【数学】机上の空論じゃなかった！ ちゃんと敷き詰めれる13角形のタイルが見つかりました [すらいむ★]

机上の空論じゃなかった！ ちゃんと敷き詰めれる13角形のタイルが見つかりました

　まだまだ発見ってあるものですね。

　一般の人々にとってタイルは、家の改装の時以外は、ほとんど気にすることがないかもしれませんが、数学者にとっては、多くの難問を与えてくれます。
　研究者たちは理論的には存在を確認していた、繰り返し模様のない13角形の形状をついに特定しました。
　その名も｢The Hat｣。

（以下略、続きはソースでご確認ください）

gizmodo　2023.04.07 08:00
https://www.gizmodo.jp/2023/04/new-13-sided-shape-the-hat-tiles-aperiodic-monotile.html

「られる」だろ

14角形を見つけるのはあなただ！

画像くらい貼れよ無能

一つの石だけでって話だからアインシュタインってか

>>2
日本語の乱れは切実だな

ら　については日本語はクソすぎる
ら抜き言葉賛成だ

考えてみると
絶対に円では平面を覆い尽くせないから
多角形のどこかで行き詰まるところがあるんだな

凸多角形限定じゃないんだ。
正多角形限定じゃないとは思ったけど。
じゃ、12角形と13角形。

>>8
最初の一歩としては正しいね
以下、正多角形の平面充填に限れば…

正n角形の内角θを整数m倍して360°に等しい（これは必要条件で、この条件を満たさないと角に隙間ができる）つまり、
m×θ＝360°
すべての正n角形で、
θ＝(n−2)×180°÷n, n>2
代入して整理すると、
2×n＝m×(n−2), n>2
すべての多角形の内角は180°より小さいので、
m>2

2×n＝m×(n−2), n>2, m>2を満たす自然数nは、
3,4,6

>>9
周期的（同じ敷き詰め方の繰り返し）な充填は無数にあるよ
>>1が少し言葉足らずなんだけど、非周期的なのに充填できるってところが重要

chatGPT

Q 平面を埋め尽くすことができる12角形のタイル

A 平面を埋め尽くすことができる12角形のタイルには、様々な種類があります。代表的なものには、レゴのブロックのような形状をした12角形のタイルがあります。

また、幾何学的なデザインを持つ12角形のタイルもあります。例えば、正六角形が組み合わさってできる星型の12角形や、正方形と正三角形が組み合わさってできる六角形を12個並べたものなどがあります。

これらのタイルは、美術やデザインの分野で利用されることがあります。また、建築物の外装や内装など、空間を美しく装飾するためにも使用されます。


Q 平面を埋め尽くすことができる13角形のタイル

A 平面を埋め尽くすことができる13角形のタイルは、幾何学的には不可能です。これは、13角形が正多角形ではなく、13個の正三角形や正方形などの単純な形状で組み合わせても、平面を完全に覆い尽くすことができないからです。

このように、一部の多角形は平面を埋め尽くすことができないという性質を持っています。このような多角形を「不合成多角形」と呼びます。不合成多角形は、17角形、19角形、23角形、29角形など、限られた数の種類しか存在しません。

これらの不合成多角形は、美術やデザインの分野での利用は難しいものの、数学や幾何学の研究において重要な役割を果たしています。

>>12
3.5の回答？それっぽいけどいい加減だよね
chatGPT4だともう少しマシなんだろうか？

>>13
全探索じゃないのだから永久に不確実性が内在されるのがAI
マシにはなれど net de 真実

>>11
非周期的とは？
リンク先の画像見たけど、複雑ではあるが周期があるように見える

>>9
ちんぽマンコ

>>15
定義でなくわかりやすく書くと…

例えば□を敷き詰める場合は、＃やⅡみたいなスタンプを作って、（縦・横）や（斜め・横）に動かす方向を揃えつつ一定間隔で何回も紙に押すと、格子模様や煉瓦模様になる
田みたいな4つくっついたスタンプでも、縦横に動かしつつ2つ間隔で何回も紙に押すと格子模様になる

非周期的というのは、どんなに大きく複雑なスタンプを作っても次に押せる場所がないこと

何の役に立つの？

こういう繋がり方が分子構造に落とし込めて新素材の発明にでも役立ったらいいけどね

パズルの新製品は作れるなw

らを抜くな無脳

>>2
「ら」抜き言葉は愛知など、いくつかの方言では普通。
これらの方言ではら抜きが可能を意味し、ら入りが受動や尊敬などを意味する。
方言の合理性が認識され、現代に全国に波及していったにちがいない。

非周期的なタイリングのペンローズタイルは二つ必要だったけど一種類でも可能だったって発見。

これ１種類の図形っていっても右型と左型の裏返しにしたものが混じってる？

さっぱりわからんのだけど、理論的にあるとわかってるのにどうして実際の形がわからないんだ?
あとどうしてAIに聞いてもわからないんだ?
一瞬で答えてくれそうな気がするけど

