内臓HDDのデータを外付けHDDに自動的にミラーリングしたいです。
（1日1回、起動時やシャットダウン時などのイベント時）
いいソフトはありますか？

AOMEI BackUpper はファイルバックアップをイベント時に設定すれば1日1回シャットダウン時に「同期」コピーできるのですが
内臓HDD側で削除したファイルが外付けHDDには残り続けてしまうので、ミラーリング用途では使えません。
Ease todo backup は動作不良が多いので使いたくありません。

フリーソフトの Free file sync はタスクマネージャーとの組み合わせで1日1回指定時刻にミラーリングしたり
毎回起動時にミラーリングしたりは可能ですが、
1日1回イベント毎（シャットダウン時など）はできませんでした。