テクノロジー犯罪

真鍋里紗〔京都陶化中学出身今年30〕

石井啓資〔嵐山中26〜7〕

ゆうき〔西院中25〕

中村杏奈〔洛西中20代〕

藤巻〔九条中30〕

じゅんき〔岩倉中26〕



こいつらほど粕なテク犯はいまいw

期待値μであるような
独立同時分布確率変数列X１、X２…の算術平均

［Xｎ］＝｛X１＋X２＋…Xｎ｝／ｎ

のとる値は、十分大きなｎまで考えれば、
ほとんどのｎでおおよそμである

[Xｎ]がμから大きく外れるようなｎの現れる確率は
ｎを無限に大きくすると０に近づく

lim［Xｎ］＝μ　in probability
ｎ→∞

■ゲームが一回でドアがｎ枚で当りを引く確率

ｎ→∞に向かうと

P(A)＝（ｎ＋１）／２ｎ

ｎが奇数の時は

P(A)＝｛（ｎ＋１）／２｝／ｎ

２／３

５／８

３／５

７／１２

４／７

■ゲームが一回でドアがｎ枚で当りを引く確率

ｎ→∞に向かうと

P(A)＝（ｎ＋１）／２ｎ

ｎが奇数の時は

P(A)＝｛（ｎ＋１）／２｝／ｎ


ドアが３枚　P(A)＝２／３

ドアが４枚　P(A)＝５／８

ドアが５枚　P(A)＝３／５

ドアが６枚　P(A)＝７／１２

ドアが７枚　P(A)＝４／７

□□　■■　■■
□□　■■　■■
□□　■■　■■

□□　■□　■■
■□　■■　■□
□■　■■　■■

■■　■□　□■
■■　□■　■□
■■　■□　□■

ゲームの回数を一回で固定して

ドアの枚数を増やすことをｎ回繰り返しのゲームとして
置き換える

これは1bitΔΣ変調回路からのアイデア

limP（|｛X１＋X２＋…＋Xｎ｝／ｎ−μ|≧ε）＝０
n→∞

正数 ε＞0

■ドアが二枚の時のモンティの介在方法

プレイヤーのファーストチョイス

□□　■■　
□□　■■　
□□　■■　P(A)＝１／２

モンティはプレイヤーが当たりを引いていても
ハズレのドアは開けずにセカンドチョイスを問う

□□　■■　
□□　■■　
□□　■■　P(A)＝１／２

プレイヤーが最初にハズレを引いている時は
最初からドアを開けられないので
モンティはステイorチェンジのみを問う

Ω＝｛（i，j）|１≦i≦２，１≦j≦２｝

#A＝２ｘ２−１ｘ１＝４−１＝３なのでAの起こる確率ｐ＝３／４

#Aは事象Aに含まれる要素の個数

ドアが二枚の時は当たりの確率P(A)＝３／４

平面内の集合 A に対して, 　その面積を |A| で表すことにする.

平面内の集合 A, B に対して |A ∪ B| = |A| + |B| ? |A ∩ B|.

特に A ∩ B = ? を満たせば |A ∪ B| =P(A) + P(B).

平面内の集合Aに対して,その面積を|A|で表すことにする.

平面内の集合A, Bに対して|A∪B| = |A|+|B|−|A∩B|.

特にA∩B = 0を満たせば|A∪B| =P(A)+P(B).


確率は面積や体積の親戚と言ってよい

■ドア三枚でゲームを一回だけ行った時の確率空間

Ω＝｛（i，j）|１≦i≦３，１≦j≦２｝

Ｆ＝Ωの部分集合全体

P(A)＝Ａの要素の個数／６

?

有限集合Ω＝｛ω1，…，ωn｝

ＦをΩの部分集合全体

各根元事象ωiの確率をｐi


P(A)＝Σ｛i|ωi∈Ａ｝ｐi と定義すると

（Ω，F，P）は確率空間である

n
σ＝√１／ｎΣ（Xi−μ）^2
i=1

標準偏差はデータの散らばり具合を表す指標です
標準偏差が大きい→平均 μ から遠く離れたデータが多い→散らばり大
標準偏差が小さい→平均 μ に近いデータが多い→散らばり小
と解釈できます