>>12
サラッと嘘をつくよな、chatGPT

他にも有るんじゃね

>>25
今のパターン認識AIは既出パターンとその組み合わせ
真に発見されていないことは創出するのは無理だろう

こういう数学にハマる人は高い確率でASDだよな。

こういうのこそAIが機械的に検索すべきもんじゃないのか？ｗ

>>24
そのとおり
鏡像反転ありで>>1のソースの色分けで言うと黒は裏返し
それを赤で囲んで、白で詰め物して、灰で繋ぐ、おおまかにはそんな組み立て

見てるとイガイガしてくるからタイルにはちと辛いな
モザイク用途ならありかな

>>18
今のところ応用はないかな
しかし、人類の数学が一歩前進した一里塚としては意味がある

これ、周期的に並べることができる気がする。
非周期的に並べられるから偉いのか？

>>18
数学の99%は何の役にも立たないんだなぁそれが

なんか凄い13角形のタイルなんだよ　という説明付けて売れば買う人はいそうかな。

タイルのズレは起きにくそう。

>>34
非周期だから偉い

論文はwebに公開されてないん？
PDFでくれ！

>>18
例えば、ペンローズタイル1974年、5回対称の物質の発見1984年みたいに数学が先の例は多い。
時差10年だけどギリータイルまで含めたら数百年。いつ引き出せるかわからない定期預金って感じだね。

どんな形なんだよ

＞13角形のThe Hatは、｢アインシュタイン｣と呼ばれる1つの形状だけを使用しており、（略）、8つの凧形（四角形の種類）を縁でつなげた多角形です。
（辺を共有させて繋げる）

凧形：ttps://ja.wikipedia.org/wiki/凧形

図の左：The Hat を8つの凧形に分割したもの。長辺を水色、短辺を黄色にしている。
よく見ると一部欠損した正六角形が見えてくる。
図の右：基本となる凧形は正六角形の各辺の垂直二等分線を用いて六角形を6等分した図形になっている。

平面を埋められる正六角形をより小さな部品に分割して
8個の部品（1と1/3個の正六角形）を組み合わせて作ったのがThe Hat。
こう考えると平面を埋められそうな感じがしてくるだろう。

凧形部品の頂点の角度は直角と120°と60°。
The Hatの頂点の角度はそれらを組み合わせた角度が出てくる。
90° ／ 270° の頂点も結構ある。

>>9の12角形、組み合わさってる部分は動かし用がないけど
横長の長方形になったユニット同士は左右に自在にスライドさせることができる。

これを非周期的に並べれば
（最初は半分ずらしたから2段目は左に1マス、次は右に1マス、、、）
非周期的な埋めつくしができるのではなかろうか。
（非周期的が偉いのなら）
接触部分が直線だから1マスとかこだわる必要なくて0.3マスでも0.7マスでもいい。

tps://i.imgur.com/dxTYr4H.gif
>>1の絵を右下にずらして重ねたもの。

tps://i.imgur.com/UZwjm8k.gif
重なってる部分のみ表示。灰色は不変領域。水色は重なりのない（判定不能）領域。
全部灰色になれば周期的な配列ということになる。
変化している部分の置き方を変えれば周期的な配列になりそうな気がする。。

正六角形を半分にした形、頂点を通るように切った台形でも、辺を二分するようにした五角形でも、中心を通る任意の角度で切った五角形でも、
どれでもいいが、それをハニカム構造に埋めていくことを考える。

ピース2つ1組で正六角形を埋められて、その置き方の方向は3種類ある。
正六角形を埋めてしまうと次のピースの置き方には何の制約も発生しない。
3種類の方向、どちらに置いても良いことになる。
つまり非周期的に自在にピースを置くことができる。
もちろん綺麗に周期的に並べるのも容易だ。

wikipediaの記述が増えてるのかな？

ttps://ja.wikipedia.org/wiki/平面充填
＞ただし、周期充填の非周期な変形による充填（場所によってランダムな方法でタイルを分割するなど）は、非周期とは考えない。
ああ、もろにこれだが、何故考えないのか、意味不明だ。

つかドミノ（正方形2個連結）なら自由に並べて非周期的に容易に並べられるけど
それが嬉しいのか？
何を問題にして取り扱ってるのか、どの辺に価値があるのか、さっぱりわからんな。

>>43
うまいこと抜け道を考えたね
しかしそれは、非周期的とは呼ばない
>>17で書いた条件が厳しすぎたかもしれないが、煉瓦模様に敷き詰めるときにⅡのスタンプを使いまわして埋め尽くせるでしょ？

>>39
気合い入ってるな
https://arxiv.org/abs/2303.10798
読めないだろうけど、途中のブロック図で証明の道筋はおぼろげにわかるし、図を見てるだけでも楽しめるかもね

>>47
なんかあった。

>>47
Google翻訳

＞概要。長年の未解決の問題は、「アインシュタイン」としても知られる非周期的なモノタイルを求めています。
＞これは、平面のタイリングを許可するが、周期的なタイリングを許可しない形状です。

平面を埋め尽くすように並べられるけど、それは必ず非周期的になる、と。
つまり The Hat を周期的に配列できたら筆者の負け、見つけた人の勝ち、なわけだな。

>>44の図を周期的にしようとして
動いている領域の並びを変えると、その変化が不変灰色領域まで及んで
全部を不変領域にすることはできない、ということになるのかな。

タイルを置いていくプログラムは
ペントミノパズルを解くプログラムの応用でいいのかな。
斜交X-Y座標でハニカム構造を表して
各六角形に6個のサブセルを持つ構造で
The Hat のタイルを重ならないように置いていくと。

「タイリングにどういう制約を課すかは論文によって様々で
　場合によっては2x1の四角形（>>45のドミノ）が非周期性のモノタイルになる！」
と論文内で言及されてますね。

>>45
大丈夫かよおいwww
自分で何言ってるのかわかる？
自明でつまらない充填を挙げて、それをつまらない意味がないと言ってるんだけど？