運営の方針は規約に書いてある
https://www.udio.com/terms-of-service

以下Chrome翻訳:

1.2 お客様は、ご自身の出力または他のユーザーの出力のコピーをダウンロードすることはできません。お客様は、ご自身の出力または他のユーザーの出力、もしくはその一部を、いかなる個人用デバイス、ストリーミングプラットフォーム、またはユーザー生成コンテンツプラットフォーム（例：YouTube、Facebook、Instagram、TikTok、Spotify、Soundcloud、および類似のプラットフォーム）にもダウンロード、複製、送信、表示、公開、またはその他の方法で配布または利用可能にしないことを誓約し、同意するものとします。

ストリームURLへの直アクセスはそのログが残るから危険
ブラウザのUIで再生されているものをキャプチャーするのが最も安全
その音源をネット上のどこにも共有しないなら追跡はできないと思います