【数学】解けたら１億円　数学者も恐れる「ハマると病む難問」コラッツ予想　日本のベンチャー企業が世界最高レベルの懸賞金 [すらいむ★]

数学者も恐れる「ハマると病む難問」　解けたら1億円、企業が懸賞金

　一見単純そうなのに80年以上も数学者を悩ませている未解決問題「コラッツ予想」の証明に、日本のベンチャー企業が1億2千万円の懸賞金をかけた。
　数学の問題にかけられた懸賞金としては世界最高レベル。
　問題は小学生でもわかるほど簡単だが、数学者の間では「はまると病む難問」「宇宙人が仕向けた罠（わな）」などと恐れられる。
　一体どんなものなのか。

　コラッツ予想は、1、2、3……と無限に続く整数の問題だ。
　1937年、ドイツの数学者ローター・コラッツ（1910〜90）が予想したのは、次のような内容だった。

（以下略、続きはソースでご確認下さい）

朝日新聞DIGITAL　2021年9月4日 12時07分
https://www.asahi.com/articles/ASP937HM6P8ZULBJ00T.html

初歩的な無限等比級数の問題だな
偶数奇数はあまり関係ない

8191を計算してみ

8191だと158回だな

宿題：
サイクルの長さが6になるサイクルの最小値ｘは存在しないことを証明しなさい。
さらに
サイクルの長さが7になるサイクルの最小値ｘは存在しないことを証明しなさい。
（15点）

同様にサイクルの長さが6にあるコラッツの列は無いことを示そう。

以前のサイクルの長さ5の非存在の証明の途中で
　「x_5 = (3(3x+1)+2)/4　である」,
というところまではまったく同じように進む。

そうして、もしもx_5 が奇数である場合には、
　x_6 = 3(3(3x+1)+1)/4+1 = 27x/4 + 4
　となり、x_6は偶数になるから、
　x_7 = x_6/2 = 27x/8 + 2
　となるが、サイクルの長さが6であるとすれば、
　x_7=x_1 であることより　x = 27x/8 + 2 であるが、
　この方程式は自然数解を持たない。

それではx_5が偶数であるとする場合は、
　x_6 = x_5/2 = (9x+5)/8 である。
　もしもこのx_6が奇数であるとすると、
　x_7 = 3 x_6 + 1 = (27x+23)/8であり、x_7 = x_1にはなり得ない
それではx_6が偶数であるとすると、x_7=(9x+5)/16となる。
x_7=x_1 は方程式 x = (9x+5)/16を導くがこれは自然数解を持たない。
よって、サイクルの長さ6のコラッツ列は存在しない。

>>140
なるほど！おもしろい
サイクル長nは証明できてそうだから、あとはサイクル長n+1が示せればってアプローチ？

偶数と奇数の場合分けが爆発していきそうな気がするけど
違うのかな

2^x=3^y+z
の整数解はzが大きすぎてコラッツの列である条件を満たさないとか言えないかな

>>143
どっちかというと
積でやる方が良さそうな気がしますが
和でやるのは巧いやり方があるのですか？

2^6=64
2^7=128

あ、違ったか

10→5→16→8→4→2→1
3→10→5→16→8→4→2→1
よく解らないけれどこれはサイクルではないのかな

任意の基数変換の性質の研究から始めた方が近道な気がする

>>133
x3がx4より小さくなっていけない理由はなんでしょうか？

147

10→5→16→8→4→2→1 ->4->2->1->4->2->1 .....
つまりそれはサイクル（1−＞4−＞2−＞1）に飛び込む前の助走部分が付いている。
一端サイクルに入り込んだら、いつまでも同じところをぐるぐる回る。

古池や、蛙飛び込む、水の音。

https://www.asahi.com/articles/ASP937HM6P8ZULBJ00T.html

>この問題を解決するためには、以下の二つを示せばいいことがわかっている。
> �@操作をした時に、○→△→◇→☆→○のように最初の数に戻ってしまう
> 循環パターンがないこと（ただし、1→4→2→1を除く）
> �A操作をした時に、数がどんどん大きくなってしまう発散をしないこと

