>>813だけど、サポートから回答があって実行したところ、
ATOK Sync Oneのサーバー内部エラーが解消した。
これは、俺だけのケースで、全てのケースで対応できるか分からないが公開してみようと思う。

レジストリの確認
[HKEY_CURRENT_USER\Software\Justsystem\ATOK\36.0\Cloud]
"checkSyncOne"=dword:00000001

[HKEY_CURRENT_USER\Software\Justsystem\ATOK\36.0\SyncOne]
"isInit"=dword:00000001
"Version"="36.0"

以上の3項目を確認。俺の場合は、一番上のだけが違う値が入ってて下二つは問題無かった。
レジストリを書き換え後、PCを再起動。
[ATOKクラウドサービス]-[ATOK Sync 学習・登録の同期]を実行し、同期できるか確認。
これがOKならたぶん問題無いと思う。
その後、[ATOKクラウドサービス]-[ATOK Sync オプション]を実行し、「定期的に同期を行う」のチェックをOFFにし、[OK]ボタンを押す。
再度同様に実行して「定期的に同期を行う」のチェックをONにし、[OK]ボタンを押す。
WindowsのタスクスケジュールライブラリのATOKの下に「ATOKSyncOne36_(ユーザー名)」が存在するか確認するというものだった。

ATOK Sync Oneのサーバー内部エラーが出てる方、お試しあれ。