ひとつの操作」 のことで、
一般的には繰り返しおこなう操作を考えることが多いです

事象Aと事象Bを同時に満たす事象が空事象になる場合、
事象Aと事象Bは互いに排反事象といえます

■余事象（よじしょう）

余事象とは「“ある場合”以外」の事象のことです
さいころを投げる試行の場合、偶数の目が出る事象をAとした場合、
余事象は「奇数の目が出る」、あるいは「1, 3, 5のどれかが出る事象」
となります

『ステイのハズレの確率はチェンジの
当たりの確率に等しい』…事象D

■事象Dとは何か？

ステイでは、当たりとハズレが同時に出ることはない（排反事象）

チェンジでも当たりとハズレが同時に出ることはない（排反事象）

ステイの当たりの確率がPなら

チェンジの当たりの確率は１−P

モンティはプレイヤーのファーストチョイスのあと
プレイヤーの選ばなかった二つのドアのうち
ハズレのドアを一つ開ける（ゲームから除外）

□■

モンティはハズレのドアを一つゲームから除外するので
ハズレのドアが二枚残ることはない

■■…空事象

プレイヤーは最後に当たりとハズレのドアのうち
一つを開ける二択を必ず行う

□■（ステイ　or　チェンジ）…排反事象

■事象Dとは何か？

ステイでは、当たりとハズレが同時に出ることはない（排反事象）

チェンジでも当たりとハズレが同時に出ることはない（排反事象）


ステイの当たりの確率がPなら

チェンジの当たりの確率は１−P

ステイのハズレの確率は１−P

チェンジのハズレの確率はP

ゆえに、
『ステイのハズレの確率はチェンジの
当たりの確率に等しい』…事象D

１００枚で一組のトランプから１枚のカードを引いたとき
「ハートが出る」、「スペードが出る」 ということは
同時に起きないので、
これらは互いに排反事象です

スペードのエースが出る確率　P
ハートのエースが出る確率　１−P

Pは出るか出ないかの二つの可能性のみ（余事象）
１−Pも出るか出ないかの二つの可能性のみ（余事象）

ゆえに、
Pの確率は５０％
１−Pの確率も５０％

この確率を維持したまま
最後にもう一度二者択一を行うので
スペードのエースが出る確率は５０％です

ゲームが多数回（N→∞）の時…事象N

プレイヤーのファーストチョイス時の当たりの確率…事象A

□■（ステイ　or　チェンジ）…排反事象C

排反事象Cの尤度関数P(N|C)＝２

モンティがハズレのドアを一枚開ける事によって
引き起こされる事象…事象F


■事象Aの確率はチェンジで二倍になるか？

事象Aの主観確率 P(A)＝１／３

事象Fの確率 P(F|N)＝P(B|N) * P(C|N) * P(D|N)＝１

∵ベイズの定理より

P(A|N)＝P(A) * P(N|C)／P(F|N)＝｛１／３ * ２｝／１＝２／３（確率が二倍になる）

テクノロジー漫才？

しち難しい理論を並べるのなら、防御方法を示すほうが建設的だということに気づいたらどうだ？
カシコバカw

確率も尤度も数式や数値は同じである

しかし、確率と尤度は意味するところが異なり、それに係わる法則も違う

確率が「事象の確率」であるのに尤度は

「観察データの下での仮説の尤度

(likelihood for a hypothesis given a set of observations)」

である点に注意する

尤度(Likelihood)

------------------------
●「ベイズの定理」の導出
------------------------
いま，観察データＤが与えられたとして，
それを説明する対立仮説がＨi（ｉ＝1,2,...,m）であったとします．
このとき，仮説Ｈiの尤度Ｌ(Ｈi)＝Ｐ[Ｄ｜Ｈi]と定義されます．
言葉で言えば「仮説Ｈiのもとで観察Ｄが生じる確率」が
尤度Ｌ(Ｈi)ということです．

この定義式には条件付き確率Ｐ[・｜・]が含まれています．
一般に条件付き確率Ｐ[Ａ｜Ｂ]は：

Ｐ[Ａ｜Ｂ]＝Ｐ[Ａ＆Ｂ]／Ｐ[Ｂ]

すなわち，「“世界”をＢに限定したときにＡが生じる確率」と
定義されます．
したがって，積事象Ｐ[Ａ＆Ｂ]とは異なる概念で
あることに注意してください．

上の式を移項すると

Ｐ[Ａ＆Ｂ]＝Ｐ[Ａ｜Ｂ]・Ｐ[Ｂ]

となりますが，左辺に対して別の変形：

Ｐ[Ｂ＆Ａ]＝Ｐ[Ｂ｜Ａ]・Ｐ[Ａ]

