検索ボックス自体は既にGoogleBarLiteより標準のほうが高機能だからいいとして
あとはアドレスバーに
https://www.google.co.jp/search?q=foo+bar
https://www.bing.com/search?q=foo+bar
のようなURLが入っていたらfoo barという検索ボタンを発生する拡張があればいいんだが