>>134
↑は変な質問になってしまいましたが
x1の最小性の要求はどこからきたものですか？

ちなみにサイクルがないことだけでも
証明が可能なら驚くほどの前進ですね

>>131
最小値をx1として始めてますね
これは納得できる定義でしたので
質問の回答は不要です

コラッタ予想

コラッツの初期値をうまく選んで、
値がいくらでも増大するような数列が得られた、
と仮定してみる。

そのような性質をもつ初期値の最小値をz_1=tとする。

すると、z_1が2で割り切れるのならば、初期値 z_1 / 2 から始めても
同じ性質をもつ数列が得られるので、z_1の最小性に反するので、
z_1 = t は奇数であってしかも1ではない。
すると
z_2 = (3z_1 + 1) = 3t+1、
z_3 = (3z_1 + 1)/2 = (3t+1)/2　である。
このときz_3は偶数ではありえない。
（なぜならば、z_3が偶数であるとすると　z_4 = (3t+1)/4 であるが、
　そうであれば z_4 - z_1 = (1-t)/4 となり、tは1ではない正の奇数だから
　z_4 < z_1 となってしまい、 z_1 の最小性に反する。 ）
よってz_3 は奇数であるので、
　z_4 = 3 z_3 + 1 = 3(3t+1)/2 + 1 であり、
　z_5 = z_4 / 2 = 3(3t+1)/4 + 2/4 = (9t+5)/4 となる
（このz_5が整数であるためにはtは4を法にして3に合同な奇数に限られる。）

ここで詰まる。

３倍して２で割るを繰り返すと1.5の累乗だから無限大
３倍して１足した数がもっと２で割れて
１より小さい数の累乗だと自然数最小の１に収束する
自然数が２の倍数の確率は1/2、４の倍数の確率は1/4……
1/2+1/4+1/8+……=１
１ってことは更に１回２で割れるってことで
１より小さい数の累乗になる

>>67
アルヨ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%A9%E3%83%83%E3%83%84%E3%81%AE%E5%95%8F%E9%A1%8C

奇数は１ステップの操作（３倍して１を足す）で、必ず偶数になる

偶数を２で割っても、また偶数になる可能性があるので、２で割る操作の方が必ず多くなる

３倍する操作をｍ回、２で割る操作をｎ回とすると、

（３×ｍ回）／（２×ｎ回）＜１　なら、もとの数はｍ以下に収束する

自然数のうち、２のｋ乗（ｋも自然数）で表される数の割合は、４分の３

したがって、ｎはｍの１．５倍以上

もとの数は有限のｍ以下に収束し、繰り返し操作で１になる

任意のステップ数で発散せず、奇数は１ステップで必ず偶数になるので循環しない

そんな全然トリビアルでない命題を、
ポンポンと無証明で持ち出されましてもね、
単なる論理の飛躍の戯言はお腹いっぱいです。

そんな全然トリビアルでない命題を、
ポンポンと無証明で持ち出されましてもね、
単なる論理の飛躍の戯言はお腹いっぱいです。

スパーコンピュータの富岳にプログラムを組んで
検証すれば、答えは見つかると思います。

スパーコンピュータの富岳にプログラムを組んで
検証すれば、答えは見つかると思います。

人工知能は一応答えを出すかもしれないけど、証明できません。ちゃんちゃんで終わるな。

3の10乗と1÷2÷2… 11回の関係は
1774147÷2024で87 1059⁄2024
1059/2024は1対2 1/2の関係になるから
コラッツ予想で計算される全ての数字は1/2される
全て1/2れるなら最後は1になるからコラッツ予想は正しい