と等価であることから，右辺どうしを等置し：

Ｐ[Ａ｜Ｂ]・Ｐ[Ｂ]＝Ｐ[Ｂ｜Ａ]・Ｐ[Ａ]
∴Ｐ[Ａ｜Ｂ]＝Ｐ[Ｂ｜Ａ]・Ｐ[Ａ]／Ｐ[Ｂ]

が導かれます．

ここでＡ，ＢをそれぞれＨi，Ｄと置き換えると：

Ｐ[Ｈi｜Ｄ]＝Ｐ[Ｄ｜Ｈi]・Ｐ[Ｈi]／Ｐ[Ｄ] （＊）

となります．左辺Ｐ[Ｈi｜Ｄ]をデータＤが与えられたときの
仮説Ｈiの事後確率（posterior probability）と呼び，
対する右辺のＰ[Ｈi]を
仮説Ｈiの事前確率（prior probability）と呼びます．
右辺のＰ[Ｄ｜Ｈi]はすでに定義した尤度です．
分母Ｐ[Ｄ]は仮説Ｈiに依存しない定数です．

この式（＊）は「ベイズの定理」として知られています．
言葉で言えば，ある仮説Ｈiの事前確率と尤度の積が
Ｈiの事後確率になるということです．

（＊）式の分母Ｐ[Ｄ]を変形します．条件付き確率の定義により：

Ｐ[Ｄ]＝Ｐ[(Ｄ＆Ｈ1)or(Ｄ＆Ｈ2)or...or(Ｄ＆Ｈm)] Ｈiの排反事象に分割
＝Σ[i=1〜m]Ｐ[Ｄ＆Ｈi] 総和記号で表記
＝Σ[i=1〜m]Ｐ[Ｄ｜Ｈi]・Ｐ[Ｈi] 条件付き確率に展開

したがって，ベイズの定理（＊）式は：

Ｐ[Ｈi｜Ｄ]＝Ｐ[Ｄ｜Ｈi]・Ｐ[Ｈi]／Σ[i=1〜m]Ｐ[Ｄ｜Ｈi]・Ｐ[Ｈi] （＊＊）

と変形できます．
この式は，事後確率が事前確率と尤度の関数で
あることを示しています．

Ｐ[Ｈi｜Ｄ]＝Ｐ[Ｄ｜Ｈi]・Ｐ[Ｈi]／Σ[i=1〜m]Ｐ[Ｄ｜Ｈi]・Ｐ[Ｈi]

と変形できます．
この式は，事後確率が事前確率と尤度の関数で
あることを示しています

P(A)＝Σ［ｉ＝１〜ｍ］Ｐ（Ａ｜Ｂｉ）（Ｂｉ）

P(A)＝Σ［i＝１〜ｍ］Ｐ（Ａ｜Ｂi）（Ｂi）

■排反事象Cの尤度関数P(N|C)＝２とは何か？

P(N|C)＝ｃとおく

ゲームが多数回（N→∞）であるからcのとる値は

1＜ｃ＜３の範囲になる可能性が高い

ｃ＝１ならチェンジでも当たりの確率は１／３のまま

ｃ＝３ならチェンジで１００％当たりになる

■０＜ｃ＜１の範囲の場合はどうか？

ｃ＝０．５ならチェンジすると当たりの確率が１／６

これはつまりファーストチョイス時の当たりの確率が１／６
（６回につき一回しか当りが来ない）
※しかしこのくらいのことはよく起こる

【事象】
観察しうる形をとって現れる事柄、できごと?

ここでの事象とは自然界の事象という意味で
確率論の事象ではない

P(N|C)＝P(N|A) * ２

ゲームが多数回（N→∞）の時…事象N

プレイヤーのファーストチョイス時の当たりの確率…事象A

□■（ステイ　or　チェンジ）…排反事象C

モンティがハズレのドアを一枚開ける事によって
引き起こされる事象…事象F


■事象Aの確率はチェンジで二倍になるか？

事象Aの主観確率 P(A)＝１／３

事象Aの尤度関数P(N|A)＝１

排反事象Cの尤度関数P(N|C)＝２

事象Fの確率 P(F|N)＝P(B|N) * P(C|N) * P(D|N)＝１

P(N|C)＝P(N|A) * ２

∵ベイズの定理より

P(A|N)＝P(A) * P(N|C)／P(F|N)＝｛１／３ * ２｝／１＝２／３（確率が二倍になる）

ステイでは、当たりとハズレが同時に出ることはない（排反事象）

チェンジでも当たりとハズレが同時に出ることはない（排反事象）


ステイの当たりの確率がPなら

チェンジの当たりの確率は１−P

ステイのハズレの確率は１−P

チェンジのハズレの確率はP


プレイヤーは最後に当たりとハズレのドアのうち
一つを開ける二択を必ず行う

□■（ステイ　or　チェンジ）…排反事象

｛P(N|C)／P(N|A)｝＝２

■事象Eの尤度関数P(N|E)について

ゲームが多数回（N→∞）の時の事象Eの確率 P(E|N)

