RealtekのNICのまま6.0u2にしてみたところ、ホストと接続できるようになりましたが
1〜2分すると接続が一切出来なくなり、再起動するとまた接続できるようになるという現象が発生しました。
その後、NICをIntelのものに変更してみたところ、上記問題も無くなり正常に動作するようになりました。
ドライバの選択が悪かったのか、非対応NICを無理矢理動かすのは素人には敷居が高かったみたいです…。
色々とアドバイスありがとうございました！