間違えた1÷2÷2と11回やれば1/2048だな
それだと86 1019⁄2048になるな
1019/2048

1re(1/6)+θ2=6ω
はい、1億円

5の10乗やって2048でわり算すると23841 1757⁄2048
1757/2048だからコラッツ予想よりも難易度上がるけど数字は減っていくな

ちょっとやってみたけどわりきれない

5以上の数字を5倍したら5の時は13よりも少ない数字に割れなかった

また朝日の捏造か？

5倍する時なら4又は2でわり算してよくて6.5とかになった時は0.5引き算して計算していくとか新たなルールが必要だな

>>166
こういう視点はなかったですね

虚数空間へ拡張すると
おもしろい性質でてくるのかなぁ

たしかに虚数側に関してはサボってましたが

ちょっと変な表現だった

自然数のうち、偶数の割合が２分の１
さらに１回以上割れる２のｋ乗（ｋも自然数）で表される数の割合は、４分の１以上
合計４分の３以上

あ、>>158です。
留数がどうこう言ってる人とは別人です

>>1
グリゴリー・ペレルマンはポアンカレ予想を解いたが懸賞金の100万ドルを受け取らなかった。
ポアンカレ予想もポアンカレ定理と呼ぶべきなんがポアンカレ予想のまま変更されていない。
1億円の証明問題って解けると人生潰すんだろうな

>>172
意味わからんけど？
分かってレスしてるの？

>>176
気が狂うほど因数分解してるので
ωはよく見かける型式なのですが

Σx^nの形まで拡張できるのでしょうかね

分数を１にするのは、難しいですね。

>>178
逆数を掛けてみてわ

３倍して１を足すの１って直近の偶数を
作るための便宜的なものかと思ってたけど
１を引いた場合と全然違うな

>>180
そうね
たしかに小さな違いだけど3n-1だと5で循環する5,14,7,20,10,5
たしか5nのも循環してたような
3n+1だけ特別なんじゃ？って気もするな

コラッツの列を初期値ｘから始めて求めて、途中で現れる最大の数をM(x)とする。
但し、幾らでも大きくなるときはM(x)＝∞と定義することにしよう。

実験で得られている範囲で、ｘに対してM(x)の上界としてはどのようなものが
知られている・可能だろうか？

　M(x)=O(3^x)とかM(x)=3^{O(x)}程度だろうか？

>>182
O(x)の定義が不明

AIに解かせたら権利認められなくなりそう

武漢ウイルスの感染増減パターン
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%A9%E3%83%83%E3%83%84%E3%81%AE%E5%95%8F%E9%A1%8C#/media/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Collatz5.svg

>>182
Οはランダウ記号？
冪では増えない
もっとなだらか
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Collatz_Gif.gif

186>
このグラフの横軸と縦軸は何かな？

ｘに対してM(x)は、ｘを初期値とした場合に、コラッツの列が途中でとる最大の
整数値のつもりなんだが、このグラフの表しているは何ステップたてば1にまで
落ちるかのステップ数のような気がするが。

>>187
お返事ないんでまた聞くけどΟはランダウ記号ということでよい？
グラフの読み方はあってる
自明だけどM(x)は2のステップ数乗より小さいから
「横軸はxそのもの、縦軸はlog2(M(x))」って読み換えてもΩを気にしないなら問題ない
なので、Οは冪にならないし指数でもないし、もっと踏み込むと対数のはず

ランダウの記号だろ。

数列の数値の上がりや下がりがなんども激しくあれば、1に到達するまでの
数列の長さの2巾によってM(x)を押さえるというのは、あまりにも評価が
甘すぎる気がする。

>>189
あまいかな？自明だと思ったんだけど
例えば5ステップでM(x)が32を超えるxは存在しないよね？
何か盛大な勘違いしてたらごめんw

アンサイクロペディア読んだらコラッツも証明されてた真実書いたらつまらないされるのに
1=2が証明されたのは大きいな

データを全て失った気がするが
とりあえず書いておこう

> R(k=3)=111101101000010010
> n0=09,05桁R0=10010
n1=27,23桁R1=10010111101101000010010
n2=45は正しかった

それではk=4はどうか
R(k=4),n0=27

(R0+1)3^4→
=010101010101010101010101011*11

10101=01001+01100=00111*11

(R0+1)3^3→
=010101,010101,010101,010101,011=
=000111,000111,000111,000111,001*11

=1001*1001=1010011=
+1001*1000
+0001001*1

(R0+1)3^2→
=000111000111000111000111001=
+000100100100100100100100100
+000001100001100001100001100
+000001000001000001000001001
=
+000001100001100001100001100*11
+000000100000100000100000100*11
+000000110000110000110001001
+000000010000010000010000000
=
+000001100001100001100001100*11
+000000100000100000100000100*11
+000000010000100000010000011*11
+000000000100000010101100000*11
+000000000001011000000100000*11
=000001210102311011311201211*11
=000010010111111101000010011*11