事象Eの尤度関数P(N|E)＝１

事象Eの主観確率P(E)＝２／３

P(N|E)＝eとおくと

ゲームが多数回（N→∞）であるからeのとる値は

1／２＜e＜３／２の範囲になる可能性が高い

e＝１／２ならP(E|N)＝１／３

e＝３／２ならP(E|N)＝１（１００％最初にハズレを引く）

■事象Aの尤度関数P(N|A)について

ゲームが多数回（N→∞）の時の事象Eの確率 P(A|N)

プレイヤーのファーストチョイス時の当たりの確率…事象A

事象Aの尤度関数P(N|A)＝１

事象Aの主観確率 P(A)＝１／３

P(N|A)＝aとおくと

ゲームが多数回（N→∞）であるからaのとる値は

1＜a＜２の範囲になる可能性が高い

a＝１ならP(A|N)＝１／３

a＝２ならP(A|N)＝２／３

ステイでは、当たりとハズレが同時に出ることはない（排反事象）

チェンジでも当たりとハズレが同時に出ることはない（排反事象）

P(N|C)＝P(N|A) * ２

｛P(N|C)／P(N|A)｝＝２

チェンジで当たりの確率は二倍になるのか？

それともステイの当たりの確率が二倍になったのか？

A、Bを確率事象とするとき、　

P(A∪B）＝P(A)＋P(B)−P(A∩B）が成り立つ

特に、P(A∪B）＝P(A)＋P(B)が成り立つ（P（A∩B）＝０）とき、

事象AとBは、互いに排反という

サイコロを次に一回振って

１の目が出る確率　P＝A

１以外の目がでる確率　１−P＝B

事象AとBは、互いに排反事象なので

P(A∪B）＝P(A)＋P(B)が成り立つ

事象Aが起こる確率：P(A) （Aの生起確率）
０ ≦ P(A) ≦ １
P(A)＝０ : A は絶対に起こらない
P(A)＝１ : A は必ず起こる

Aは起こるか起きないかのどちらか（確率５０％）

余事象（Ac＝Ω−A）〜 A が起こらない確率：P(Ac)
P(Ac)＝１−P(A)

P(Ac)＝１−P(A)＝P(B)が成り立つ

ベイズの定理：
P(X)P(Y|X)=P(Y)P(X|Y)=P(X∩Y)

「 X も Y も起きる確率」

＝「 X が起きる確率」×「 X が起きたもとで Y が起きる確率」なので，

「 P(X∩Y)=P(X)P(Y|X) 」が成立

このように両側から考えることによって恒等式
P(X)P(Y|X)=P(Y)P(X|Y)
が成立することが分かります。これがベイズの定理です

上記の恒等式より P(X),P(Y|X),P(Y),P(X|Y) のうち
3つが分かれば残りの1つが分かります

P(Y) を事前確率
P(Y|X) を事後確率と呼びます

■事象Eの尤度関数P(ｎ|E)について

ゲームが多数回（N＜３）の時の事象Eの確率 P(E|ｎ)

事象Eの尤度関数P(ｎ|E)＝３／４

事象Eの主観確率P(E)＝２／３

P(ｎ|E)＝eとおくと

ゲームが多数回（N＜３）であるからeのとる値は

1＜e＜３／４の範囲になる可能性が高い

e＝１ならP(E|ｎ)＝２／３

e＝３／４ならP(E|ｎ)＝１／２（直観確率と一致）

743 名前：名無しさん＠お腹いっぱい。(神奈川県)[sage] 投稿日：2018/06/17(日) 20:23:13.28 ID:c6jIeEIa [8/12]
■事象Aの尤度関数P(N|A)について

ゲームが多数回（N→∞）の時の事象Eの確率 P(A|N)

プレイヤ

■事象Eの尤度関数P(ｎ|E)について

ゲームの回数が（N＜３）の時の事象Eの確率 P(E|ｎ)

事象Eの尤度関数P(ｎ|E)＝３／４

事象Eの主観確率P(E)＝２／３

P(ｎ|E)＝eとおくと

ゲームが多数回（N＜３）であるからeのとる値は

1＜e＜３／４の範囲になる可能性が高い

e＝１ならP(E|ｎ)＝２／３

e＝３／４ならP(E|ｎ)＝１／２（直観確率と一致）

P(E|ｎ)＝P(E) * P(ｎ|E)