０．００４４４４
０．０００６２５
０．０００２７７
０．０００８１６

０．００６１６２
０．００１２３２４

０．０００００１５１８８

１／１５

１／４０

１／６０

１／３５

＝０．０１２３７５５６６８９

０．００１２３２４

分散が大きい→平均 μ から遠く離れたデータが多い→散らばり大
分散が小さい→平均 μ に近いデータが多い→散らばり小

０．００４４４４４４４４４
０．０００２７７７７７７７
０．０００８１６３２６５３

０．００６１６３５４８６７
０．００１２３２７０９７３

? = { 晴, 曇, 雨, 雪 } とおくとき，

F = {φ, ?, { 晴, 曇 }, { 雨, 雪 }} は，σ 集合族である．

Ω = { 晴, 曇, 雨, 雪 } とおくとき，

F = {φ, Ω, { 晴, 曇 }, { 雨, 雪 }} は，σ 集合族である．

携帯型心理診断鎮圧執行システム

P(A)＝nCxP^x（１−P）^n-x

Ω＝｛当たり，ハズレ，ハズレ} とおくとき，

F＝｛φ，Ω，｛当たり，ハズレ｝，｛ハズレ，ハズレ｝｝は，σ 集合族である．

● 定理（ド・モアブル−ラプラスの定理）

(1) n が十分大きければ，二項分布 B(n, p) は，近似的に正規分布
N (n p, n p q) （ q = 1 ? p ）
に従うと考えてよい（注）十分大きな n の基準例： n ? 100

(2) 従って， X 〜 B(n, p) （ n ? 100 ）のときは，
X 〜 N (n p, n p q)である

■ドアが四枚の時のモンティの介在方法

プレイヤーのファーストチョイス

□□|　■■　■■　■■
□□|　■■　■■　■■
□□|　■■　■■　■■　P(A)＝１／４

プレイヤーのファーストチェンジ

□□|　■■　■■
□□|　■■　■■
□□|　■■　■■　P(A)＝３／８

プレイヤーのファーストチェンジで
当たりを引いている時は
モンティはプレイヤーのファーストチョイス時のドアを開く

■■|　□□　■■
■■|　□□　■■
■■|　□□　■■　P(A)＝１／３

プレイヤーのセカンドチョイス
（ステイorチェンジ）

□□|　■■　
□□|　■■　
□□|　■■　P(A)＝１／２


Ω＝｛（i，j，k）|１≦i≦４，１≦j≦３，１≦k≦２｝

#A＝４ｘ３ｘ２−３ｘ２ｘ１＝２４−６＝１８なので

Aの起こる確率ｐ＝１８／２４＝３／４

#Aは事象Aに含まれる要素の個数

ドアが四枚の時は当たりの確率P(A)＝３／４

プレイヤーがCのドアを選択した時は
モンティはAのドアを開ける

P(B|C)＝P(B) * P(C|B)＝３／４
P(B|A)＝P(B) * P(A|B)＝３／８

P(C|A)＝P(C) * P(A|C)＝３／８

ここからステイorチェンジすると

P(B|C)＝１／４
P(B|A)＝５／８

P(C|A)＝５／８

Ω＝｛（i，j，k）|１≦i≦４，１≦j≦３，１≦k≦８，１≦l≦２｝

#A＝４ｘ３ｘ８ｘ２−３ｘ２ｘ７ｘ１＝１９２−４２＝１５０なので

Aの起こる確率ｐ＝１５０／１９２＝７５／９６

#Aは事象Aに含まれる要素の個数

ドアが四枚の時は当たりの確率P(A)＝７５／９６

P(B|A)＝P(B) * P(A|B)＝４／１５
P(B|C)＝P(B) * P(C|B)＝１１／３０
P(B|D)＝P(B) * P(D|B)＝１１／３０
P(C|A)＝P(C) * P(A|C)＝４／１５
P(C|D)＝P(C) * P(D|C)＝１１／３０
P(D|A)＝P(D) * P(A|D)＝４／１５
P(D|C)＝P(D) * P(C|D)＝１１／３０