=000000010000010000010000000=
+000000001100001000000100000
+000000000100001000001100000
=
+000000000100000010101100000*11
+000000000001011000000100000*11

(R0+1)3^1→
=000010010111111101000010011=
+000010010110011000000000011
+000000000001100001000010000
=
+000000110010001000000000001*11
+000000000000100000010110000*11
=000000110010101000010110001*11

R0=110010101000010110000

当然といえば当然でしたが
R0(k=4)は0ではなく21桁となりました

問題

y=2^3^x+1

yは3を幾つ因数にもつか

問題

y=3^2^x-1

yは2を幾つ因数にもつか

ちなみに>>194との
なんらかの対称性を表現可能か

うぼ

>>195

y2=8^x2+1→1000^x2+1
y3=9^x3-1→1001^x3-1

こっちはくそシンプルです

1001*1001=1001^2
+1001*1000
+0001001*1
=1010001

1001^3=
+1010001*1000
+0001010001*1
=1011011001

1001^4=
+1011011001*1000
+0001011011001*1
=1012022012001
=1100110100001

1001^5=
+1100110100001*1000
+0001100110100001*1
=1101210210101001
=1110011010101001

1001^6=
+1110011010101001*1000
+0001110011010101001*1
=1111121021111102001
=2000001101111110001
=10000001101111110001

1001^8=
=1100110100001^2

なんでいままで気がつかなかったと思うほど

>>197

> y2=8^x2+1→1000^x2+1
> y3=9^x3-1→1001^x3-1

こんな感じはやり易いのだが

y(x)=8^x+1=3^k*Y
8^02x-1=y(8^x-1)
8^04x-1=y(8^x-1)(8^2x+1)
8^08x-1=y(8^x-1)(8^2x+1)(8^4x+1)
8^16x-1=y(8^x-1)(8^2x+1)(8^4x+1)(8^8x+1)

8^02x+1=y(8^x-1)+2
y(2x)=y(x){y(x)-2}+2=y*y-2y+2=(y-1)^2+1

これは意外と重要な変換だと思います
別の操作から導出しようとしたモノにそっくりです

だがこのタイミングで出すやつではないですね

>>195
パッと見で常に2つ以上もつことはわかるが、これってxの関数で書けるの？

>>199
漸化式的な表現はできそうだと思います
xの関数はどうでしょうか？

>>200
コラッツ予想関係なくてスレチだけど出題者のヒントほしいよね
同じ人かどうかわからんが…
漸化式は>>198で試みてること？記法が独特で良く理解できてないけど
>>197は冪のバイナリ法に似たものを独自に見つけたってことなのかな？Hacker's Delight読むともっと面白い演算が解説されてて、特にポピュレーションカウントは感動モノなのでおすすめ

>>201

答えがある問題かどうかはわかりませんよ

ちなみにコラッツ予想を考えてる際に
検討したので全く無関係というわけではありませんが
ほんとに関係あるのか無いのかも不明です

漸化式は>>197を眺めてると出てきますが
話ながらおそらく２進数との関係性はみえてきましたね

私はコラッツ予想のシーケンス処理を検討してますが
コラッツ操作をシーケンスでなくバイナリで一括操作できるようなら
それはかなり興味がありますね

自然数Nが4を跨ぐごとにステップ数が増減しているようだから
quoが商、余りをmod
8*(1+mod N/8)+(-1)^(mod N/4)*(1+quo N/8)+(1+mod N/2)
上が正しいかは判らないけれど
とかそんな感じの(-1)^(mod N/4)*(1+quo N/8)がスッテプ数に関係ありそうな予感

>>197

1001^2=1010001=
1001^(2+0)-1
→1001^0010-1
⇒2^4

1001^3=1011011001
1001^(2+1)-1
→1001^0011-1
⇒2^3

1001^4=1100110100001
1001^(4+0)-1
→1001^0100-1
⇒2^5

1001^5=1110011010101001
1001^(4+1)-1
→1001^0101-1
⇒2^3

1001^6=10000001101111110001
1001^(4+2+0)-1
→1001^0110-1
⇒2^4

1001^8=1100110100001^2
1001^(8+0)-1
→1001^1000-1
⇒2^?