P(E|ｆ)＝P(E) * P(ｆ|E)

３／４　１／２　３／２

■事象Aの尤度関数P(ｎ|A)について

ゲームの回数がN＜３の時の事象Eの確率 P(A|ｎ)

プレイヤーのファーストチョイス時の当たりの確率…事象A

事象Aの尤度関数P(ｎ|A)＝３／２

事象Aの主観確率 P(A)＝１／３

P(ｎ|A)＝aとおくと

ゲームの回数がN＜３であるからaのとる値は

1＜a＜２の範囲になる可能性が高い

a＝１ならP(A|ｎ)＝１／３

a＝３／２ならP(A|ｎ)＝１／２

事象Eの尤度関数P(ｎ|E)＝３／４

事象Aの尤度関数P(ｎ|A)＝３／２

事象Fの確率 P(F|ｎ)＝P(B|ｎ) * P(C|ｎ) * P(D|ｎ)＝１／２

P(F|ｎ)＝ｆとおく

P(E|ｆ)＝P(E) * P(ｆ|E)

P(ｎ|E)＝P(ｎ|A) * P(F|ｎ)＝（３／２ ）* （１／２）＝３／４

P(ｎ|A)＝a

P(ｎ|E)＝e

P(F|ｎ)＝ｆとおく

a＝e／ｆ

e＝aｆ

ｆ＝e／a

■事象Eの尤度関数P(ｎ|E)について

ゲームの回数が（N＜３）の時の事象Eの確率 P(E|ｎ)

事象Eの尤度関数P(ｎ|E)＝３／４

事象Eの主観確率P(E)＝２／３

P(ｎ|E)＝eとおくと

ゲームの回数が（N＜３）であるからeのとる値は

３／４＜e＜１の範囲になる可能性が高い

e＝１ならP(E|ｎ)＝２／３

e＝３／４ならP(E|ｎ)＝１／２（直観確率と一致）

■事象Aの尤度関数P(ｎ|A)について

ゲームの回数がN＜３の時の事象Aの確率 P(A|ｎ)

プレイヤーのファーストチョイス時の当たりの確率…事象A

事象Aの尤度関数P(ｎ|A)＝３／２

事象Aの主観確率 P(A)＝１／３

P(ｎ|A)＝aとおくと

ゲームの回数がN＜３であるからaのとる値は

1＜a＜２の範囲になる可能性が高い

a＝１ならP(A|ｎ)＝１／３

a＝３／２ならP(A|ｎ)＝１／２

a＝２ならP(A|ｎ)＝２／３（この場合チェンジする必要はない）

a＝３ならP(A|ｎ)＝１（完全な予知能力）

三枚のドアABCがあります
そのうち1枚にあたりのドアがあります
挑戦者が１枚のドアを選びます
ここで急に風が吹いてきて、
たまたま挑戦者が選ばないドアが開いてしまい、
しかもそのドアがはずれであることがわかってしまいました
さて、挑戦者は空いてないドアを選び直したほうが、
当たる確率が高くなるでしょうか？

□当たり　■ハズレ

ゲームを二回しか行わない場合は
期待値の設定ができない
（３回のうち何回当たるという表現ができない）

１□■■
２■□■

考えられる組み合わせは４つ

（□■　■□　□□　■■）

ベルヌーイ・トライアルとは、
「AかBのどちらかしか起こらない」、「yesかnoのどちらかしかない」、
「表と裏のどちらかしか起こらない」といった事象
（これをベルヌーイ型の事象と呼ぶ）を起こさせることをさす

ベルヌーイ過程は独立していて確率分布が同じな
ベルヌーイ試行の列である
個々の Xi のとりうる2つの値を
「成功; success」と「失敗; failure」と呼ぶこともある
0 か 1 で表されたとき、その値は i 番目の「試行」についての
成功回数を表しているともいえる
個々の成功/失敗の変数 Xi もベルヌーイ試行と呼ばれる

□当たり　■ハズレ

ゲームを二回しか行わない場合は
期待値の設定ができない
（３回のうち何回当たるという表現ができない）

１□■■…ｐ１
２■□■…ｐ２

考えられる組み合わせは４つ

（□■　■□　□□　■■）…ｐ３

ｐ１とｐ２は独立な試行
（ｐ１の結果がｐ２の結果に影響を与えない）

ｐ１の確率は５０％、ｐ２の確率は５０％
（ベルヌーイ・トライアル）

以上により、
ｐ３のそれぞれの要素の起こる確率は
すべて等しく各２５％になる

（□■　■□　□□）…ｐ４

（■■）…ｐ５