P(B|C)＝P(B) * P(C|B)＝４／５
P(B|A)＝P(B) * P(A|B)＝２／５

P(C|A)＝P(C) * P(A|C)＝２／５

Ω＝｛（i，j，k）|５ｘ４ｘ１５ｘ３０ｘ３ｘ２，４ｘ１４ｘ２９ｘ３ｘ２ｘ１｝

#A＝５４０００−９７４４＝４４２５６なので

Aの起こる確率ｐ＝４４２５６／５４０００＝０．８１９５５５５５５５５

#Aは事象Aに含まれる要素の個数

ドアが五枚の時は当たりの確率P(A)＝０．８１９５５５５５５５５

９２２／１１２５

Ω＝｛（i，j，k，l，m，n）|５ｘ４ｘ１５ｘ３０ｘ３ｘ２，４ｘ１４ｘ２９ｘ３ｘ２ｘ１｝

#A＝５４０００−９７４４＝４４２５６なので

Aの起こる確率ｐ＝４４２５６／５４０００＝０．８１９５５５５５５５５

#Aは事象Aに含まれる要素の個数

ドアが五枚の時は当たりの確率P(A)＝９２２／１１２５

＝０．８１９５５５５５５５５

ちなみに４／５＝０．８

Ω＝｛（i，j，k，l，m，n）|５ｘ４ｘ１５ｘ３０ｘ３ｘ２，４ｘ１４ｘ２９ｘ３ｘ２ｘ１｝

#A＝５４０００−９７４４＝４４２５６なので

Aの起こる確率

ｐ＝４４２５６／５４０００＝０．８１９５５５５５５５５

#Aは事象Aに含まれる要素の個数

ドアが五枚の時は当たりの確率

P(A)＝９２２／１１２５＝０．８１９５５５５５５５５

ちなみに４／５＝０．８

□■■■■■１／６　５／６

□■■■■１／６　５／２４

□■■■１／６　５／７２

□■■１／６　５／１４４

□■１／６　５／２８８

□■■■■■１／６　５／６

□■■■■１／６　２０／２４

□■■■１／６　６０／７２

□■■１／６　１２０／１４４

□■１／６　２４０／２８８

Ω＝｛（i，j，k，l，m，n，o，p，q）|

６ｘ５ｘ４ｘ２４ｘ７２ｘ１４４ｘ２８８ｘ３ｘ２，５ｘ４ｘ２３ｘ７１ｘ１４３ｘ２８７ｘ３ｘ２ｘ１｝

#A＝５１５９７８０３５２０−８０４２３９４３６０＝４３５５５４０９１６０なので

Aの起こる確率ｐ＝４３５５５４０９１６０／５１５９７８０３５２０＝０．８４４１３３００９３２

#Aは事象Aに含まれる要素の個数

ドアが六枚の時は当たりの確率P(A)＝０．８４４１３３００９３２

ちなみに５／６＝０．８３３３３３３３３３３

ハートのエース５枚とスペードのエース１枚を含む

６枚のカードで最初にスペードを引く確率は

P(A)＝１／６

最初の選択が不変でないと

ここからチェンジを繰り返して残り二枚になった時

最初に引いたカードの確率は７／１２になってしまう

□■■■■■１／６　５／６

□■■■■１／６　５／２４

□■■■１／６　５／２４　５／１６　５／１６

□■■１／６　５／２４　５／８

□■１／６　５／６

１／６　５／１６　２５／４８

Ω＝｛（i，j，k，l，m，n，o，p，q）|

６ｘ５ｘ４ｘ２４ｘ１６ｘ８ｘ４８ｘ３ｘ２，５ｘ４ｘ２３ｘ１５ｘ７ｘ４７ｘ３ｘ２ｘ１｝

#A＝１０６１６８３２０−１３６２０６００＝９２５４７７２０なので

Aの起こる確率ｐ＝９２５４７７２０／１０６１６８３２０＝０．８７１７０７４９２４

#Aは事象Aに含まれる要素の個数

ドアが六枚の時は当たりの確率P(A)＝０．８７１７０７４９２４

ちなみに５／６＝０．８３３３３３３３３３３

P(A)=(1*12*11*10)/(4*51*50*49)
P(B)=(3*13*12*11)/(4*51*50*49)

P(A)=１３２０/４９９８００
P(B)=５１４８/４９９８００

P(A)=６６０/２４９９００
P(B)=２５７４/２４９９００

１６１７／１２４９５０

３３／１２４９５

トランプ問題に使用されるトランプの山札は

『シャッフルしてからカードを３枚続けて引くと
必ずダイヤが出る山札なのです』

この実績は確率１で毎回繰り返されます

最初の一回目はカードを先に一枚引いてから
シャッフルするので、この実績の影響は受けず
箱の中のカードの確率は１／４です

二回目以降は、
この実績を持った山札から一枚のカードを引いて
箱に入れるので箱の中のカードの確率は変化します

Ω＝｛（i，j，k，l）|１≦i≦４，１≦j≦３，１≦k≦８，１≦l≦２｝

#A＝４ｘ３ｘ８ｘ２−３ｘ２ｘ７ｘ１＝１９２−４２＝１５０なので

Aの起こる確率ｐ＝１５０／１９２＝２５／３２

#Aは事象Aに含まれる要素の個数

モンティがプレイヤーが最初に選択したドアを
開けることができる場合
ドアが四枚の時の当たりの確率P(A)＝２５／３２

ｑ＝１−ｐだから

最初に当たりを引く確率ｑ＝７／３２＝０．２１８７５

ドアが四枚の時はモンティが二回ハズレを開けられるので
プレイヤーが最初に選択したドアの確率は下がる

トランプ問題をモンティホール問題に置き換えるには
『箱の中にダイヤのカードがあれば当たり』
と設定することです
モンティは当たりのドアは決して開けないので
ダイヤを当たりと設定すると整合性を失います