さて?は幾つでしょう？

>>203

Nが4で大きく変化する理由は
2進数表記したときに下の桁が
…00
…01
…10
…11
と変化するのが基礎的な要因になってますね
基本的には11のときにステップ数が増えているかと想定できます

>>2
フェルマーの最終定理も解けてもあまり意味無いと言われてけど莫大な懸賞金かけられてた
要は問題が一般人に理解できるかどうかだろ

>>163
>人工知能は一応答えを出すかもしれないけど、証明できません。ちゃんちゃんで終わるな。

「一応答えを出す」の意味が不明
証明できてるかどうかが全てだろ
そして人工知能は全く無力だよ、予想が正しくなくて反例が見つかったとかなら分かるが

>>206
フェルマーの定理は初期の一時期は数学の発展にすごく貢献したよ
その後一段落したあと確かに数学の些末な離れ小島になりかけたが
また現代数学の本道に戻ってきた

奇数はそのうち偶数になる

>62　>129　>158

なんか知らんけど確率論で雑予想。

A 偶数の内、2で割ると偶数になる数。
B 偶数の内、2で割ると奇数になる数。
C 奇数。

【整数におけるA,B,Cの割合】
Aは偶数の内、4の倍数。A=0.25
B=0.25
C=0.5

【倍率】
Aに当たると数値は0.5倍になる。
C単独で最も倍率が高くなる数値は3であり3*3+1=10で3.333...倍になる。
Bはその後のCとセットなので0.5*3.333...=1.666...倍になる。

A,Bの登場確率は等しいので数値は拡散せず、1に向かって減り続ける。

>>210
追記

まあ、どんな数値でも「(B→Cルート)1.5倍して1を足す」作業を繰り返すと2^nになる、と証明したほうが確実かな。（言うは易し）

予想が正しいと、最終的に「１」に収束するんだから
いわゆるカオスみたいなモノだが、はるかに性格の
良い数列だわな。

やっぱ、その変化を別の視点で見ることが大事と思うから
カオスのフラクタル図形みたいなグラフを色んな形式で
描いてみる事が突破口になりそな気がするわ。

ただ、スパコンでｎを増やして検算する方針はバカ過ぎるし
数学では無い。数値計算だ。　それを斬新なグラフ形式で
いろいろと描いて人間の目で着想を引き出すことじゃね？

>>202
せっかく説明してくれたのにごめん
日曜大工的な数学愛好者には、ちょっと理解できなかったわw

先日の根拠は…
y=3^2^x-1 x∈自然数
=(3^x+1)(3^x-1)
なのでyを素因数分解すると2は少なくとも2ある

その後の思い付きは…
3^x-1とかオイラーの定理が使えそうな形してる
オイラー関数も2の冪だと規則的な値だし

>>213
わたしも終末愛好者なのですが
むしろ私より数学的な素養は高いと思いますよ

オイラー関数はみたことあるけど
記憶の片隅からも出てこなかったので

ここ一ヶ月ぐらいつらつらと
のんびり進めて幾つか気になる点のひとつが
上記の問題に該当してます

ちなみにわたしも最初の二つは
その因数分解から考え始めました

>>204

1001を繰返し掛け算したとき

下1桁は1が確定
下2桁は0が確定
下3桁は0が確定

さてこの先はどうなるでしょうか

>>124

下の~の前後の数字は
なんだったんだろう

>>211
あっ、これ間違えてるわw

>>124
> >>123
> いきなり難しかった
>
> > > 2^02=4 >1 *2^2 > 1
> > > 2^04=16 >5 *2 > 3
> > > 2^06=64 >21 *2^? > ?
> > > 2^08=256 >85 > 28
> > > 2^10=1024 >341 *2 > 227
> > > 2^12=4096 >1365 *2^4 > 32453

2^6のときが解けてないので
計算した後に3の倍数からのズレを調べた訳か

2^0*21=21~計3
2^1*21=42~計6
2^2*21=84~計12
2^3*21=168~計15
2^4*21=336~計12
2^5*21=672~計15
2^6*21=1344~計12
2^7*21=2688~計24
2^8*21=5376~計21

