いちばん単純な
>>5の図形に関しては頂点は
30（外）- 60（中）- 30（内） という
層状の構造で同心球面上に存在とのこと


「中心からの距離」を基準に、同心球面（Concentric Spheres）上の点として頂点を整理しましょう。この多面体（Zachary Abel氏らが構成した、自己交差なしには展開不可能な反例）は、非常に高い対称性（$D_{15d}$）を持っているため、頂点は中心からの距離（半径）が等しいグループごとに特定の球面上に分布します。

## 1. 頂点の総数
この反例として構築された多面体の頂点総数は、設計の最小単位（ガジェット）をどう組み合わせるかによりますが、基本となるトポロジーを構成する頂点数は 120個（またはその倍数）となります。

* 計算根拠: 15回回転対称（$C_{15}$）があり、かつ各ユニットが中心反転および2回回転対称（$C_2$）を持つため、最小の頂点配置が $15 \times 8 = 120$ 個のセットとして構成されるのが標準的な設計です。

## 2. 外接球（外接円）上の点数
最も外側の球面上にある頂点数は 30個 です。

* 配置: 主軸（$z$軸）を囲むように、北緯に15個、南緯に15個の頂点が並びます。これらは中心反転対称の関係にあり、外接球（Circumsphere）を規定します。 [1]