試してみたどっちも動いたよ、どっちも外部プログラムへのPATH環境変数とか指定無し、全て別ドライブで別ファイル、無理矢理改行減らして見づらいのは許してね

※動かない時は、設定内容とか操作内容を具体的に書いた方が解決への近道だと思うよ
結果の見方
　Tab：Tablacus　Exp：Explorer
　KB：CTRL+C->CTRL+V　、　右：右クリック コピー->右クリック貼り付け　、　DD：マウスDrag&Drop
　OK：外部プログラム起動してコピーされた　、　O1：外部プログラム起動されずコピーされた　、　NG：外部プログラム起動されずコピーされない

■FastCopy3.10
TE64 16.8.21 Win 10.0.14393 WS 100 IE 11 ja_jp　+　FastCopy1.07
　有効：FastCopy1.07　無効：マルチスレッド,マルチプロセス,FireFileCopy1.03

プラグイン設定
　パス　C:\Program Files\FastCopy\FastCopy.exe
　コピー /cmd=noexist_only /auto_close /to="%Dest%\"　「自動的に開始」をチェック
　移動　/cmd=diff /auto_close /to="%Dest%\"　「自動的に開始」「別ドライブのみ」をチェック
　削除 未設定
□結果　Tab->Tab　KB=OK/右=OK/DD=OK　、Tab->Exp　KB=O1/右=O1/DD=O1　、　Exp->Tab　KB=OK/右=OK/DD=OK

■FireFileCopy 4.9.1 UNICODE + 07/4/23　0.9.8.7 (ffc_shell_64.dll) / 5.0.0.8 (ffc_shell2_64.dll)
　シェル拡張のインストールは無し、FFCと同一フォルダへコピーのみ
TE64 16.8.21 Win 10.0.14393 WS 100 IE 11 ja_jp　+　FireFileCopy1.03
　有効：FireFileCopy1.03　無効：マルチスレッド,マルチプロセス,FastCopy1.07

プラグイン設定
　パス　Q:\WORK\ffc4_9_1u\ffc_shell_64.dll
　これ以降はパス指定で自動的に設定
　Class {E6385E40-E2A6-11d5-ABE6-9EB61339EA35}
　コピー 1　、　移動　2
□結果　Tab->Tab　KB=OK/右=OK/DD=OK　、　Tab->Exp　KB=O1/右=O1/DD=O1　、　Exp->Tab　KB=OK/右=OK/DD=OK