2^9*21=10752~計15
と、ここまでやって解ったが
つまり3nってやつで袋小路な訳か

>>118
つまり遷移が不可能な3n系列が存在し
そこは2^nでしか遷移できなくなるわけか

逆送側でもきちんと再現されてますね

>>217
お茶でも飲んで落ち着いてwww
工学的にはヒューリスティックに確率論でやって、ある程度の値で打ち切ることはよくあるね
でも、数学では基本的にだめかな
証明にならないか、当然の結果でつまらない証明になるか、どちらかになる

確率論的な収束は
倍数を3より増やしても成立しそうな気がしますが
ループを除いてもそんな結果にならなそうなのは何でなんだろうか、、、

>>207
コラッツ予想は、正しいか正しくないか。

>>108
ふーむ、これは思ってた以上に
おもしろそうな気がしてまいりました

とりあえず地図が必要ですね
あと、あらたな表記方法も必要になるかもしれません

>>204

途中のとこ間違ってましたが

�@1001同士の積では001は変わらない
�A10001同士の積では0001は変わらない
�B1001と10001の積では下の桁は1001となる→自明
�C1001同士の積では下の桁は10001となる(繰り上がり)

つまり^xを２進数表記したときの
ゼロの並びの数で増える


1001^0001-1⇒2^3
1001^0010-1⇒2^4
1001^0011-1⇒2^3
1001^0100-1⇒2^5
1001^0101-1⇒2^3
1001^0110-1⇒2^4
1001^0111-1⇒2^3
1001^1000-1⇒2^6


3^nと2^nがシンプルに繋がりました

実は、「正しいともあるいは正しくないともどちらも証明することは
不可能な命題である」などというようなことは無いのだろうな。

>>194
珍しく可換じゃないんだよなぁ

そんなことより、
いまだに世界中の科学者が解決できていない難病を、解決してくれ。

>>194
> 問題
>
> y=2^3^x+1
>
> yは3を幾つ因数にもつか

y=8^x+1

[３進数]
[10]^2=[100]
[22]^2=[22][22]=[484]=[1331]
→3^3+3*3^2+3*3^1+1=27+27+9+1=64

[22]^2=[22][22]=[11][11]*2^2
=[121]*2^2

[22]^3=[121]*[11]*2^3
=[1331]*2^3

[22]^4=[1331]*[11]*2^4
=[14641]*2^4

こんな感じのも可能な訳か

>>228

さらに上の方まで続くなら
かなり興味深いのだが、、、

>>228

> y=8^x+1
>
> [３進数]
> [10]^2=[100]
> [22]^2=[22][22]=[484]=[1331]
> →3^3+3*3^2+3*3^1+1=27+27+9+1=64
>
> [22]^2=[22][22]=[11][11]*2^2
> =[121]*2^2
=[121]*[11]

>
> [22]^3=[121]*[11]*2^3
> =[1331]*2^3
=[1331]*[22]

>
> [22]^4=[1331]*[11]*2^4
> =[14641]*2^4
=[14641]*[44]
=[14641]*[11]*4
=[14641]*[11]*[11]
=[14641]*[121]

ほうほう、
なるほどなるほど

>>225
そういう命題もあり得るしそれが証明できればそれは一つの成果になる

>>230
二項定理で下の二つを判断すると
3の倍数が多そうかどうかはわかるけど

そのひとつ上が三の倍数で表現できると
だいぶ強くなりそうな気はする

ざっくりいえば
２進数空間で3をかける行為と
３進数空間で4をかける行為と
これは凄く似ているってことですか

3^kC1はk個の3の約数を持つ
ちなみに途中にも3の倍数が出てくるけど
それはどんなときか

y=4^x+1
で考えよう

yはいくつ3を因数に持つか？

>>234
しかし引き算ではなく+1となるから
そうは単純ではないと

ではなぜ^3のときたくさんの因数になるのか

[３進数]
[10]^2=[100]
[11]^2=[121]
[11]^3=[1331]
[11]^4=[14641]
[11]^5=[15aa51]

[11]^6=[16f(20)f61]

なんで3をかけるのかわからん
1を足して2で割ればいい