トランプ問題のダイヤのカードは
モンティホール問題におけるハズレドアに対応する
つまり、排反事象
トランプ問題の箱の中のダイヤの確率は
山札からダイヤのカードが出るほど減少するのです

Ω＝｛（i，j，k，l，m，n）|５ｘ４ｘ１５ｘ３０ｘ３ｘ２，４ｘ１４ｘ２９ｘ３ｘ２ｘ１｝

#A＝５４０００−９７４４＝４４２５６なので

Aの起こる確率

ｐ＝４４２５６／５４０００＝０．８１９５５５５５５５５

#Aは事象Aに含まれる要素の個数

ドアが五枚の時は当たりの確率

P(A)＝９２２／１１２５＝０．８１９５５５５５５５５

ちなみに期待値４／５＝０．８

ｑ＝１−ｐだから

最初に当たりを引く確率ｑ＝２０３／１１２５＝０．１８０４４４４４４４４

期待値１／５＝０．２

モンティホール問題において
『最初にハズレを引く確率は当たりを引く確率の二倍になる』
という気づきが重要なように

トランプ問題においては
『個別のダイヤのカードの確率は計算不要』
という気づきが重要になります

これに気が付かないと
余計な確率の計算をしてしまうことになります

実際の条件付確率の式

P(A)＝(１３ｘ１２ｘ１１ｘ１０)／(５２ｘ５１ｘ５０ｘ４９)
P(B)＝(３９ｘ１３ｘ１２ｘ１１)／(５２ｘ５１ｘ５０ｘ４９)

分母(５２ｘ５１ｘ５０ｘ４９)は不要
分子の(１３ｘ１２ｘ１１)も不要

P(A)＝１０
P(B)＝３９

P(A)＋P(B)＝４９

P(A)／｛P(A)＋P(B)｝＝１０／４９

(｡･ω･)y-~~ これ…メッチャ単純な話だと思うけどなぁ…

確かに最初に引いた時の確率は１/４だよ…
でもさぁ…表見てないんだろ？

なら…ダイヤ３枚引いた後に箱から出して
表見るとゆ〜行為は…
ダイヤが１０枚含まれている４９枚のカードから
１枚引くのと同じ行為じゃん…

故に答えは１０/４９

箱の中のカードを確認する＝四枚目のカードを引く

中心極限定理は

√n(X￣n ? m)／σ

の値が収束すると言っているのではなく
確率が収束すると述べている

中心極限定理は

√n(X￣n−m)／σ

の値が収束すると言っているのではなく
確率が収束すると述べている

X1, X2, . . . , Xn, . . . を同じ分布に従う期待値 m, 分散 σ^2

最初にプレイヤーが選択したドアの当たりの確率P(A)

ゲームの回数ｎが大きくなるにつれて

期待値μ　分散σ^2の

正規分布N（μ，σ^2／ｎ）に近づくことを示せばよい

三枚のダイヤ→確認情報　確率１

山札４８枚→未確認情報

箱の中のカード１枚→未確認情報


■箱の中のカードがダイヤである確率

￣

２つの事象A、Bが独立である場合、

事象Aかつ事象Bが同時におこる確率

Ｐ(Ａ∩Ｂ)＝Ｐ(Ａ)×Ｐ(Ｂ)

Ｐ(A｜Ｂ)＝Ｐ(Ａ∩Ｂ)／Ｐ(Ｂ)

Ｐ(Ａ∩Ｂ)＝Ｐ(Ａ)×Ｐ(Ｂ)だよ

　１...２..３..４..５
１■■■□□
２■■■□□
３■■■□□
４■■■□□
５■■■□□
６■■■□□
７■■■□□
８■■■□□

P(A)｛P(B−)／P(C−)｝＝P(A)

モンティがドアCを開けた時には必ずドアAが選択可能

この時、プレイヤーは必ずドアAを選択する

モンティがドアCを開けた時の確率

P(C−)＝５／８

プレイヤーがドアAを開けた時の当たりの割合

P(B−)＝５／８

∵P(A)｛P(B−)／P(C−)｝＝P(A)